Integrales dobles
F: A ⊂ ℜ² → ℜ S ⊂ A
∫∫d F(x,y)·dx·dy
Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F
Teorema de Fubini:
∫∫5 F(x,y)·dx·dy =
[
F(x,y)·dy]·dx =
[
F(x,y)·dx]·dy (Caso de limites bien definidos)
dy·dx =
dx·dy
Propiedades:
- Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
∫∫A (α·F + β·G)(x,y)·dx·dy = α·∫∫A F(x,y)·dx·dy + β·∫∫A G(x,y)·dx·dy - Dadas F y G contínuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x,y) ≥ G (x,y), ∀ (x,y) ∈ A:
∫∫A F(x,y)·dx·dy ≥ ∫∫A G(x,y)·dx·dy
Cálculo de áreas:
Area (A) = ∫∫A dx·dy
Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = ex, y = e-x, y = e²
Area = [
dy]·dx + [
dy]·dx
Observaciones: Donde se lee e2 es e², e-x es e-x, y ex es ex
Cálculo de masas:
Masa = ∫∫A δ(x,y)·dx·dy donde δ(x,y) es la densidad superficial
Centro de masa:
X (cm) = ∫∫A x·δ(x,y)·dx·dy/M
Y (cm) = ∫∫A y·δ(x,y)·dx·dy/M
Teorema: ∫∫A F(x,y)·dx·dy = ∫∫A+ F(G(u,v))·|det DG|·du·dv
Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.
Autor: Anónimo
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