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Solución del ejercicio n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cono
Problema n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales
Problema n° 6
Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.
Si:
F = (y - z, z - x, x - y)
S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½
Desarrollo
Fórmulas:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv
Solución
Parametrizando el cono:
x = u
y = v
z = 1 - (x² + y²)
X(u, v) = [u, v, (x² + y²)½]
0 ≤ z ≤h ⇒ 0 ≤ (x² + y²)½ ≤ h
Hallamos el vector normal:
Para el punto (0, 1, 1), resulta n = (0, 1, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.
Parametrizamos el campo:
F(X(u, v)) = (v - √u² + v², √u² + v² - u, u - v)
Aplicamos la integral:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·n·du·dv
= ∬D (0)·du·dv =
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = 0
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
Actualizado:
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