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Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro de un sólido.

Problema n° 8 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 8

D = {(x, y, z): x² + y² ≤ 2·z, x² + y² ≤ 1, x² + y² + z² ≤ 9}

Las ecuaciones de las coordenadas son:

Para el dominio:

Por simetría del dominio con respecto al plano y = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano y = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(x, -y)

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro del sólido

Para el paraboloide:

f(x, y) = (x² + y²)/2

f(x, -y) = [x² + (-y)²]/2 = (x² + y²)/2

Cumple.

Para el cilindro:

f(x, y) = x² + y²

f(x, -y) = x² + (-y)² = x² + y²

Cumple.

Para la semiesfera:

f(x, y, z) = f(x, -y, z)

f(x, y, z) = x² + y² + z²

f(x, -y, z) = x² + (-y)² + z² = x² + y² + z²

Cumple.

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(x, -y) = -f(x, y)

Para la coordenada en Y:

f(x, y) = y ⇒ -f(x, y) = - y

f(x, -y) = - y

Cumple.

Por lo tanto Y_G = 0

Para la coordenada en x ocurre que por simetría del dominio con respecto al plano x = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano x = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(-x, y)

Para el paraboloide:

f(x, y) = (x² + y²)/2

f(-x, y) = [(-x)² + y²]/2 = (x² + y²)/2

Cumple.

Para el cilindro:

f(x, y) = x² + y²

f(-x, y) = (-x)² + y² = x² + y²

Cumple.

Para la semiesfera:

f(x, y, z) = f(-x, y, z)

f(x, y, z) = x² + y² + z²

f(-x, y, z) = (-x)² + y² + z² = x² + y² + z²

Cumple.

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(-x, y) = -f(x, y)

Para la coordenada en X:

f(x, y) = x ⇒ -f(x, y) = -x

f(-x, y) = -x

Cumple.

Por lo tanto X_G = 0

Para calcular el volumen aplicamos la primera fórmula de reducción para un dominio base D_xy de la función superior menos la función inferior:

V_D = ∭_D·dx·dy·dz

V_D = ∬_Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy

V_D = ∬_Dxy [√9 - (x² + y²) - ½·(x² + y²)]·dx·dy

Pasando a coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

|J| = r

V_D = ∬_D'xy (√9 - r² - ½·r²)·r·dr·dθ

V_D = ∬_D'xy (r·√9 - r² - ½·r³)·dr·dθ

V_D = ∬_D'xy r·√9 - r²·dr·dθ - ½·∬_D'xy r³·dr·dθ

Si:

u = 9 - r²

du = -2·r·dr ⇒ -du/2 = r·dr

V_D = -⅓·(2⁴·√2 - 3³)·2·π - ⅛·2·π

V_D = -⅔·(16·√2 - 27)·π - ¼·π

V_D = [-⅔·(16·√2 - 27) - ¼]·π

V_D = (-128·√2 + 216 - 3)·π/12

V_D = (-128·√2 + 216 - 3)·π/12

V_D = (-128·√2 + 213)·π/12

V_D = (213 - 128·√2)·π/12

I_z = ∭_D z·dx·dy·dz

I_z = ½·∬_Dxy {[√9 - (x² + y²)]² - [½·(x² + y²)]²}·dx·dy

I_z = ½·∬_Dxy [9 - (x² + y²) - ¼·(x² + y²)²]·dx·dy

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

I_z = ½·∬_D'xy (9 - r² - ¼·r⁴)·r·dr·dθ

I_z = ½·∬_D'xy (9·r - r³ - ¼·r⁵)·dr·dθ

Como las variables son independientes en la integral:

I_z = π·[(9/2)·(1² - 0²) - ¼·(1⁴ - 0⁴) - (1/24)·(1⁶ - 0⁶)]

I_z = π·(9/2 - 1/4 - 1/24)

I_z = π·(108 - 6 - 1)/24

I_z = π·101/24

Calculando la coordenada:

Expresando el baricentro como punto:

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