Fisicanet ®

Integrales dobles

Cambio de coordenadas en las integrales dobles

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

  1. Cambio de dominio: D → D'
  2. Cambio de función: ƒ(x, y) → ƒ(r·cos θ, r·sen θ)
  3. Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr

D ƒ(x, y) dx·dy = D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Cálculo del área de un dominio:

Fórmula para integrar el área de un dominio en coordenadas polares

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

Resulta:

D ƒ(x, y) dx·dy = D' ƒ(x(u, v), y(u, v))·|J(u, v)|·du·dv

dx·dy → |J(u, v)|·du·dv

ó siendo:

x = r·cos θ→ J(θ, r) =-r·sen θcos θ= -r
y = r·sen θr·cos θsen θ

Resulta:

D ƒ(x, y)·dx·dy = D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Volumen de un sólido de revolución

Para el dominio:

D = {(x, y): x1 ≤ x ≤ x2, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

Vx = 2·π·D y·dx·dy ⇒ Volumen de un sólido de revolución

Baricentro de un dominio plano

Si: δ = δ(x, y)

El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:

xG =D x·δ(x, y)·dx·dy
D δ(x, y)·dx·dy
 
yG =D y·δ(x, y)·dx·dy
D δ(x, y)·dx·dy

Si δ es constante:

Baricentro de un dominio plano

Teorema de Pappus-Guldin

El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

Vx = AD·lG

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.