Integrales triples

Gráfico del dominio a integrar

Condiciones para que una integral se anule:

Con respecto al plano y = 0 (xz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio ƒ(x, y, z) la condición de simetría es:

ƒ(x, y, z) = ƒ(-x, y, z)

Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:

g(x, y, z) ≠ g(-x, y, z)

Con respecto al plano x = 0 (yz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio ƒ(x, y, z) la condición de simetría es:

ƒ(x, y, z) = ƒ(x, -y, z)

Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:

g(x, y, z) ≠ g(x, -y, z)

Primera Fórmula:

∭_D ƒ(x, y, z)·dx·dy·dz =

Para un volumen:

∭_D dx·dy·dz = ∬_Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy

Segunda Fórmula:

∭_D ƒ(x, y, z)·dx·dy·dz =

Para un volumen:

∭_D dx·dy·dz =

Cambio de coordenadas

A coordenadas esféricas:

Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

dx·dy·dz = |J|·dθ·dr·dφ

∭_D ƒ(x, y, z) dx·dy·dz = ∭_D' ƒ(r·(cos θ)·(sen φ), r·(sen θ)·(sen φ), r·cos φ)·r²·dθ·dr·dφ

A coordenadas curvilíneas:

x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w)

dx·dy·dz = |J|·(u, v, w) du·dv·dw

∭_D ƒ(x, y, z) dx·dy·dz = ∭_D' ƒ(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J|·(u, v, w) du·dv·dw

Baricentro de un sólido

Baricentro: G(x_G, y_G, z_G)

Relaciones Utiles:

cos² x + sen² x = 1

2·sen x·cos x = sen 2·x

cos² x - sen² x = cos 2·x

cosh² x - senh² x = 1

cosh α = (e^x + e^-x)/2

senh α = (e^x - e^-x)/2

∫ sen² α·dα = ½·[1 - (sen α)·(cos α)]

∫ cos² α·dα = ½·[1 + (sen α)·(cos α)]