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Integración de una función escalar

Definición:

Dada C ⊂ ℜⁿ una curva lisa de ecuación vectorial x = G(t), t ∈ [a, b] (g inyectiva) y dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜ, contínua, C ⊂ A, se define la integral de F sobre C como:

∫_C F·dl =   F(g(t)) |g'(t)|·dt

Longitud de una curva: L =  | G' (t)|·dt

Si C = C₁ ∪ C₂, donde C₁ ∩ C₂ tiene a lo sumo un punto: ∫ C·dl = ∫ C₁·dl + ∫ C₂·dl

Ejemplo n° 1

y = x² G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1] G' (t) = (1, 2·t)·|G' (t)| = √(1 + 4·t)

L = =   |G' (t)|·dt =  √(1 + 4·t)·dt = =   √(1 + (2·t)²)·dt = v = 2·t ⇒ dv = 2·dt ⇒   √(1 + v²)·dv

L = ¼·[sh (2·argsh (2))/2 + argsh (2)] = 1,42

Integral de F sobre C: ∫ C·F·dl =   F(G(t))·|G'(t)|·dt

Trabajo o circulación de F a lo largo de C: ∫ C·F·dl =   F(G(t))·G'(t)·dt

Ejemplo n° 2

Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x² F(x, y) = (x + y, y)

Parametrización de la curva: G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]

T =   F(G(t))·G'(t)·dt =   (t + t², t²) (1, 2·t)·dt =   (t + t² + 2·t³)·dt = t²/2 + t²/3 + t⁴/2|₀¹ = 4/3

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