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Problema n° 1 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 1

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos:

Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto el volumen será:

Vc = 4·π·r³/3

½·Vc = ½·4·π·r³/3

½·Vc = ⅔·π·r³

Como:

r = R

½·Vc = ⅔·π·(R

½·Vc = ⅔·π·R3/2

Calculamos la integral triple con respecto al eje Z:

D (x² + y²) dx·dy·dz

Efectuamos un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
→ |J| = r²·sen φ

D (x² + y²) dx·dy·dz

D' [(r·cos θ·sen φ)² + (r·sen θ·sen φ)²]·r²·sen φ·dθ·dφ

D' (r²·cos² θ·sen² φ + r²·sen² θ·sen² φ)·r²·sen φ·dθ·dφ

D' r²·sen² φ·(cos² θ + sen² θ)·r²·sen φ·dθ·dφ

D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr

Los límites de integración son:

0 ≤ r ≤ R

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr = 2·πRr4·drπ/2sen³ φ·dφ
   
000

Resolviendo, y como θ no depende de las otras variables:

= [θ]2·πRr4·drπ/2sen φ·(1 - cos² φ)·dφ =
   
000
= 2·π·Rr4·drπ/2(sen φ - sen φ·cos² φ)·dφ =
  
00
= 2·π·Rr4·dr[π/2sen φ·dφ - π/2cos² φ·d(sen φ)] =
   
000
= 2·π·R[(-cos φ)π/2+ ⅓·(cos³ φ)π/2]·r4·dr =
   
000
= 2·π·R[(-cos π/2 + cos 0) + ⅓·(cos³ π/2 - cos³ 0)]·r4·dr =
 
0
= 2·π·R[(-0 + 1) + ⅓·(0 - 1)]·r4·dr =
 
0
= 2·π·R(1 - ⅓)·r4·dr =
 
0
= 2·π·⅔·Rr4·dr =
 
0
= 2·π·⅔·[⅕·r5]R=
 
0
=4·π·R5/2=
15

Luego:

Iz = (M/V)·D (x² + y²) dx·dy·dz

Iz =M·4·π·R5/2
⅔·π·R3/215
Iz =2·M·R5/2 - 3/2
5
Iz =2·M·R2/2
5

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Iz = ⅖·M·R

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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