Problema nº 1 de integrales, cálculo del momento de inercia de sólidos

Enunciado del ejercicio nº 1

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos:

Solución

Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto, el volumen será:

V_c = 4·π·r³/3

½·V_c = ½·4·π·r³/3

½·V_c = ⅔·π·r³

Como:

r =

½·V_c = ⅔·π·()³

½·V_c = ⅔·π·R^3/2

Calculamos la integral triple con respecto al eje Z:

Efectuamos un cambio de coordenadas:

Los límites de integración son:

0 ≤ r ≤

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

Resolviendo, y como θ no depende de las otras variables:

Luego:

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

I_z = ⅖·M·R

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina