Integrales dobles

F:A ⊂ ℜ² → ℜ S ⊂ A

∫∫_d F(x, y)·dx·dy

Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F

Teorema de Fubini:

∫∫₅ F(x, y)·dx·dy = [ F(x, y)·dy]·dx = [ F(x, y)·dx]·dy (Caso de limites bien definidos)

  dy·dx =   dx·dy

Propiedades:

1. Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
   ∫∫_A (α·F + β·G)(x, y)·dx·dy = α·∫∫_A F(x, y)·dx·dy + β·∫∫_A G(x, y)·dx·dy
2. Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x, y) ≥ G(x, y), ∀ (x, y) ∈ A:
   ∫∫_A F(x, y)·dx·dy ≥ ∫∫_A G(x, y)·dx·dy

Cálculo de áreas:

Area (A) = ∫∫_A dx·dy

Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = e^x, y = e^-x, y = e²

Area = [ dy]·dx +   [ dy]·dx

Observaciones: Donde se lee e2 es e², e - x es e^-x, y ex es e^x

Cálculo de masas:

Masa = ∫∫_A δ(x, y)·dx·dy donde δ(x, y) es la densidad superficial

Centro de masa:

X (cm) = ∫∫_A x·δ(x, y)·dx·dy/M

Y (cm) = ∫∫_A y·δ(x, y)·dx·dy/M

Teorema: ∫∫_A F(x, y)·dx·dy = ∫∫_A+ F(G(u, v))·|det DG|·du·dv

Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.