Integrales dobles

Cambio de coordenadas en las integrales dobles

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

1. Cambio de dominio: D → D'
2. Cambio de función: ƒ(x, y) → ƒ(r·cos θ, r·sen θ)
3. Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr

∬_D ƒ(x, y) dx·dy = ∬_D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u, v)

y = y(u, v)

Resulta:

∬_D ƒ(x, y) dx·dy = ∬_D' ƒ(x(u, v), y(u, v))·|J(u, v)|·du·dv

dx·dy → |J(u, v)|·du·dv

ó siendo:

Resulta:

∬_D ƒ(x, y)·dx·dy = ∬_D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr

Volumen de un sólido de revolución

Para el dominio:

D = {(x, y): x₁ ≤ x ≤ x₂, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

V_x = 2·π·∬_D y·dx·dy ⇒

Baricentro de un dominio plano

Si: δ = δ(x, y)

El punto G = (x_G, y_G) es el baricentro, según:

Si δ es constante:

Teorema de Pappus-Guldin

El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.

V_x = A_D·l_G