Problema n° 23 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 23

La derivada direccional de una cierta f(x, y) según la dirección del vector X'(t), tangente a la curva:

(et - 1, 1 - t + t²)

En el punto P = (1, 1), vale 2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X'(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·2. Calcular las derivadas parciales de la f(x, y) en P.

La curva y su vector tangente son:

X(t) = (et - 1, 1 - t + t²)

X'(t) = (et - 1, -1 + 2·t)

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

Debe verificar:

x = et - 1 = 1

t - 1 = 0

t = 1

y = 1 - t + t² = 1

-t + t² = 0

t = 1

Debe cumplir:

Dx'(t)f(1, 1) = 2

∇f(1, 1)·X'(1)= 2
||X'(1)||

X'(1) = (e1 - 1, -1 + 2·1)

X'(1) = (e0, -1 + 2)

X'(1) = (1, 1)

||X'(1)|| = 1² + 1²

||X'(1)|| = 2

El vector girado es:

Y'(1) = (-1, 1)

||Y'(1)|| = (-1)² + 1²

||Y'(1)|| = 2

Analizando ambos casos vemos que:

∇f(1, 1)·X'(1)= 2
||X'(1)||
∇f(1, 1)·(1, 1)= 2
2

∇f(1, 1)·(1, 1) = 2

∂f(1, 1) +∂f(1, 1) = 2 → (1)
∂x∂y
∇f(1, 1)·Y'(1)= 3·2
||Y'(1)||
∇f(1, 1)·(-1, 1)= 3·2
2

∇f(1, 1)·(-1, 1) = 3·2

-∂f(1, 1) +∂f(1, 1) = 6 → (2)
∂x∂y

Sumando (1) y (2) miembro a miembro:

∂f(1, 1) +∂f(1, 1) -∂f(1, 1) +∂f(1, 1) = 2 + 6
∂x∂y∂x∂y

2·∂f(1, 1)/∂y = 8

∂f(1, 1)/∂y = 4

Reemplazando en (1):

∂f(1, 1)/∂x + 4 = 2

∂f(1, 1)/∂x = -2

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las derivadas parciales

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