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Guía de ejercicios de integrales dobles (primera parte). TP03

Integrales: Solución del ejercicio n° 12 de cálculo de las coordenadas del baricentro por integración. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro.

Problema n° 12 de integrales.

Problema n° 12) {(x,y): (x - 2)²/4 + y² ≤ 1, x ≥ 2}

Si: Coordenadas del baricentro

Cambiando de sistema de coordenadas:


Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Con el dominio: {(x,y): (x/2)² + y² ≤ 1, x ≥ 0}

y = 0 es eje de simetría, entonces YG = 0

Cambiando a coordenadas cilíndricas:


Gráfico del dominio en coordenadas cilíndricas para el cálculo de baricentro

x = 2·u ⇒ u = x/2

y = v

|J| = 2 ⇒ dx·dy = 2·du·dv

Con el dominio: {(u,v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0}

Si: XG = I/A

Luego:

I = ∫∫D x·dx·dy = ∫∫ 2·u·2·du·dv = 4·∫∫ u·du·dv

Por simetría con respecto a y = 0:

I = 8·∫∫D" u·du·dv

con

{(u,v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0}

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

|J| = r

du·dv = r·dθ·dr

Para:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π/2

I = 8·∫∫D" r·(cos θ)·r·dθ·dr = 8·∫∫D" r²·(cos θ)·dθ·dr = Cálculo de las coordenadas del baricentro

Luego:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

= (8/3)·[sen (π/2) - sen 0] = (8/3)·1 = 8/3

Para calcular A debemos tener en cuenta el dominio original y en forma práctica se trata de media área de elipse:

A = ∫∫D·dx·dy = a·b·π/2 = 1·2·π/2 = π

Finalmente:

XG = I/A = (8/3)/π = 8/(3·π)

El baricentro es:

G = [8/(3·π), 0]

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