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Guía de ejercicios de integrales dobles (cuarta parte). TP12

Integrales: Solución del ejercicio n° 15 de cálculo de las coordenadas del baricentro de un dominio plano con integrales dobles. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 15 de integrales.

Problema n° 15) Calcular el baricentro del dominio plano encerrado por la cardioide r = 1 - cos θ.

Como la función integranda es antisimétrica con respecto al eje y, y el dominio es simétrico con respecto al mismo eje, resulta:

yG = 0


Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Ahora calculamos el área del dominio directamente en coordenadas polares:

A = ∫∫D r·dr·dθ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cálculo del área de un dominio plano

A = π + π/2 ⇒ A = 3·π/2

Luego calculamos el numerador:

A = ∫∫D x·dx·dy = ∫∫ r²·(cos θ)·dr·dθ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Reemplazando:

cos² θ = (1 + cos 2·θ)/2 ⇒ cos4 θ = (1 + cos 2·θ)²/4 ⇒ cos4 θ = ¼·(1 + 2·cos 2·θ + cos² 2·θ)

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

 

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