Integrales triples

Cálculo de volúmenes

Vol (v) = ∭_V dx·dy·dz

Cálculo de masas

Masa (M) = ∭_V δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Centro de masa

∭_V x·δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Momento de inercia

I₀ = ∭_V d²·δ(x, y, z)·dx·dy·dz

Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

Cálculo de volúmenes con integrales triples

∭_V F(x, y, z)·dx·dy·dz = ∫	b	∫	g2	∫	k2	F(x, y, z)·dx·dy·dz

	a		g1		k1

Teorema:

Cambio de variables:

Dada f:k ⊂ ℜ³ → ℜ, F contínua, G: r* ⊂ ℜ³ → ℜ³, G ∈ C¹, inyectiva con G(k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0, ∀ (u, v, w) ∈ k*): entonces:

∭_k F(x, y, z)·dx·dy·dz = ∭_k F(g(u, v, w))·|det (DG)|·du·dv·dw

F(x, y, z) = dv

F(g(x, y, z))·|det (DG)| = dv

Observación:

El teorema sigue siendo válido si det DG(u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.

Aplicación: Coordenadas cilíndricas:

Gráfico de interpretación de las coordenadas cilíndricas

X = r·cos θ

Y = r·sen θ

Z = z

r = √(x² + y²) (distancia al eje Z)

G(r·cos θ, r·sen θ, z)

∭_k F(x, y, z)·dx·dy·dz = ∭_k* F(r·cos θ, r·sen θ, z)·r·dz·dr·dθ

Método de trabajo:

Proyección de la función para el cálculo de la integral

Ejemplo n° 1

Calcular el volumen de μ limitado por √(x² + y²) ≤ z ≤ R

Gráfico para el cálculo del volumen

Volumen = ∫	2·π	∫	R	∫	R	r·dz·dr·dθ

	0		0		r

Volumen = ∫	2·π	∫	R	(R·r - r²)·dr·dθ

	0		0

Volumen = ∫	2·π	(R·½·r² - ⅓·r³)	R	dθ

	0		0

Volumen = ∫	2·π	(R·½·R² - ⅓·R³)·dθ

	0

Volumen = ∫	2·π	(½·R³ - ⅓·R³)·dθ

	0

Volumen = ⅙·R³·∫	2·π	dθ

	0

Volumen = ⅓·π·R³

Integrales de superficie:

En superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie).

Área (s) = ∬_Axy	\|∇F\|	·dx·dy
	\|F'z\|

Flujo (Φ) = ∬_Axy	F·∇F	·dx·dy
	\|F'z\|

Ejemplo n° 2

s:z = √(x² + y²)

Límites: x² + y² ≤ R

Gráfico para el cálculo de la superficie

F(x, y, z) = √(x² + y²) -z

F'x =	x
	√(x² + y²)

F'y =	y
	√(x² + y²)

F'z = -1

∇F = (	x	,	y	, -1)
	√(x² + y²)		√(x² + y²)

|∇F| = √2

Área = ∬_Axy	\|∇F\|	·dx·dy
	\|F'z\|

Área = ∬_Axy	√2	·dx·dy
	\|-1\|

Área = ∬_Axy √2·dx·dy

Área = √2·∬_Axy dx·dy

Área = √2·π·R²

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Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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