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Integrales dobles AP07

Contenido: Teorema de Fubini. Cálculo de áreas. Centro de masas. ¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

Integrales dobles

F:A ⊂ ℜ² → ℜ S ⊂ A

d F(x, y)·dx·dy

Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F


Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva

Teorema de Fubini:

5 F(x, y)·dx·dy = Signo integral [Signo integral F(x, y)·dy]·dx = Signo integral [Signo integral F(x, y)·dx]·dy (Caso de limites bien definidos)


Gráfico del recorrido para determinar los límites

 Signo integral dy·dx =  Signo integral dx·dy

Propiedades:

  1. Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
    A (α·F + β·G)(x, y)·dx·dy = α·A F(x, y)·dx·dy + β·A G(x, y)·dx·dy
  2. Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x, y) ≥ G(x, y), ∀ (x, y) ∈ A:
    A F(x, y)·dx·dy ≥ A G(x, y)·dx·dy

Cálculo de áreas:

Área (A) = A dx·dy

Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = ex, y = e-x, y = e²


Gráfico de las curvas que limitan el área de integración

Área = Signo integral [Signo integral dy]·dx +   [Signo integral dy]·dx

Observaciones: Donde se lee e2 es e², e - x es e-x, y ex es ex

Cálculo de masas:

Masa = A δ(x, y)·dx·dy donde δ(x, y) es la densidad superficial

Centro de masa:

X (cm) = A x·δ(x, y)·dx·dy/M

Y (cm) = A y·δ(x, y)·dx·dy/M

Teorema:

A F(x, y)·dx·dy = A+ F(G(u, v))·|det DG|·du·dv

Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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