Problema nº 8 de integrales, coordenadas del baricentro de un sólido
Enunciado del ejercicio nº 8
D = {(x, y, z): x² + y² ≤ 2·z, x² + y² ≤ 1, x² + y² + z² ≤ 9}
Las ecuaciones de las coordenadas son:
Para el dominio:
Por simetría del dominio con respecto al plano y = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano y = 0, resulta:
Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(x, -y)
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro del sólido
Para el paraboloide:
Cumple.
Para el cilindro:
f(x, y) = x² + y²
f(x, -y) = x² + (-y)² = x² + y²
Cumple.
Para la semiesfera:
f(x, y, z) = f(x, -y, z)
f(x, y, z) = x² + y² + z²
f(x, -y, z) = x² + (-y)² + z² = x² + y² + z²
Cumple.
Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(x, -y) = -f(x, y)
Para la coordenada en Y:
f(x, y) = y ⇒ -f(x, y) = -y
f(x, -y) = -y
Cumple.
Por lo tanto YG = 0
Para la coordenada en x ocurre que por simetría del dominio con respecto al plano x = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano x = 0, resulta:
Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(-x, y)
Para el paraboloide:
Cumple.
Para el cilindro:
f(x, y) = x² + y²
f(-x, y) = (-x)² + y² = x² + y²
Cumple.
Para la semiesfera:
f(x, y, z) = f(-x, y, z)
f(x, y, z) = x² + y² + z²
f(-x, y, z) = (-x)² + y² + z² = x² + y² + z²
Cumple.
Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(-x, y) = -f(x, y)
Para la coordenada en X:
f(x, y) = x ⇒ -f(x, y) = -x
f(-x, y) = -x
Cumple.
Por lo tanto XG = 0
Para calcular el volumen aplicamos la primera fórmula de reducción para un dominio base Dxy de la función superior menos la función inferior:
Pasando a coordenadas polares:
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
|J| = r
Si:
u = 9 - r²
du = -2·r·dr ⇒ -du/2 = r·dr
Cambiando a sistema de coordenadas polares:
Como las variables son independientes en la integral:
Calculando la coordenada:
Expresando el baricentro como punto:
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro de un sólido.