Integración de una función escalar

Definición: Dada C ⊂ ℜⁿ una curva lisa de ecuación vectorial x = G(t), t ∈ [a, b] (g inyectiva) y dada F:A ⊂ ℜⁿ → R, contínua, C ⊂ A, se define la integral de F sobre C como:

∫_C F·dl =   F(g(t)) |g´(t)·dt|

Longitud de una curva: L =  | G´ (t)|·dt

Si C = C1 ∪ C2, donde C1 ∩ C2 tiene a lo sumo un punto: ∫ c·dl = ∫ c1·dl + ∫ c2·dl

Ejemplo: y = x² G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1] G´ (t) = (1, 2·t)·|G´ (t)| = √(1 + 4·t)

L = =   |G´ (t)|·dt =  √(1 + 4·t)·dt = =   √(1 + (2·t)²)·dt = v = 2·t ⇒ dv = 2·dt ⇒   √(1 + v²)·dv

L = ¼·[sh (2·argsh (2))/2 + argsh (2)] = 1,42

Integral de F sobre C: ∫ c·F·dl =  F (G (t))·|G´(t)|·dt

Trabajo o circulación de F a lo largo de C: ∫ c F·dl =   F(G(t))·G´(t)·dt

Ejemplo: Calcular el trabajo de F entre (0, 0) y (1, 1) a lo largo de la curva y = x² F(x, y) = (x + y, y)

Parametrización de la curva: G(t) = (t, t²), t ∈ [0, 1]

T =   F(G(t))·G´(t)·dt =   (t + t², t²) (1, 2·t)·dt =   (t + t² + 2·t³)·dt = t²/2 + t²/3 + t⁴/2|₀¹ = 4/3