Divergencia - rotor - Stokes

Teniendo en cuenta el siguiente operador:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

Divergencia

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(x) = (ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃)

Resulta:

div F = ∇F

Esto es una función

Rotor

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(x) = (ƒ₁, ƒ₂, ƒ₃)

Resulta:

rot F = ∇xF

Esto es un campo vectorial

Divergencia del gradiente

Se aplica a funciones.

Sea φ (x, y, z)

Resulta:

div grad φ = ∇²φ

Siendo:

∇² = (∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z²)

Ecuación de Laplace

Si ∇²φ = 0

La función es armónica.

Fórmulas de Green en ℜ³

Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:

∬_∂T ƒ(x, y, z)·E₁·dS = ∭_T ƒ_x(x, y, z)·dx·dy·dz

∬_∂T ƒ(x, y, z)·E₂·dS = ∭_T ƒ_y(x, y, z)·dx·dy·dz

∬_∂T ƒ(x, y, z)·E₃·dS = ∭_T ƒ_z(x, y, z)·dx·dy·dz

Teorema de la divergencia o de Gauss en ℜ³

Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:

∬_∂T F·dS = ∭_T div F·dt

Aplicaciones:

Teorema de Stokes

Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:

∫_∂S F·dC = ∬_S rot F·dS

Circulación del campo

La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.