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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP09

Integrales: Solución del ejercicio n° 4 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un paraboloide

Problema n° 4 de integrales superficiales de campos vectoriales.

Problema n° 4) Calcular el flujo saliente del campo (x² + y²)½·(y, -x, 1) a través de la porción de paraboloide

z = 1 - x² - y², z ≥ 0.

Si:

F = (x² + y²)½·(y, -x, 1)

S: z = 1 - x² - y² ⇒ z = 1 - (x² + y²)

Parametrizando el paraboloide:

x = u
y = v
z = 1 - (u² + v²)

X(u,v) = (u,v,1 - (u² + v²))

z ≥ 0 ⇒ 1 - (u² + v²) ≥ 0 ⇒ u² + v² ≥ 1

Hallamos el vector normal:

Xu = (1,0,-2·u)

Xv = (0,1,-2·v)

n = Xu ∧ Xv =

E1

-E2

E3

1

0

-2·u

0

1

-2·v

n = Xu ∧ Xv = [-(-2·u),-(-2·v),1]

n = (2·u,2·v,1)

Para el punto (0,1,0), resulta n = (0,2,1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

Cálculo del flujo saliente

Aplicamos la integral:

Cálculo del flujo saliente

Cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

|J| = r

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Resolvemos:

Cálculo del flujo saliente

Flujo = 2·π/3

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