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Guía de ejercicios de integrales dobles (cuarta parte). TP12

Integrales: Solución del ejercicio n° 18 de cálculo de las coordenadas del baricentro de un dominio plano con integrales dobles. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 18 de integrales.

Problema n° 18) r ≤ 2. θ, 0 ≤ θ ≤ π

Si:


Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Calculando el área con un cambio de fórmula a coordenadas polares:

Cálculo del área de un dominio plano

Para mayor claridad en la resolución:

XG = I1/AD

YG = I2/AD

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

|J| = r·dr·dθ

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2·θ

Resolviendo:

I1 = ∫∫D x·dx·dy = ∫∫ r²·(cos θ)·dr·dθ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

θ³

+

cos θ

3·θ²

-

sen θ

6·θ

+

-cos θ

6

-

-sen θ

0

+

cos θ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

I2 = ∫∫D y·dx·dy = ∫∫ r²·(cos θ)·dr·dθ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

θ³

+

sen θ

3·θ²

-

-cos θ

6·θ

+

-sen θ

6

-

cos θ

0

+

sen θ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Reemplazando:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Expresando el punto:

Coordenadas del baricentro

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