Integrales triples

Condiciones para que una integral se anule

Gráfico del dominio a integrar
Gráfico del dominio a integrar

Con respecto al plano y = 0 (xz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x, y, z) la condición de simetría es:

f(x, y, z) = f(-x, y, z)

Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:

g(x, y, z) ≠ g(-x, y, z)

Con respecto al plano x = 0 (yz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x, y, z) la condición de simetría es:

f(x, y, z) = f(x, -y, z)

Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:

g(x, y, z) ≠ g(x, -y, z)

Primera Fórmula:

D f(x, y, z)·dx·dy·dz = Dxy dx·dy β(x,y)f(x, y, z)·dz
 
α(x,y)

Para un volumen:

D dx·dy·dz = Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy

Segunda Fórmula:

D f(x, y, z)·dx·dy·dz = bdz·Sz f(x, y, z)·dx·dy
 
a

Para un volumen:

D dx·dy·dz = bdz·Sz·dx·dy
 
a

Cambio de coordenadas

A coordenadas esféricas:

Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

dx·dy·dz = |J|·dθ·dr·dφ

D f(x, y, z) dx·dy·dz = D' f(r·cos θ·sen φ, r·sen θ·sen φ, r·cos φ)·r²·dθ·dr·dφ

A coordenadas curvilíneas:

x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w)

dx·dy·dz = |J|·(u, v, w) du·dv·dw

D f(x, y, z) dx·dy·dz = D' f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J|·(u, v, w) du·dv·dw

Baricentro de un sólido

xG =D x·dx·dy·dz
D dx·dy·dz
 
yG =D y·dx·dy·dz
D dx·dy·dz
 
zG =D z·dx·dy·dz
D dx·dy·dz

Baricentro: G(xG, yG, zG)

Relaciones Utiles:

cos² x + sen² x = 1

2·sen x·cos x = sen 2·x

cos² x - sen² x = cos 2·x

cosh² x - senh² x = 1

cosh α = (ex + e-x)/2

senh α = (ex - e-x)/2

sen² α·dα = ½·[1 - (sen α)·(cos α)]

cos² α·dα = ½·[1 + (sen α)·(cos α)]

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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