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Divergencia, rotor, Stokes. AP10

Contenido: Resumen y fórmulas: Divergencia, rotor y Stokes. Divergencia del gradiente. Ecuación de Laplace. Formulas de Green en R3.

Divergencia - rotor - Stokes

Teniendo en cuenta el siguiente operador:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

Divergencia

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(X) = (f1,f2,f3)

Resulta:

div F =∇F

esto es una función

Rotor

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(X) = (f1,f2,f3)

Resulta:

rot F =∇xF

esto es un campo vectorial

Divergencia del gradiente

Se aplica a funciones.

Sea φ (x,y,z)

Resulta:

div grad φ = ∇² φ

siendo

∇² = (∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z²)

Ecuación de Laplace

Si ∇² φ = 0

La función es armónica.

Fórmulas de Green en ℜ³

Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:

∫∫∂T f(x,y,z)·E1·dS = ∫∫∫T fx(x,y,z)·dx·dy·dz

∫∫∂T f(x,y,z)·E2·dS = ∫∫∫T fy(x,y,z)·dx·dy·dz

∫∫∂T f(x,y,z)·E3·dS = ∫∫∫T fz(x,y,z)·dx·dy·dz

Teorema de la divergencia o de Gauss en ℜ³

Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:

∫∫∂T F·dS = ∫∫∫T div F·dt

Aplicaciones:

Teorema de Stokes

Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:

∂S F·dC = ∫∫S rot F·dS

Circulación del campo

La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.

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