Problema nº 12 de integrales, coordenadas del baricentro

Enunciado del ejercicio nº 12

{(x, y): (x - 2)²/4 + y² ≤ 1, x ≥ 2}

Si:

Cambiando de sistema de coordenadas:

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Con el dominio:

{(x, y): (x/2)² + y² ≤ 1, x ≥ 0}

y = 0 es eje de simetría, entonces:

Y_G = 0

Cambiando a coordenadas cilíndricas:

Gráfico del dominio en coordenadas cilíndricas para el cálculo de baricentro

x = 2·u ⇒ u = x/2

y = v

|J| = 2 ⇒ dx·dy = 2·du·dv

Con el dominio:

{(u, v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0}

Si: X_G = I/A

Luego:

Por simetría con respecto a y = 0:

Con:

{(u, v): u² + v² ≤ 1, u ≥ 0, v ≥ 0}

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

|J| = r

du·dv = r·dθ·dr

Para:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π/2

Luego:

Para calcular A debemos tener en cuenta el dominio original y en forma práctica se trata de media área de elipse:

A = π

Finalmente:

Resultado, el baricentro es:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro.