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Enunciado del ejercicio nº 4

Calcular el flujo saliente del campo (x² + y²)^½·(y, -x, 1) a través de la porción de paraboloide

z = 1 - x² - y², z ≥ 0.

Si:

F = (x² + y²)^½·(y, -x, 1)

S: z = 1 - x² - y² ⇒ z = 1 - (x² + y²)

Desarrollo

Fórmulas:

Solución

Parametrizando el paraboloide:

x = u

y = v

z = 1 - (u² + v²)

X(u, v) = (u, v, 1 - (u² + v²))

z ≥ 0 ⇒ 1 - (u² + v²) ≥ 0 ⇒ u² + v² ≥ 1

Hallamos el vector normal:

Xᵤ = (1, 0, -2·u)

Xᵥ = (0, 1, -2·v)

n = Xᵤ ∧ Xᵥ = [-(-2·u), -(-2·v),1]

n = (2·u, 2·v,1)

Para el punto (0, 1, 0), resulta n = (0, 2, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

Aplicamos la integral:

Cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

|J| = r

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Resolvemos:

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = ⅔·π

Resolvió: Warning: Undefined variable $author in /home/a0120620/public_html/matematica/integrales/resueltos/tp09-flujo-saliente-04.php on line 103 . Argentina