Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.
Aceptar

 
Titular top Mapa del sitio Ingresar Salir

Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 1 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 1 de integrales.

Problema n° 1) Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos: Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto el volumen será:

Cálculo del volumen de la media circunferencia

Calculamos la integral triple con respecto al eje Z:

D (x² + y²) dx·dy·dz

Efectuamos un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ

D (x² + y²) dx·dy·dz

Cálculo de la integral triple

D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr

Los límites de integración son:

0 ≤ r ≤ R

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr = Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolviendo, y como θ no depende de las otras variables:

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Luego:

Iz = (M/V)·D (x² + y²) dx·dy·dz

Cálculo del momento de inercia

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Iz = 2·M·R/5

Copyright © 2.000-2.028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/integrales/resueltos/tp08-momento-de-inercia-01.php

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

¡Gracias!