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Integrales dobles. AP08

Contenido: Cambio de coordenadas en integrales dobles. Volumen de un sólido de revolución. Baricentro de un dominio plano. Teorema de Pappus-Guldin ¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

Integrales dobles

Cambio de coordenadas en las integrales dobles

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

  1. Cambio de dominio: D → D'
  2. Cambio de función: ƒ(x, y) → ƒ(r·cos θ, r·sen θ)
  3. Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr

D ƒ(x, y) dx·dy = D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

Resulta:

D ƒ(x, y) dx·dy = D' ƒ(x(u, v), y(u, v))·|J(u, v)|·du·dv

dx·dy → |J(u, v)|·du·dv

ó siendo:

x = r·cos θ

→ J(θ, r) =

-r·sen θ

cos θ

= -r

y = r·sen θ

r·cos θ

sen θ

Resulta:

D ƒ(x, y)·dx·dy = D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Volumen de un sólido de revolución

Para el dominio:

D = {(x, y): x1 ≤ x ≤ x2, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

Vx = 2·π·D y·dx·dy ⇒

Baricentro de un dominio plano

Si: δ = δ(x, y)

El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:

xG =

D x·δ(x, y)·dx·dy

D δ(x, y)·dx·dy

yG =

D y·δ(x, y)·dx·dy

D δ(x, y)·dx·dy

Si δ es constante:

Teorema de Pappus-Guldin

El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

Vx = AD·lG

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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