Fisicanet ®

Integrales triples

Cálculo de volúmenes

Vol (v) = V dx·dy·dz

Cálculo de masas

Masa (M) = V δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Centro de masa

V x·δ(x, y, z)·dx·dy·dz
M

Momento de inercia

I0 = V d²·δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

Cálculo de volúmenes con integrales triples

V F(x, y, z)·dx·dy·dz = bg2k2F(x, y, z)·dx·dy·dz
   
ag1k1

Teorema:

Cambio de variables:

Dada f:k ⊂ ℜ³ → ℜ, F contínua, G: r* ⊂ ℜ³ → ℜ³, G ∈ C¹, inyectiva con G(k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0, ∀ (u, v, w) ∈ k*): entonces:

k F(x, y, z)·dx·dy·dz = k F(g(u, v, w))·|det (DG)|·du·dv·dw

F(x, y, z) = dv

F(g(x, y, z))·|det (DG)| = dv

Observación:

El teorema sigue siendo válido si det DG(u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.

Aplicación: Coordenadas cilíndricas:

Gráfico de interpretación de las coordenadas cilíndricas
Gráfico de interpretación de las coordenadas cilíndricas

X = r·cos θ

Y = r·sen θ

Z = z

r = (x² + y²) (distancia al eje Z)

G(r·cos θ, r·sen θ, z)

k F(x, y, z)·dx·dy·dz = k* F(r·cos θ, r·sen θ, z)·r·dz·dr·dθ

Método de trabajo:

Proyección de la función para el cálculo de la integral

Ejemplo n° 1

Calcular el volumen de μ limitado por (x² + y²) ≤ z ≤ R

Gráfico para el cálculo del volumen
Gráfico para el cálculo del volumen

Volumen = 2·πRRr·dz·dr·dθ
   
00r
Volumen = 2·πR(R·r - r²)·dr·dθ
  
00
Volumen = 2·π(R·½·r² - ⅓·r³)R
  
00
Volumen = 2·π(R·½·R² - ⅓·R³)·dθ
 
0
Volumen = 2·π(½·R³ - ⅓·R³)·dθ
 
0
Volumen = ⅙·R³·2·π
 
0

Volumen = ⅓·π·R³

Integrales de superficie:

En superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie).

Área (s) = Axy|∇F|·dx·dy
|F'z|
Flujo (Φ) = AxyF·∇F·dx·dy
|F'z|

Ejemplo n° 2

s:z = (x² + y²)

Límites: x² + y² ≤ R

Gráfico para el cálculo de la superficie
Gráfico para el cálculo de la superficie

F(x, y, z) = (x² + y²) -z

F'x =x
(x² + y²)
F'y =y
(x² + y²)

F'z = -1

∇F = (x,y, -1)
(x² + y²)(x² + y²)

|∇F| = 2

Área = Axy|∇F|·dx·dy
|F'z|
Área = Axy2·dx·dy
|-1|

Área = Axy 2·dx·dy

Área = 2·Axy dx·dy

Área = 2·π·R²

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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