Integrales dobles (primera parte)

F:A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ S ⊂ A

d F(x, y)·dx·dy

Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F

Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva
Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva

Teorema de Fubini

ₛ F(x, y)·dx·dy = b1[b2F(x, y)·dy]·dx = b2[b1F(x, y)·dy]·dx (*)
    
a1a2a2a1

(*) Caso de limites bien definidos

Gráfico del recorrido para determinar los límites
Gráfico del recorrido para determinar los límites

1xdy·dx = 1ydx·dy
    
0000

Propiedades:

1) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
A (α·F + β·G)(x, y)·dx·dy = α·A F(x, y)·dx·dy + β·A G(x, y)·dx·dy

2) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x, y) ≥ G(x, y), ∀ (x, y) ∈ A:
A F(x, y)·dx·dy ≥ A G(x, y)·dx·dy

Cálculo de áreas

Área (A) = A dx·dy

Ejemplo:

Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = eˣ, y = e⁻ˣ, y = e²

Gráfico de las curvas que limitan el área de integración
Gráfico de las curvas que limitan el área de integración

Área = 0[dy]·dx + 2[dy]·dx
    
-2e⁻ˣ0

Cálculo de masas

Masa = A δ(x, y)·dx·dy donde δ(x, y) es la densidad superficial

Centro de masa

X (cm) = A x·δ(x, y)·dx·dy/M

Y (cm) = A y·δ(x, y)·dx·dy/M

Teorema:

A F(x, y)·dx·dy = A+ F(G(u, v))·|det DG|·du·dv

Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.
Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.