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Divergencia - rotor - Stokes
Teniendo en cuenta el siguiente operador:
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
Divergencia
Se aplica a campos vectoriales.
Sea F(x) = (ƒ1, ƒ2, ƒ3)
Resulta:
div F = ∇F
Esto es una función
Rotor
Se aplica a campos vectoriales.
Sea F(x) = (ƒ1, ƒ2, ƒ3)
Resulta:
rot F = ∇xF
Esto es un campo vectorial
Divergencia del gradiente
Se aplica a funciones.
Sea φ (x, y, z)
Resulta:
div grad φ = ∇²φ
Siendo:
∇² = (∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z²)
Ecuación de Laplace
Si ∇²φ = 0
La función es armónica.
Fórmulas de Green en ℜ³
Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:
∬∂T ƒ(x, y, z)·E1·dS = ∭T ƒx(x, y, z)·dx·dy·dz
∬∂T ƒ(x, y, z)·E2·dS = ∭T ƒy(x, y, z)·dx·dy·dz
∬∂T ƒ(x, y, z)·E3·dS = ∭T ƒz(x, y, z)·dx·dy·dz
Teorema de la divergencia o de Gauss en ℜ³
Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dt
Aplicaciones:
Teorema de Stokes
Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:
∫∂S F·dC = ∬S rot F·dS
Circulación del campo
∮C F·dC = ∬S rot F·dS
La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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