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Integrales dobles. AP07

Contenido: Teorema de Fubini. Cálculo de áreas. Centro de masas. ¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

Integrales dobles

F: A ⊂ ℜ² → ℜ S ⊂ A

∫∫d F(x,y)·dx·dy

Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F


Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva

Teorema de Fubini:

∫∫5 F(x,y)·dx·dy = Signo integral [Signo integral F(x,y)·dy]·dx = Signo integral [Signo integral F(x,y)·dx]·dy (Caso de limites bien definidos)


Gráfico del recorrido para determinar los límites

 Signo integral dy·dx =  Signo integral dx·dy

Propiedades:

  1. Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
    ∫∫A (α·F + β·G)(x,y)·dx·dy = α·∫∫A F(x,y)·dx·dy + β·∫∫A G(x,y)·dx·dy
  2. Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x,y) ≥ G (x,y), ∀ (x,y) ∈ A:
    ∫∫A F(x,y)·dx·dy ≥ ∫∫A G(x,y)·dx·dy

Cálculo de áreas:

Area (A) = ∫∫A dx·dy

Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = ex, y = e-x, y = e²


Gráfico de las curvas que limitan el área de integración

Area = Signo integral [Signo integral dy]·dx +   [Signo integral dy]·dx

Observaciones: Donde se lee e2 es e², e-x es e-x, y ex es ex

Cálculo de masas:

Masa = ∫∫A δ(x,y)·dx·dy donde δ(x,y) es la densidad superficial

Centro de masa:

X (cm) = ∫∫A x·δ(x,y)·dx·dy/M

Y (cm) = ∫∫A y·δ(x,y)·dx·dy/M

Teorema: ∫∫A F(x,y)·dx·dy = ∫∫A+ F(G(u,v))·|det DG|·du·dv

Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.

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