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Solución del ejercicio n° 18 de cálculo de las coordenadas del baricentro de un dominio plano con integrales dobles. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 18 de integrales

Problema n° 18

r ≤ 2·θ, 0 ≤ θ ≤ π

Si:

XG =D x·dx·dy
D dx·dy
 
YG =D y·dx·dy
D dx·dy

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Calculando el área con un cambio de fórmula a coordenadas polares:

Cálculo del área de un dominio plano

Para mayor claridad en la resolución:

XG = I1/AD

YG = I2/AD

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

|J| = r·dr·dθ

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2·θ

Resolviendo:

I1 = D x·dx·dy = D' r²·(cos θ)·dr·dθ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

θ³+cos θ
3·θ²-sen θ
6·θ+-cos θ
6--sen θ
0+cos θ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

I2 = D y·dx·dy = D' r²·(cos θ)·dr·dθ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

θ³+sen θ
3·θ²--cos θ
6·θ+-sen θ
6-cos θ
0+sen θ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Reemplazando:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Expresando el punto:

Coordenadas del baricentro

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