Problema n° 6 de integrales superficiales de campos vectoriales

Enunciado del ejercicio n° 6

Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.

Si:

F = (y - z, z - x, x - y)

S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Parametrizando el cono:

x = u

y = v

z = 1 - (x² + y²)

X(u, v) = [u, v, (x² + y²)½]

0 ≤ z ≤h ⇒ 0 ≤ (x² + y²)½ ≤ h

Hallamos el vector normal:

Xu = (1, 0,-u)
u² + v²
Xv = (0, 1,-v)
u² + v²

n = Xu×Xv

n =E1-E2E3
10-u
u² + v²
01-v
u² + v²
n = [-(-u), -(-v), 1]
u² + v²u² + v²
n = (u,v, 1)
u² + v²u² + v²

Para el punto (0, 1, 1), resulta n = (0, 1, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.

Parametrizamos el campo:

F(X(u, v)) = (v - u² + v², u² + v² - u, u - v)

Aplicamos la integral:

S F(x)·ds = D F(X(u, v))·n·du·dv

S F(x)·ds = D (v - u² + v², u² + v² - u, u - v)·(u,v, 1)·du·dv =
u² + v²u² + v²
= D (u·(v - u² + v²)+v·(u² + v² - u)+ u - v)·du·dv =
u² + v²u² + v²
= D (u·v - u·u² + v²+u² + v² - v·u+ u - v)·du·dv =
u² + v²u² + v²
= D (u·v - u·u² + v² + v·u² + v² - u·v + (u - v)·u² + v²)·du·dv =
u² + v²
= D ((v - u)·u² + v² + (u - v)·u² + v²)·du·dv =
u² + v²
= D ((v - u)·u² + v² - (v - u)·u² + v²)·du·dv =
u² + v²

Se anula el numerador:

= D (0)·du·dv =
u² + v²

= D (0)·du·dv =

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 0

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cono

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