Problema n° 8 de integrales.

Problema n° 8) D = {(x, y, y): x² + y² ≤ 2·z, x² + y² ≤ 1, x² + y² + z² ≤ 9}

Las ecuaciones de las coordenadas son:

Para el dominio:

Por simetría del dominio con respecto al plano y = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano y = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(x, -y)

Para el paraboloide:

f(x, y) = (x² + y²)/2

f(x, -y) = [x² + (-y)²]/2 = (x² + y²)/2

cumple

Para el cilindro:

f(x, y) = x² + y²

f(x, -y) = x² + (-y)² = x² + y²

cumple

Para la semiesfera:

f(x, y, z) = f(x, -y, z)

f(x, y, z) = x² + y² + z²

f(x, -y, z) = x² + (-y)² + z² = x² + y² + z²

cumple

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(x, -y) = -f(x, y)

Para la coordenada en y:

f(x, y) = y ⇒ -f(x, y) = - y

f(x, -y) = - y

cumple

Por lo tanto Y_G = 0

Para la coordenada en x ocurre que por simetría del dominio con respecto al plano x = 0, y por asimetría de la integranda con respecto al plano x = 0, resulta:

Para la simetría del dominio se debe cumplir f(x, y) = f(-x, y)

Para el paraboloide:

f(x, y) = (x² + y²)/2

f(-x, y) = [(-x)² + y²]/2 = (x² + y²)/2

cumple

Para el cilindro:

f(x, y) = x² + y²

f(-x, y) = (-x)² + y² = x² + y²

cumple

Para la semiesfera:

f(x, y, z) = f(-x, y, z)

f(x, y, z) = x² + y² + z²

f(-x, y, z) = (-x)² + y² + z² = x² + y² + z²

cumple

Para la asimetría de la integranda se debe cumplir f(-x, y) = -f(x, y)

Para la coordenada en x:

f(x, y) = x ⇒ -f(x, y) = -x

f(-x, y) = -x

cumple

Por lo tanto X_G = 0

Para calcular el volumen aplicamos la primera fórmula de reducción para un dominio base D_xy de la función superior menos la función inferior:

V_D = ∫∫∫_D·dx·dy·dz

V_D = ∫∫∫_{D xy} [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy

Pasando a coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

|J| = r

Si:

u = 9 - r²

du = -2·r·dr ⇒ -du/2 = r·dr

I_z = ∫∫∫_D z·dx·dy·dz

Cambiando a sistema de coordenadas polares:

Como las variables son independientes en la integral:

Calculando la coordenada:

Expresando el baricentro como punto:

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