Integrales dobles (segunda parte)

Cambio de coordenadas en las integrales dobles

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

1) Cambio de dominio: D ⟶ D'

2) Cambio de función: f(x, y) ⟶ f(r·cos θ, r·sen θ)

3) Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

Resulta:

dx·dy ⟶ |J(u, v)|·du·dv

ó siendo:

Resulta:

Volumen de un sólido de revolución

Para el dominio:

D = {(x, y): x₁ ≤ x ≤ x₂, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

Baricentro de un dominio plano

Si: δ = δ(x, y)

El punto G = (x_G, y_G) es el baricentro, según:

Si δ es constante:

Teorema de Pappus-Guldin

El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

Vₓ = A_D·l_G

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.