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Integrales dobles. AP08

Contenido: Cambio de coordenadas en integrales dobles. Volumen de un sólido de revolución. Baricentro de un dominio plano. Teorema de Pappus-Guldin ¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.

Integrales dobles

Cambio de coordenadas en las integrales dobles

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

  1. Cambio de dominio: D → D´
  2. Cambio de función: f(x,y) → f(r·cos θ,r·sen θ)
  3. Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr

∫∫D f(x,y)dx·dy = ∫∫ f(r·cos θ,r·sen θ)·r·dθ·dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

Resulta:

∫∫D f(x,y)dx·dy = ∫∫ f(x(u,v), y(u,v))·|J(u,v)|·du·dv

dx·dy → |J(u,v)|·du·dv

ó siendo:

x = r·cos θ

→ J(θ,r) =

-r·sen θ

cos θ

= -r

y = r·sen θ

r·cos θ

sen θ

Resulta:

∫∫D f(x,y)·dx·dy = ∫∫ f(r·cos θ,r·sen θ)·r·dθ·dr

Volumen de un sólido de revolución

Para el dominio:

D = {(x,y): x1 ≤ x ≤ x2, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

Vx = 2·π·∫∫D y·dx·dy ⇒

Baricentro de un dominio plano

Si: δ = δ(x,y)

El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:

xG =

∫∫Dx·δ(x,y)·dx·dy

∫∫Dδ(x,y)·dx·dy

yG =

∫∫Dy·δ(x,y)·dx·dy

∫∫Dδ(x,y)·dx·dy

Si δ es constante:

Teorema de Pappus-Guldin: El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

Vx = AD·lG

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