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Integrales dobles

F:A ⊂ ℜ² → ℜ S ⊂ A

d F(x, y)·dx·dy

Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F

Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva
Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva

Teorema de Fubini

s F(x, y)·dx·dy = b1[b2F(x, y)·dy]·dx = b2[b1F(x, y)·dy]·dx (*)
    
a1a2a2a1

(*) Caso de limites bien definidos

Gráfico del recorrido para determinar los límites
Gráfico del recorrido para determinar los límites

1xdy·dx = 1ydx·dy
    
0000

Propiedades:

1) Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
A (α·F + β·G)(x, y)·dx·dy = α·A F(x, y)·dx·dy + β·A G(x, y)·dx·dy

2) Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x, y) ≥ G(x, y), ∀ (x, y) ∈ A:
A F(x, y)·dx·dy ≥ A G(x, y)·dx·dy

Cálculo de áreas

Área (A) = A dx·dy

Ejemplo:

Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = ex, y = e-x, y = e²

Gráfico de las curvas que limitan el área de integración
Gráfico de las curvas que limitan el área de integración

Área = 0[dy]·dx + 2[dy]·dx
    
-2e-x0ex

Cálculo de masas

Masa = A δ(x, y)·dx·dy donde δ(x, y) es la densidad superficial

Centro de masa

X (cm) = A x·δ(x, y)·dx·dy/M

Y (cm) = A y·δ(x, y)·dx·dy/M

Teorema:

A F(x, y)·dx·dy = A+ F(G(u, v))·|det DG|·du·dv

Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

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