Integración de una función escalar

Definición:

Dada C ⊂ ℜⁿ una curva lisa de ecuación vectorial x = G(t), t ∈ [a, b] (g inyectiva) y dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, contínua, C ⊂ A, se define la integral de F sobre C como:

Longitud de una curva:

Si C = C₁ ∪ C₂, donde C₁ ∩ C₂ tiene a lo sumo un punto:

Ejemplo nº 1

y = x²

G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]

v = 2·t ⇒ dv = 2·dt

L = ¼·{sh ½·[2·argsh (2)] + argsh (2)}

L = 1,42

Integral de F sobre C:

Trabajo o circulación de F a lo largo de C:

Ejemplo nº 2

Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x²

F(x, y) = (x + y, y)

Parametrización de la curva:

G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]

L = 4/3

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina