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Solución del ejercicio n° 23 de recta tangente y plano normal. Intersección de curva y plano. Derivada direccional. Problema resuelto.Ejemplo, cómo hallar las derivadas parciales
Problema n° 23 de funciones de varias variables
Problema n° 23
La derivada direccional de una cierta ƒ(x, y) según la dirección del vector X'(t), tangente a la curva:
(et - 1, 1 - t + t²)
En el punto P = (1, 1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X'(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·√2. Calcular las derivadas parciales de la ƒ(x, y) en P.
La curva y su vector tangente son:
X(t) = (et - 1, 1 - t + t²)
X'(t) = (et - 1, -1 + 2·t)
Desarrollo
Fórmulas:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Solución
Debe verificar:
x = et - 1 = 1
t - 1 = 0
t = 1
y = 1 - t + t² = 1
- t + t² = 0
t = 1
Debe cumplir:
El vector girado es:
Analizando ambos casos vemos que:
Sumando (1) y (2) miembro a miembro:
∂ƒ(1, 1)/∂x + ∂ƒ(1, 1)/∂y - ∂ƒ(1, 1)/∂x + ∂ƒ(1, 1)/∂y = 2 + 6
2·∂ƒ(1, 1)/∂y = 8
∂ƒ(1, 1)/∂y = 4
Reemplazando en (1):
∂ƒ(1, 1)/∂x + 4 = 2
∂ƒ(1, 1)/∂x = -2
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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