Problema n° 23 de funciones de varias variables.

Problema n° 23) La derivada direccional de una cierta ƒ(x, y) según la dirección del vector X'(t), tangente a la curva:

(e^{t - 1}, 1 - t + t²)

En el punto P = (1, 1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X'(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·√2. Calcular las derivadas parciales de la ƒ(x, y) en P.

La curva y su vector tangente son:

X(t) = (e^{t - 1}, 1 - t + t²)

X'(t) = (e^{t - 1}, -1 + 2·t)

Desarrollo

Solución

Debe verificar:

x = e^{t - 1} = 1

t - 1 = 0

t = 1

y = 1 - t + t² = 1

- t + t² = 0

t = 1

Debe cumplir:

El vector girado es:

Analizando ambos casos vemos que:

Sumando (1) y (2) miembro a miembro:

∂ƒ(1, 1)/∂x + ∂ƒ(1, 1)/∂y - ∂ƒ(1, 1)/∂x + ∂ƒ(1, 1)/∂y = 2 + 6

2·∂ƒ(1, 1)/∂y = 8

∂ƒ(1, 1)/∂y = 4

Reemplazando en (1):

∂ƒ(1, 1)/∂x + 4 = 2

∂ƒ(1, 1)/∂x = -2