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Divergencia, rotor, Stokes AP10

Contenido: Resumen y fórmulas: Divergencia, rotor y Stokes. Divergencia del gradiente. Ecuación de Laplace. Formulas de Green en R3.

Divergencia - rotor - Stokes

Teniendo en cuenta el siguiente operador:

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

Divergencia

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(x) = (ƒ1, ƒ2, ƒ3)

Resulta:

div F = ∇F

Esto es una función

Rotor

Se aplica a campos vectoriales.

Sea F(x) = (ƒ1, ƒ2, ƒ3)

Resulta:

rot F = ∇xF

Esto es un campo vectorial

Divergencia del gradiente

Se aplica a funciones.

Sea φ (x, y, z)

Resulta:

div grad φ = ∇²φ

Siendo:

∇² = (∂²/∂x², ∂²/∂y², ∂²/∂z²)

Ecuación de Laplace

Si ∇²φ = 0

La función es armónica.

Fórmulas de Green en ℜ³

Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:

∂T ƒ(x, y, z)·E1·dS = T ƒx(x, y, z)·dx·dy·dz

∂T ƒ(x, y, z)·E2·dS = T ƒy(x, y, z)·dx·dy·dz

∂T ƒ(x, y, z)·E3·dS = T ƒz(x, y, z)·dx·dy·dz

Teorema de la divergencia o de Gauss en ℜ³

Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:

∂T F·dS = T div F·dt

Aplicaciones:

Teorema de Stokes

Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:

∂S F·dC = S rot F·dS

Circulación del campo

Circulación de campo sobre la trayectoria cerrada

La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.

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