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Integrales triples. AP09

Contenido: Resumen y fórmulas: Cambio de coordenadas a esféricas y a curvilíneas. Baricentro de un sólido.

Integrales triples


Gráfico del dominio a integrar

Condiciones para que una integral se anule:

Con respecto al plano y = 0 (xz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x,y,z) la condición de simetría es:

f(x,y,z) = f(-x,y,z)

Para la integranda g(x,y,z) la condición de antisimetría es:

g(x,y,z) ≠ g(-x,y,z)

Con respecto al plano x = 0 (yz)

El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.

Para el dominio f(x,y,z) la condición de simetría es:

f(x,y,z) = f(x,-y,z)

Para la integranda g(x,y,z) la condición de antisimetría es:

g(x,y,z) ≠ g(x,-y,z)

 

Primera Fórmula:

∫∫∫D f(x,y,z)·dx·dy·dz = Integrales triples

Para un volumen:

∫∫∫D dx·dy·dz = ∫∫Dxy [β(x,y) - α(x,y)]·dx·dy

Segunda Fórmula:

∫∫∫D f(x,y,z)·dx·dy·dz = Integrales triples

Para un volumen:

∫∫∫D dx·dy·dz = Integral triple para calcular volumen

Cambio de coordenadas

A coordenadas esféricas:

Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

dx·dy·dz = |J|·dθ·dr·dφ

∫∫∫D f(x,y,z)dx·dy·dz = ∫∫∫ f(r·(cos θ)·(sen φ),r·(sen θ)·(sen φ),r·cos φ)r²·dθ·dr·dφ

A coordenadas curvilíneas:

x = x(u,v,w)

y = y(u,v,w)

z = z(u,v,w)

dx·dy·dz = |J|·(u,v,w)du·dv·dw

∫∫∫D f(x,y,z)dx·dy·dz = ∫∫∫ f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|·(u,v,w)du·dv·dw

Baricentro de un sólido

xG =

∫∫∫Dx·dx·dy·dz

∫∫∫Ddx·dy·dz

yG =

∫∫∫Dy·dx·dy·dz

∫∫∫Ddx·dy·dz

zG =

∫∫∫Dz·dx·dy·dz

∫∫∫Ddx·dy·dz

Baricentro: G(xG, yG, zG)

Relaciones Utiles:

cos² x + sen² x = 1

2·sen x·cos x = sen 2·x

cos² x - sen² x = cos 2·x

cosh² x - senh² x = 1

cosh α = (ex + e-x)/2

senh α = (ex - e-x)/2

sen² α·d α = ½·[1 - (sen α)·(cos α)]

cos² α·d α = ½·[1 + (sen α)·(cos α)]

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