Problema n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales

Problema n° 6

Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Si:

F = (y - z, z - x, x - y)

S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)^½

Desarrollo

Fórmulas:

∬_S F(x)·ds = ∬_D F(X(u, v))·(X_u ∧ X_v)·du·dv

Solución

Parametrizando el cono:

x = u

y = v

z = 1 - (x² + y²)

X(u, v) = [u, v, (x² + y²)^½]

0 ≤ z ≤h ⇒ 0 ≤ (x² + y²)^½ ≤ h

Hallamos el vector normal:

Para el punto (0, 1, 1), resulta n = (0, 1, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

Aplicamos la integral:

∬_S F(x)·ds = ∬_D F(X(u, v))·n·du·dv

= ∬_D (0)·du·dv =

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 0