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Solución del ejercicio n° 6 de teorema de Stokes. Campos centrales. Integrales sobre superficies. Problema resuelto. Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie
Problema n° 6 de integrales
Problema n° 6
Sea F = α(r)·X, con r = ||X||, un campo central de clase C¹ en ℜ³, y sea S la superficie regular x² + y² + r²/4 = 1, z ≥ 0. Verificar el teorema de Stokes.
Desarrollo
Fórmulas:
∫∂S F·dC = ∬S rot F·dS
dC = C'(t)·dt
dS = (Xu ∧ Xv)·du·dv
rot F = | E1 | -E2 | E3 |
∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z | |
ƒ1 | ƒ2 | ƒ3 |
Solución
Por ser un campo de forma F = α(r)·X es conservativo en ℜ³, resultando rot F = 0, luego:
∬S α rotF·dS = 0
Concluyendo con el segundo miembro del teorema, para el primer miembro y con un esquema similar a la figura del ejercicio 3, parametrizamos la frontera de S1, es decir ∂S:
C = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2·π
Preparamos las partes de la integral:
C' = (-sen t, cos t, 0)
De la superficie surge que r = 1:
F(C(t)) = α(1)·(cos t, sen t, 0)
Planteamos la integral del primer miembro:
Verificado
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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