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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP09

Integrales: Solución del ejercicio n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cono

Problema n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales.

Problema n° 6) Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Si:

F = (y - z, z - x, x - y)

S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½

Parametrizando el cono:

x = u

y = v

z = 1 - (x² + y²)

X(u,v) = [u, v, (x² + y²)½]

0 ≤ z ≤ h ⇒ 0 ≤ (x² + y²)½ ≤ h

Hallamos el vector normal:

Cálculo del vector normal

Para el punto (0,1,1), resulta n = (0,1,1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

Cálculo del flujo saliente

Aplicamos la integral:

∫∫S F(X)·ds = ∫∫D F(X(u,v))·n·du·dv

Cálculo del flujo saliente

= ∫∫D (0)·du·dv =

Flujo = 0

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