Problema nº 5 de integrales, ecuación cartesiana del plano tangente a una superficie

Enunciado del ejercicio nº 15

Calcular el baricentro del dominio plano encerrado por la cardioide r = 1 - cos θ.

Como la función integranda es antisimétrica con respecto al eje y, y el dominio es simétrico con respecto al mismo eje, resulta:

y_G = 0

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Ahora calculamos el área del dominio directamente en coordenadas polares:

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

A = ½·[2·π - 2·sen 2·π + ½·(2·π + sen 2·π·cos 2·π)] - ½·[0 - 2·sen 0 + ½·(0 + sen 0·cos 0)]

A = ½·[2·π - 2·0 + ½·(2·π + 0·1)] - ½·[-2·0 + ½·(0·1)]

A = ½·(2·π + ½·2·π)

A = ½·(2·π + π)

A = π + ½·π

A = 3·π/2

Luego calculamos el numerador:

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

Reemplazando:

cos² θ = ½·(1 + cos 2·θ)

cos⁴ θ = ¼·(1 + cos 2·θ)²

cos⁴ θ = ¼·(1 + 2·cos 2·θ + cos² 2·θ)

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano