Integrales dobles

Cambio de coordenadas en las integrales dobles

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

1. Cambio de dominio: D → D´
2. Cambio de función: f(x,y) → f(r·cos θ,r·sen θ)
3. Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr

∫∫_D f(x,y)dx·dy = ∫∫_D´ f(r·cos θ,r·sen θ)·r·dθ·dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

Resulta:

∫∫_D f(x,y)dx·dy = ∫∫_D´ f(x(u,v), y(u,v))·|J(u,v)|·du·dv

dx·dy → |J(u,v)|·du·dv

ó siendo:

Resulta:

∫∫_D f(x,y)·dx·dy = ∫∫_D´ f(r·cos θ,r·sen θ)·r·dθ·dr

Volumen de un sólido de revolución

Para el dominio:

D = {(x,y): x₁ ≤ x ≤ x₂, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

Baricentro de un dominio plano

Si: δ = δ(x,y)

El punto G = (x_G, y_G) es el baricentro, según:

Si δ es constante:

Teorema de Pappus-Guldin: El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

V_x = A_D·l_G