Fisicanet ®

Solución del ejercicio n° 12 de cálculo de las coordenadas del baricentro por integración. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro.

Problema n° 12 de integrales

Problema n° 12

{(x, y): (x - 2)²/4 + y² ≤ 1, x ≥ 2}

Si:

XG =D x·dx·dy
D dx·dy
 
YG =D y·dx·dy
D dx·dy

Cambiando de sistema de coordenadas:

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Con el dominio: {(x, y): (x/2)² + y² ≤ 1, x ≥ 0}

y = 0 es eje de simetría, entonces YG = 0

Cambiando a coordenadas cilíndricas:

Gráfico del dominio en coordenadas cilíndricas para el cálculo de baricentro
Gráfico del dominio en coordenadas cilíndricas para el cálculo de baricentro

x = 2·u ⇒ u = x/2

y = v

|J| = 2 ⇒ dx·dy = 2·du·dv

Con el dominio: {(u, v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0}

Si: XG = I/A

Luego:

I = D x·dx·dy = D' 2·u·2·du·dv = 4·D' u·du·dv

Por simetría con respecto a y = 0:

I = 8·D" u·du·dv

Con:

{(u, v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0}

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

|J| = r

du·dv = r·dθ·dr

Para:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π/2

I = 8·D" r·(cos θ)·r·dθ·dr = 8·D" r²·(cos θ)·dθ·dr = Cálculo de las coordenadas del baricentro

Luego:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

= (8/3)·[sen (π/2) - sen 0] = (8/3)·1 = 8/3

Para calcular A debemos tener en cuenta el dominio original y en forma práctica se trata de media área de elipse:

A = D·dx·dy = a·b·π/2 = 1·2·π/2 = π

Finalmente:

XG = I/A = (8/3)/π = 8/(3·π)

Resultado, el baricentro es:

G = [8/(3·π), 0]

Actualizado:

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.