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Integrales dobles
Cambio de coordenadas en las integrales dobles
De coordenadas cartesianas a polares:
Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.
- Cambio de dominio: D → D'
- Cambio de función: ƒ(x, y) → ƒ(r·cos θ, r·sen θ)
- Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr
∬D ƒ(x, y) dx·dy = ∬D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Cálculo del área de un dominio:
De coordenadas cartesianas a curvilíneas:
Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.
Siendo:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
Resulta:
∬D ƒ(x, y) dx·dy = ∬D' ƒ(x(u, v), y(u, v))·|J(u, v)|·du·dv
dx·dy → |J(u, v)|·du·dv
ó siendo:
x = r·cos θ | → J(θ, r) = | -r·sen θ | cos θ | = -r |
y = r·sen θ | r·cos θ | sen θ |
Resulta:
∬D ƒ(x, y)·dx·dy = ∬D' ƒ(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Volumen de un sólido de revolución
Para el dominio:
D = {(x, y): x1 ≤ x ≤ x2, α(x) ≤ y ≤ β(x)}
Alrededor del eje x:
Vx = 2·π·∬D y·dx·dy ⇒
Baricentro de un dominio plano
Si: δ = δ(x, y)
El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:
xG = | ∬D x·δ(x, y)·dx·dy |
∬D δ(x, y)·dx·dy | |
yG = | ∬D y·δ(x, y)·dx·dy |
∬D δ(x, y)·dx·dy |
Si δ es constante:
Teorema de Pappus-Guldin
El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.
Vx = AD·lG
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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