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Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 15 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 15

Calcular el baricentro del dominio plano encerrado por la cardioide r = 1 - cos θ.

Como la función integranda es antisimétrica con respecto al eje y, y el dominio es simétrico con respecto al mismo eje, resulta:

yG = 0

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Ahora calculamos el área del dominio directamente en coordenadas polares:

A = D r·dr·dθ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

A = 2·π1 - cosθr·dr
  
00
A = 2·π(½·r²)1 - cosθ·dθ
  
00
A = 2·π½·(1 - cos θ)²·dθ
 
0
A = ½·2·π(1 - 2·cos θ + cos² θ)·dθ
 
0
A = ½·[θ - 2·sen θ + ½·(θ + sen θ·cos θ)]2·π
 
0

A = ½·[2·π - 2·sen 2·π + ½·(2·π + sen 2·π·cos 2·π)] - ½·[0 - 2·sen 0 + ½·(0 + sen 0·cos 0)]

A = ½·[2·π - 2·0 + ½·(2·π + 0·1)] - ½·[-2·0 + ½·(0·1)]

A = ½·(2·π + ½·2·π)

A = ½·(2·π + π)

A = π + ½·π

A = 3·π/2

Luego calculamos el numerador:

A = D x·dx·dy = D' r²·(cos θ)·dr·dθ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

Ix = 2·πcos θ·dθ1 - cos θr²·dr
  
00
Ix = 2·πcos θ·⅓·(r³)1 - cos θ·dθ
  
00
Ix = 2·πcos θ·⅓·(1 - cos θ)³·dθ
 
0
Ix = ⅓·2·πcos θ·(1 - 3·cos θ + 3·cos² θ - cos³ θ)·dθ
 
0
Ix = ⅓·2·πcos θ·dθ - 2·πcos² θ·dθ + 2·πcos³ θ·dθ - ⅓·2·πcos4 θ·dθ
    
0000

Reemplazando:

cos² θ = ½·(1 + cos 2·θ)

cos4 θ = ¼·(1 + cos 2·θ)²

cos4 θ = ¼·(1 + 2·cos 2·θ + cos² 2·θ)

Ix = ⅓·2·πcos θ·dθ - ½·2·π(1 + cos 2·θ)·dθ + 2·π(1 - sen² θ)·cos θ·dθ - (1/12)·2·π(1 + 2·cos 2·θ + cos² 2·θ)·dθ
    
0000
Ix = ⅓·[sen θ]2·π- ½·[½·θ + ½·sen 2·θ]2·π+ 2·π(cos θ - cos θ·sen² θ)·dθ - (1/12)·[θ + sen 2·θ + ½·θ + ½·sen θ·cos θ]2·π
    
0000
+ [sen θ]2·π- [⅓·sen³ θ]2·π- (1/12)·(2·π + sen 2·2·π + ½·2·π + ½·sen 2·π·cos 2·π - sen 0 - ½·sen 0·cos 0)
  
00

Ix = ⅓·(sen 2·π - sen 0) - ½·(½·2·π + ½·sen 2·π·cos 2·π - ½·sen 0·cos 0) +

Ix = -π + (sen 2·π - sen 0) - (⅓·sen³ 2·π - ⅓·sen³ 0) - (2·π + π)/12

Ix = -π - 3·π/12

Ix = -π - π/4

Ix = -5·π/4

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