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Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro de un sólido.

Problema n° 8 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 8

D = {(x, y, z): x² + y² ≤ 2·z, x² + y² ≤ 1, x² + y² + z² ≤ 9}

Las ecuaciones de las coordenadas son:

xG =D x·dx·dy·dz=Ix
D dx·dy·dzVD
 
yG =Dy·dx·dy·dz=Iy
D dx·dy·dzVD
 
zG =D z·dx·dy·dz=Iz
D dx·dy·dzVD

Para el dominio:

Por simetría del dominio con respecto al plano y = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano y = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(x, -y)

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro del sólido
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro del sólido

Para el paraboloide:

f(x, y) = (x² + y²)/2

f(x, -y) = [x² + (-y)²]/2 = (x² + y²)/2

Cumple.

Para el cilindro:

f(x, y) = x² + y²

f(x, -y) = x² + (-y)² = x² + y²

Cumple.

Para la semiesfera:

f(x, y, z) = f(x, -y, z)

f(x, y, z) = x² + y² + z²

f(x, -y, z) = x² + (-y)² + z² = x² + y² + z²

Cumple.

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(x, -y) = -f(x, y)

Para la coordenada en Y:

f(x, y) = y ⇒ -f(x, y) = - y

f(x, -y) = - y

Cumple.

Por lo tanto YG = 0

Para la coordenada en x ocurre que por simetría del dominio con respecto al plano x = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano x = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(-x, y)

Para el paraboloide:

f(x, y) = (x² + y²)/2

f(-x, y) = [(-x)² + y²]/2 = (x² + y²)/2

Cumple.

Para el cilindro:

f(x, y) = x² + y²

f(-x, y) = (-x)² + y² = x² + y²

Cumple.

Para la semiesfera:

f(x, y, z) = f(-x, y, z)

f(x, y, z) = x² + y² + z²

f(-x, y, z) = (-x)² + y² + z² = x² + y² + z²

Cumple.

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(-x, y) = -f(x, y)

Para la coordenada en X:

f(x, y) = x ⇒ -f(x, y) = -x

f(-x, y) = -x

Cumple.

Por lo tanto XG = 0

Para calcular el volumen aplicamos la primera fórmula de reducción para un dominio base Dxy de la función superior menos la función inferior:

VD = D·dx·dy·dz

VD = Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy

VD = Dxy [9 - (x² + y²) - ½·(x² + y²)]·dx·dy

Pasando a coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

|J| = r

VD = D'xy (9 - r² - ½·r²)·r·dr·dθ

VD = D'xy (r·9 - r² - ½·r³)·dr·dθ

VD = D'xy9 - r²·dr·dθ - ½·D'xy r³·dr·dθ

VD = 2·π19 - r²·dr - ½·2·π1r³·dr
    
0000

Si:

u = 9 - r²

du = -2·r·dr ⇒ -du/2 = r·dr

VD = -½·2·π1u·du - ½·2·π1r³·dr
    
0000
VD = -½·2·π⅔·[u3/2]1·dθ - ½·2·π¼·[r4]1·dθ
    
0000
VD = -½·2·π⅔·[9 - r²]3/21·dθ - ½·2·π¼·(14 - 04)·dθ
   
000
VD = -½·2·π⅔·[(9 - 1²)3/2 - (9 - 0²)3/2)]·dθ - ½·2·π(¼)·dθ
  
00
VD = -½·⅔·2·π(83/2 - 93/2)·dθ - ½·¼·2·π
  
00
VD = -⅓·2·π(29 - 36)·dθ -⅛·2·π
  
00

VD = -⅓·(24·2 - 3³)·2·π - ⅛·2·π

VD = -⅔·(16·2 - 27)·π - ¼·π

VD = [-⅔·(16·2 - 27) - ¼]·π

VD = (-128·2 + 216 - 3)·π/12

VD = (-128·2 + 216 - 3)·π/12

VD = (-128·2 + 213)·π/12

VD = (213 - 128·2)·π/12

Iz = D z·dx·dy·dz

Iz = Dxy dx·dyβ(x, y)z·dz
 
α(x, y)
Iz = Dxy dx·dy9 - (x² + y²)z·dz
 
(x² + y²)/2
Iz = Dxy [½·z²]9 - (x² + y²)·dx·dy
 
(x² + y²)/2

Iz = ½·Dxy {[9 - (x² + y²)]² - [½·(x² + y²)]²}·dx·dy

Iz = ½·Dxy [9 - (x² + y²) - ¼·(x² + y²)²]·dx·dy

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
→ |J| = r

Iz = ½·D'xy (9 - r² - ¼·r4)·r·dr·dθ

Iz = ½·D'xy (9·r - r³ - ¼·r5)·dr·dθ

Iz = ½·2·π1(9·r - r³ - ¼·r5)·dr
  
00

Como las variables son independientes en la integral:

Iz = ½·2·π·1(9·r - r³ - ¼·r5)·dr
 
0
Iz = π·1(9·r - r³ - ¼·r5)·dr
 
0
Iz = π·[9·½·r² - ¼·r4 - ¼·⅙·r6]1
 
0

Iz = π·[(9/2)·(1² - 0²) - ¼·(14 - 04) - (1/24)·(16 - 06)]

Iz = π·(9/2 - 1/4 - 1/24)

Iz = π·(108 - 6 - 1)/24

Iz = π·101/24

Calculando la coordenada:

ZG =Iz
VD
  101·π
ZG =24
213 - 128·2·π
 12
ZG =101·1
2213 - 128·2
ZG =101
2·(213 - 128·2)

Expresando el baricentro como punto:

G = [0, 0,101]
2·(213 - 128·2)

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