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Solución del ejercicio n° 12 de cálculo de las coordenadas del baricentro por integración. Problema resuelto.Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro.
Problema n° 12 de integrales
Problema n° 12
{(x, y): (x - 2)²/4 + y² ≤ 1, x ≥ 2}
Si:
Cambiando de sistema de coordenadas:
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro
Con el dominio: {(x, y): (x/2)² + y² ≤ 1, x ≥ 0}
y = 0 es eje de simetría, entonces YG = 0
Cambiando a coordenadas cilíndricas:
Gráfico del dominio en coordenadas cilíndricas para el cálculo de baricentro
x = 2·u ⇒ u = x/2
y = v
|J| = 2 ⇒ dx·dy = 2·du·dv
Con el dominio: {(u, v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0}
Si: XG = I/A
Luego:
I = ∬D x·dx·dy = ∬D' 2·u·2·du·dv = 4·∬D' u·du·dv
Por simetría con respecto a y = 0:
I = 8·∬D" u·du·dv
Con:
{(u, v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0}
Cambiando a sistema de coordenadas polares:
u = r·cos θ
v = r·sen θ
|J| = r
du·dv = r·dθ·dr
Para:
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ π/2
I = 8·∬D" r·(cos θ)·r·dθ·dr = 8·∬D" r²·(cos θ)·dθ·dr =
Luego:
= (8/3)·[sen (π/2) - sen 0] = (8/3)·1 = 8/3
Para calcular A debemos tener en cuenta el dominio original y en forma práctica se trata de media área de elipse:
A = ∬D·dx·dy = a·b·π/2 = 1·2·π/2 = π
Finalmente:
XG = I/A = (8/3)/π = 8/(3·π)
Resultado, el baricentro es:
G = [8/(3·π), 0]
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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