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Solución del ejercicio n° 1 de integrales triples. Cálculo del momento de inercia de sólidos homogéneos. Problema resuelto.

Problema n° 1 de integrales

Problema n° 1

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² + z² ≤ R, z ≥ 0}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos: Iz = D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Se trata de media circunferencia con centro en el origen, por lo tanto el volumen será:

Cálculo del volumen de la media circunferencia

Calculamos la integral triple con respecto al eje Z:

D (x² + y²) dx·dy·dz

Efectuamos un cambio de coordenadas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
→ |J| = r²·sen φ

D (x² + y²) dx·dy·dz

Cálculo de la integral triple

D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr

Los límites de integración son:

0 ≤ r ≤ R

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ φ ≤ π/2

D' r4·sen³ φ·dφ·dθ·dr = Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Resolviendo, y como θ no depende de las otras variables:

Resolución de la integral triple en coordenadas polares

Luego:

Iz = (M/V)·D (x² + y²) dx·dy·dz

Cálculo del momento de inercia

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Iz = 2·M·R/5

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