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Solución del ejercicio n° 8 de cálculo de las coordenadas del baricentro por integración. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular las coordenadas del baricentro de un sólido.
Problema n° 8 de integrales
Problema n° 8
D = {(x, y, z): x² + y² ≤ 2·z, x² + y² ≤ 1, x² + y² + z² ≤ 9}
Las ecuaciones de las coordenadas son:
| xG = | ∭D x·dx·dy·dz | = | Ix |
| ∭D dx·dy·dz | VD | ||
| yG = | ∭Dy·dx·dy·dz | = | Iy |
| ∭D dx·dy·dz | VD | ||
| zG = | ∭D z·dx·dy·dz | = | Iz |
| ∭D dx·dy·dz | VD | ||
Para el dominio:
Por simetría del dominio con respecto al plano y = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano y = 0, resulta:
Para la simetría del dominio se debe cumplir ƒ(x, y) = ƒ(x, -y)
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro del sólido
Para el paraboloide:
ƒ(x, y) = (x² + y²)/2
ƒ(x, -y) = [x² + (-y)²]/2 = (x² + y²)/2
Cumple.
Para el cilindro:
ƒ(x, y) = x² + y²
ƒ(x, -y) = x² + (-y)² = x² + y²
Cumple.
Para la semiesfera:
ƒ(x, y, z) = ƒ(x, -y, z)
ƒ(x, y, z) = x² + y² + z²
ƒ(x, -y, z) = x² + (-y)² + z² = x² + y² + z²
Cumple.
Para la asimetría de la integranda se debe cumplir ƒ(x, -y) = -ƒ(x, y)
Para la coordenada en Y:
ƒ(x, y) = y ⇒ -ƒ(x, y) = - y
ƒ(x, -y) = - y
Cumple.
Por lo tanto YG = 0
Para la coordenada en x ocurre que por simetría del dominio con respecto al plano x = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano x = 0, resulta:
Para la simetría del dominio se debe cumplir ƒ(x, y) = ƒ(-x, y)
Para el paraboloide:
ƒ(x, y) = (x² + y²)/2
ƒ(-x, y) = [(-x)² + y²]/2 = (x² + y²)/2
Cumple.
Para el cilindro:
ƒ(x, y) = x² + y²
ƒ(-x, y) = (-x)² + y² = x² + y²
Cumple.
Para la semiesfera:
ƒ(x, y, z) = ƒ(-x, y, z)
ƒ(x, y, z) = x² + y² + z²
ƒ(-x, y, z) = (-x)² + y² + z² = x² + y² + z²
Cumple.
Para la asimetría de la integranda se debe cumplir ƒ(-x, y) = -ƒ(x, y)
Para la coordenada en X:
ƒ(x, y) = x ⇒ -ƒ(x, y) = -x
ƒ(-x, y) = -x
Cumple.
Por lo tanto XG = 0
Para calcular el volumen aplicamos la primera fórmula de reducción para un dominio base Dxy de la función superior menos la función inferior:
VD = ∭D·dx·dy·dz
VD = ∬Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy
VD = ∬Dxy [√9 - (x² + y²) - ½·(x² + y²)]·dx·dy
Pasando a coordenadas polares:
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
|J| = r
VD = ∬D'xy (√9 - r² - ½·r²)·r·dr·dθ
VD = ∬D'xy (r·√9 - r² - ½·r³)·dr·dθ
VD = ∬D'xy r·√9 - r²·dr·dθ - ½·∬D'xy r³·dr·dθ
Si:
u = 9 - r²
du = -2·r·dr ⇒ -du/2 = r·dr
VD = -⅓·(24·√2 - 3³)·2·π - ⅛·2·π
VD = -⅔·(16·√2 - 27)·π - ¼·π
VD = [-⅔·(16·√2 - 27) - ¼]·π
VD = (-128·√2 + 216 - 3)·π/12
VD = (-128·√2 + 216 - 3)·π/12
VD = (-128·√2 + 213)·π/12
VD = (213 - 128·√2)·π/12
Iz = ∭D z·dx·dy·dz
Cambiando a sistema de coordenadas polares:
| 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2·π | → |J| = r |
Como las variables son independientes en la integral:
Calculando la coordenada:
Expresando el baricentro como punto:
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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