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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un paraboloide

Problema n° 4 de integrales superficiales de campos vectoriales

Enunciado del ejercicio n° 4

Calcular el flujo saliente del campo (x² + y²)½·(y, -x, 1) a través de la porción de paraboloide

z = 1 - x² - y², z ≥ 0.

Si:

F = (x² + y²)½·(y, -x, 1)

S: z = 1 - x² - y² ⇒ z = 1 - (x² + y²)

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Parametrizando el paraboloide:

x = u

y = v

z = 1 - (u² + v²)

X(u, v) = (u, v, 1 - (u² + v²))

z ≥ 0 ⇒ 1 - (u² + v²) ≥ 0 ⇒ u² + v² ≥ 1

Hallamos el vector normal:

Xu = (1, 0, -2·u)

Xv = (0, 1, -2·v)

n = Xu ∧ Xv =E1-E2E3
10-2·u
01-2·v

n = Xu ∧ Xv = [-(-2·u), -(-2·v),1]

n = (2·u, 2·v,1)

Para el punto (0, 1, 0), resulta n = (0, 2, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

F(X(u, v)) = u² + v²·(v, -u, 1)

Aplicamos la integral:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·n·du·dv =

= D u² + v²·(v, -u, 1)·(2·u, 2·v, 1)·du·dv =

= D u² + v²·(2·u·v -2·u·v 1)·du·dv =

= D u² + v²·du·dv

Cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

|J| = r

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Resolvemos:

D u² + v²·du·dv =

= D' (r·cos θ)² + (r·sen θ)²·r·dθ·dr =

= D' r²·cos² θ + r²·sen² θ·r·dθ·dr =

= D' r²·(cos² θ + sen² θ)·r·dθ·dr =

= D' ·r·dθ·dr =

= D' r·r·dθ·dr =

= D' r²·dθ·dr =

= 2·π1r²·dr =
  
00
= 2·π·(⅓·r³)1=
 
0

= 2·π·(⅓·1³ - ⅓·0³) = 2·π·⅓

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = ⅔·π

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