Problema nº 15 de integrales, baricentro de un dominio plano

Enunciado del ejercicio nº 18

r ≤ 2·θ, 0 ≤ θ ≤ π

Si:

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Calculando el área con un cambio de fórmula a coordenadas polares:

A_D = ⅔·π³

Para mayor claridad en la resolución:

X_G = I₁/A_D

Y_G = I₂/A_D

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

|J| = r·dr·dθ

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2·θ

Resolviendo:

I₁ = ∬_D x·dx·dy

I₁ = ∬_D' r²·(cos θ)·dr·dθ

I₁ = (8/3)·[(π³·sen π + 3·π²·cos π - 6·π·sen π - 6·cos π) - (0³·sen 0 + 3·0²·cos 0 - 6·0·sen 0 - 6·cos 0)]

I₁ = (8/3)·(3·π²·cos π - 6·cos π + 6·cos 0)

I₁ = (8/3)·[3·π²·(-1) - 6·(-1) + 6·1]

I₁ = (8/3)·(-3·π² + 6 + 6)

I₁ = (8/3)·(-3·π² + 12)

I₁ = 8·[-π² + 4)

I₂ = ∬_D y·dx·dy = ∬_D' r²·(cos θ)·dr·dθ

I₂ = (8/3)·(-π³·cos π + 6·π·cos π)

I₂ = (8/3)·[-π³·(-1) + 6·π·(-1)]

I₂ = (8/3)·(π³ - 6·π)

I₂ = (8·π/3)·(π² - 6)

Reemplazando:

Expresando el punto:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano