Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie

Problema n° 6 de teorema de Stokes

Enunciado del ejercicio n° 6

Sea F = α(r)·X, con r = ||X||, un campo central de clase C¹ en ℜ³, y sea S la superficie regular x² + y² + r²/4 = 1, z ≥ 0. Verificar el teorema de Stokes.

Desarrollo

Fórmulas:

∫_∂S F·dC = ∬_S rot F·dS

dC = C'(t)·dt

dS = (X_u ∧ X_v)·du·dv

rot F =	E₁	-E₂	E₃
	∂/∂x	∂/∂y	∂/∂z
	f₁	f₂	f₃

Solución

Por ser un campo de forma F = α(r)·X es conservativo en ℜ³, resultando rot F = 0, luego:

∬_{S α} rotF·dS = 0

Concluyendo con el segundo miembro del teorema, para el primer miembro y con un esquema similar a la figura del ejercicio 3, parametrizamos la frontera de S₁, es decir ∂S:

C = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C' = (-sen t, cos t, 0)

De la superficie surge que r = 1:

F(C(t)) = α(1)·(cos t, sen t, 0)

Planteamos la integral del primer miembro:

∫_∂S F·dC = ∫	a	F(C(t))·C'(t)·dt =

	b

= ∫	2·π	α(1)·(-sen t·cos t + sen t·cos t)·dt =

	0

= α(1)·∫	2·π	0·dt =

	0

= α(1)·0 = 0 ∎

Verificado

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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