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Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie

Problema n° 6 de teorema de Stokes

Enunciado del ejercicio n° 6

Sea F = α(r)·X, con r = ||X||, un campo central de clase C¹ en ℜ³, y sea S la superficie regular x² + y² + r²/4 = 1, z ≥ 0. Verificar el teorema de Stokes.

Desarrollo

Fórmulas:

∂S F·dC = S rot F·dS

dC = C'(t)·dt

dS = (Xu ∧ Xv)·du·dv

rot F =E1-E2E3
∂/∂x∂/∂y∂/∂z
f1f2f3

Solución

Por ser un campo de forma F = α(r)·X es conservativo en ℜ³, resultando rot F = 0, luego:

S α rotF·dS = 0

Concluyendo con el segundo miembro del teorema, para el primer miembro y con un esquema similar a la figura del ejercicio 3, parametrizamos la frontera de S1, es decir ∂S:

C = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2·π

Preparamos las partes de la integral:

C' = (-sen t, cos t, 0)

De la superficie surge que r = 1:

F(C(t)) = α(1)·(cos t, sen t, 0)

Planteamos la integral del primer miembro:

∂S F·dC = aF(C(t))·C'(t)·dt =
 
b
= 2·πα(1)·(-sen t·cos t + sen t·cos t)·dt =
 
0
= α(1)·2·π0·dt =
 
0

= α(1)·0 = 0

Verificado

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