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Contenido: Solución del ejercicio n° 15 de cálculo de las coordenadas del baricentro de un dominio plano con integrales dobles. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 15 de integrales

Problema n° 15

Calcular el baricentro del dominio plano encerrado por la cardioide r = 1 - cos θ.

Como la función integranda es antisimétrica con respecto al eje y, y el dominio es simétrico con respecto al mismo eje, resulta:

yG = 0

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Ahora calculamos el área del dominio directamente en coordenadas polares:

A = D r·dr·dθ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cálculo del área de un dominio plano

A = π + π/2 ⇒ A = 3·π/2

Luego calculamos el numerador:

A = D x·dx·dy = D' r²·(cos θ)·dr·dθ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Reemplazando:

cos² θ = (1 + cos 2·θ)/2 ⇒ cos4 θ = (1 + cos 2·θ)²/4 ⇒ cos4 θ = ¼·(1 + 2·cos 2·θ + cos² 2·θ)

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

This work by Ricardo Santiago Netto is licensed under CC BY-NC-SA 4.0

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