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Integrales triples
Condiciones para que una integral se anule

Con respecto al plano y = 0 (xz)
El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.
Para el dominio ƒ(x, y, z) la condición de simetría es:
ƒ(x, y, z) = ƒ(-x, y, z)
Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:
g(x, y, z) ≠ g(-x, y, z)
Con respecto al plano x = 0 (yz)
El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.
Para el dominio ƒ(x, y, z) la condición de simetría es:
ƒ(x, y, z) = ƒ(x, -y, z)
Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:
g(x, y, z) ≠ g(x, -y, z)
Primera Fórmula:
∭D ƒ(x, y, z)·dx·dy·dz =
Para un volumen:
∭D dx·dy·dz = ∬Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy
Segunda Fórmula:
∭D ƒ(x, y, z)·dx·dy·dz =
Para un volumen:
∭D dx·dy·dz =
Cambio de coordenadas
A coordenadas esféricas:
Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.
x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
dx·dy·dz = |J|·dθ·dr·dφ
∭D ƒ(x, y, z) dx·dy·dz = ∭D' ƒ(r·(cos θ)·(sen φ), r·(sen θ)·(sen φ), r·cos φ)·r²·dθ·dr·dφ
A coordenadas curvilíneas:
x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
dx·dy·dz = |J|·(u, v, w) du·dv·dw
∭D ƒ(x, y, z) dx·dy·dz = ∭D' ƒ(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J|·(u, v, w) du·dv·dw
Baricentro de un sólido
xG = | ∭D x·dx·dy·dz |
∭D dx·dy·dz | |
yG = | ∭D y·dx·dy·dz |
∭D dx·dy·dz | |
zG = | ∭D z·dx·dy·dz |
∭D dx·dy·dz |
Baricentro: G(xG, yG, zG)
Relaciones Utiles:
cos² x + sen² x = 1
2·sen x·cos x = sen 2·x
cos² x - sen² x = cos 2·x
cosh² x - senh² x = 1
cosh α = (ex + e-x)/2
senh α = (ex - e-x)/2
∫ sen² α·dα = ½·[1 - (sen α)·(cos α)]
∫ cos² α·dα = ½·[1 + (sen α)·(cos α)]
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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