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Integración de una función escalar
Definición:
Dada C ⊂ ℜn una curva lisa de ecuación vectorial x = G(t), t ∈ [a, b] (g inyectiva) y dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, contínua, C ⊂ A, se define la integral de F sobre C como:
∫C F·dl = F(g(t)) |g'(t)|·dt
Longitud de una curva: L = | G' (t)|·dt
Si C = C1 ∪ C2, donde C1 ∩ C2 tiene a lo sumo un punto: ∫ C·dl = ∫ C1·dl + ∫ C2·dl
Ejemplo n° 1
y = x² G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1] G' (t) = (1, 2·t)·|G' (t)| = √(1 + 4·t)
L = = |G' (t)|·dt = √(1 + 4·t)·dt = = √(1 + (2·t)²)·dt = v = 2·t ⇒ dv = 2·dt ⇒ √(1 + v²)·dv
L = ¼·[sh (2·argsh (2))/2 + argsh (2)] = 1,42
Integral de F sobre C: ∫ C·F·dl = F(G(t))·|G'(t)|·dt
Trabajo o circulación de F a lo largo de C: ∫ C·F·dl = F(G(t))·G'(t)·dt
Ejemplo n° 2
Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x² F(x, y) = (x + y, y)
Parametrización de la curva: G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]
T = F(G(t))·G'(t)·dt = (t + t², t²) (1, 2·t)·dt = (t + t² + 2·t³)·dt = t²/2 + t²/3 + t4/2|0¹ = 4/3
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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