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Solución del ejercicio n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto.Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cono

Problema n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales

Problema n° 6

Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Si:

F = (y - z, z - x, x - y)

S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Parametrizando el cono:

x = u

y = v

z = 1 - (x² + y²)

X(u, v) = [u, v, (x² + y²)½]

0 ≤ z ≤h ⇒ 0 ≤ (x² + y²)½ ≤ h

Hallamos el vector normal:

Cálculo del vector normal

Para el punto (0, 1, 1), resulta n = (0, 1, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

Cálculo del flujo saliente

Aplicamos la integral:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·n·du·dv

Cálculo del flujo saliente

= D (0)·du·dv =

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 0

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