Divergencia - rotor - Stokes

Teniendo en cuenta el siguiente operador:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

Divergencia

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(x) = (f₁, f₂, f₃)

Resulta:

div F = ∇F

esto es una función

Rotor

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(x) = (f₁, f₂, f₃)

Resulta:

rot F = ∇xF

esto es un campo vectorial

Divergencia del gradiente

Se aplica a funciones.

Sea φ (x, y, y)

Resulta:

div grad φ = ∇² φ

siendo

∇² = (∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z²)

Ecuación de Laplace

Si ∇² φ = 0

La función es armónica.

Fórmulas de Green en ℜ³

Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:

∫∫_∂T f(x, y, z)·E₁·dS = ∫∫∫_T f_x(x, y, y)·dx·dy·dz

∫∫_∂T f(x, y, z)·E₂·dS = ∫∫∫_T f_y(x, y, y)·dx·dy·dz

∫∫_∂T f(x, y, z)·E₃·dS = ∫∫∫_T f_z(x, y, y)·dx·dy·dz

Teorema de la divergencia o de Gauss en ℜ³

Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:

∫∫_∂T F·dS = ∫∫∫_T div F·dt

Aplicaciones:

Teorema de Stokes

Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:

∫_∂S F·dC = ∫∫_S rot F·dS

Circulación del campo

La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.