Integrales triples

Cálculo de volúmenes:

Vol (v) = ∭_V dx·dy·dz

Cálculo de masas: Masa (V) = ∭_V δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Centro de masa: (∭_V x·δ(x, y, z)·dx·dy·dz)/M

Momento de inercia: I₀ = ∭_V d²·δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

∭_V F(x, y, z)·dx·dy·dz = F(x, y, z)·dx·dy·dz

Teorema:

Cambio de variables:

Dada ƒ:k ⊂ ℜ³ → ℜ, F contínua, G: r* ⊂ ℜ³ → ℜ³, G ∈ C¹, inyectiva con G(k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0, ∀ (u, v, w) ∈ k*): entonces: ∭_k F(x, y, z)·dx·dy·dz = ∭_kF(g(u, v, w))·|det (DG)|·du·dv·dw

F(x, y, z) = dv

F(g(x, y, z))·|det (DG)| = dv

Observación:

El teorema sigue siendo válido si det DG(u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.

Aplicación: Coordenadas cilíndricas:

Gráfico de interpretación de las coordenadas cilíndricas

G(r·cos θ, r·sen θ, z)

∭_k F(x, y, z)·dx·dy·dz = ∭_k* F(r·cos θ, r·sen θ, z)·r·dz·dr·dθ

Método de trabajo:

Vol = r·dz·dr·dθ = (R·r - r²)·dr·dθ =   R·r²/2-r³/3|₀^R dθ = ℜ³/6   dθ = π·ℜ³/3

Integrales de superficie:

En superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie).

Área (s) = ∬_Axy |∇F|/|F'z|·dx·dy

Φ (flujo) = ∬_Axy F·∇F /|F'z|·dx·dy

Ejemplo n° 2) s:z = √(x² + y²)

Limites: x² + y² ≤ R

Gráfico para el cálculo de la superficie

F(x, y, z) = √(x² + y²) -z

Teorema de Gauss (o de la divergencia):

Observación:

Con éste método se calcula el vector normal exterior a la superficie.

∯_S F·ds = ∭_V ∇F·dx·dy·dz

∇F: Divergencia.

Te dan el flujo de una determinada función F(x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo a través de la superficie frontera.

Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo)

Observación:

Si me queda el flujo neto negativo, significa que tiene sentido opuesto al normal exterior.

Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra es igual a lo que sale.

Teorema de Stocks (o del rotor)

∮_C F·dl = ∬_S ∇×F·ds

Observación:

La relación entre la orientación de la curva y de la superficie esta dada por la regla de la mano derecha.

En práctica: Te piden calcular la circulación de una F(x, y, z) a lo largo de una curva.

(F₁, F₂, F₃) Componentes del campo que circula.

Componente i = ∂/∂y F₃ - ∂/∂z F₂ (derivada respecto de y de F₃ menos la derivada respecto de z de F₂)

∮_C F·dl = ∬_Axy ∇×F ∇F / |F'z|. El gradiente del plano en el que encuentro la figura.

El gradiente me define un sentido de recorrido con la regla de la mano derecha. Cuando recorro la figura debo respetar este sentido (es distinto que )

Teorema de Green

Teorema de Stokes aplicado al plano XY:

∮_C+ F·dl = ∬_S (∂ƒ2/∂x -∂F1/∂y)·dx·dy

Observación:

El sentido de circulación corresponde a recorrer la curva de manera tal que la región S queda a la izquierda (en general sentido antihorario).

Observación:

Verificar que el campo F y sus derivadas están definidos en toda la región S.

Aplicación al cálculo de áreas: ∮_C+ F·dl = ∬_S (∂F2/∂x - ∂F1/∂y)·dx·dy. Si (∂F2/∂x - ∂F1/∂y) es una constante K:

∮_C+ F·dl = ∬_SK·dx·dy con K ≠ 0 = K Área (S) ⇒ Área (S) = 1/K ∮_C+ F·dl, con (∂F2/∂x - ∂F1/∂y) = K ≠ 0

Caso particular: F(x, y) = (0, x) ⇒ ∂ƒ2/∂x - ∂F1/∂y = 1 Luego: Área (S) = ∮_C+ (0, x)·dl

Ejemplo n° 3) Cálculo del área de la elipse:

Gráfico para el cálculo del área de la elipse

x²/a² + y²/b² = 1 G(θ) = (a·cos θ, b·sen θ)

Área (S) = ∮_C+ (0, x)·dl ⇒   (0, a·cos θ)·a·(-sen θ), b·cos θ)·dθ =   a·b·(cos² θ)·dθ =

= a·b·(θ/2 + sen (2·θ)/4)|₀^2·π (por tabla) = a·b·(π + 0) = a·b·π

Campos Conservativos:

∃ φ/ F(x) = ∇ φ(x)

Condición necesaria: Derivadas cruzadas iguales.

Búsqueda de φ:

Integral por sustitución:

  r·√(4 - r²)·dr = √u·(-du/2) = ½· √u·du = ½·½·1/√u|₀⁴ = ½·½·¼ = 1/16

Para el cálculo de Volúmenes y áreas se puede verificar con fórmulas ya conocidas:

Volumen esfera = (4/3)·π·ℜ³

Área elipse = a·b·π

Luego, sumando y restando estos valores conocidos, se puede verificar el resultado.

Ecuaciones Diferenciales:

Ecuación de 1er orden: y' + a(x) y = b(x) lineales

Identifico a(x) y b(x). Si y' tiene un coeficiente se lo debe sacar multiplicando a ambos miembros por 1/ constante (esta constante puede ser una x).

Cálculo u(x): u(x) = e^{∫ a(x)·dx}

Y g(x) = (∫ u(x)·b(x)·dx + c)/u(x) y averiguo la solución general. Calculo c para el problema en particular con algún punto dato que nos hayan dado.

Regla de la mano derecha:

Demostraciones que se piden para los finales:

Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa:

∃ F'(x₀, ř) ⇔ ∃ F i' (x₀, ř), 1 ≤ i ≤ m

F'(x₀, ř) = lim h → 0 (F(x₀ + h ř) - F(x₀))/h = lim h → 0 G(h)

∃ lim h → 0 G(h) ⇔ ∃ lim h → 0 Gi(h), 1 ≤ i ≤ m

lim h → 0 Gi(h) = lim h → 0 (Fi(x + h ř) - Fi(x₀))/h = F i' (x₀ + h ř), 1 ≤ i ≤ m