Guía de ejercicios de baricentro de un sólido. TP07

Integrales: Solución del ejercicio n° 8 de cálculo de las coordenadas del baricentro por integración. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro de un sólido.

Problema n° 8 de integrales.

Problema n° 8) D = {(x, y, z): x² + y² ≤ 2·z, x² + y² ≤ 1, x² + y² + z² ≤ 9}

Las ecuaciones de las coordenadas son:

xG =

D x·dx·dy·dz

=

Ix

D dx·dy·dz

VD

yG =

Dy·dx·dy·dz

=

Iy

D dx·dy·dz

VD

zG =

D z·dx·dy·dz

=

Iz

D dx·dy·dz

VD

Para el dominio:

Por simetría del dominio con respecto al plano y = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano y = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir ƒ(x, y) = ƒ(x, -y)


Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro del sólido

Para el paraboloide:

ƒ(x, y) = (x² + y²)/2

ƒ(x, -y) = [x² + (-y)²]/2 = (x² + y²)/2

Cumple.

Para el cilindro:

ƒ(x, y) = x² + y²

ƒ(x, -y) = x² + (-y)² = x² + y²

Cumple.

Para la semiesfera:

ƒ(x, y, z) = ƒ(x, -y, z)

ƒ(x, y, z) = x² + y² + z²

ƒ(x, -y, z) = x² + (-y)² + z² = x² + y² + z²

Cumple.

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir ƒ(x, -y) = -ƒ(x, y)

Para la coordenada en Y:

ƒ(x, y) = y ⇒ -ƒ(x, y) = - y

ƒ(x, -y) = - y

Cumple.

Por lo tanto YG = 0

Para la coordenada en x ocurre que por simetría del dominio con respecto al plano x = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano x = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir ƒ(x, y) = ƒ(-x, y)

Para el paraboloide:

ƒ(x, y) = (x² + y²)/2

ƒ(-x, y) = [(-x)² + y²]/2 = (x² + y²)/2

Cumple.

Para el cilindro:

ƒ(x, y) = x² + y²

ƒ(-x, y) = (-x)² + y² = x² + y²

Cumple.

Para la semiesfera:

ƒ(x, y, z) = ƒ(-x, y, z)

ƒ(x, y, z) = x² + y² + z²

ƒ(-x, y, z) = (-x)² + y² + z² = x² + y² + z²

Cumple.

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir ƒ(-x, y) = -ƒ(x, y)

Para la coordenada en X:

ƒ(x, y) = x ⇒ -ƒ(x, y) = -x

ƒ(-x, y) = -x

Cumple.

Por lo tanto XG = 0

Para calcular el volumen aplicamos la primera fórmula de reducción para un dominio base Dxy de la función superior menos la función inferior:

VD = D·dx·dy·dz

VD = Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy

Cálculo del volumen de un sólido

Pasando a coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

|J| = r

Cálculo del volumen de un sólido

Cálculo del volumen de un sólido

Si:

u = 9 - r²

du = -2·r·dr ⇒ -du/2 = r·dr

Cálculo del volumen de un sólido

Iz = D z·dx·dy·dz

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

→ |J| = r

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Como las variables son independientes en la integral:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Calculando la coordenada:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Expresando el baricentro como punto:

Coordenadas del baricentro de un sólido

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  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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