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Guía de ejercicios de momento de inercia. TP08

Integrales: Solución del ejercicio n° 1 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 1 de integrales.

Problema n° 1) {(x,y,z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}

Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto el volumen será:

Cálculo del volumen de la media circunferencia

Calculamos la integral triple con respecto al eje z:

∫∫∫D (x² + y²)dx·dy·dz

Efectuamos un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)

y = r·(sen θ)·(sen φ)

z = r·cos φ

→ |J| = r²·sen φ

∫∫∫D (x² + y²)dx·dy·dz

Cálculo de la integral triple

∫∫∫ r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr

Los límites de integración son:

0 ≤ r ≤ √R

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

∫∫∫ r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr = Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolviendo, y como θ no depende de las otras variables:

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Luego:

Iz = (M/V)·∫∫∫D (x² + y²)dx·dy·dz

Cálculo del momento de inercia

Iz = 2·M·R/5

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