Solución del ejercicio n° 18 de cálculo de las coordenadas del baricentro de un dominio plano con integrales dobles. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 18 de integrales

Problema n° 18

r ≤ 2·θ, 0 ≤ θ ≤ π

Si:

X_G =	∬_D x·dx·dy
	∬_D dx·dy

Y_G =	∬_D y·dx·dy
	∬_D dx·dy

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Calculando el área con un cambio de fórmula a coordenadas polares:

Cálculo del área de un dominio plano

Para mayor claridad en la resolución:

X_G = I₁/A_D

Y_G = I₂/A_D

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

|J| = r·dr·dθ

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2·θ

Resolviendo:

I₁ = ∬_D x·dx·dy = ∬_D' r²·(cos θ)·dr·dθ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

θ³	+	cos θ
3·θ²	-	sen θ
6·θ	+	-cos θ
6	-	-sen θ
0	+	cos θ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

I₂ = ∬_D y·dx·dy = ∬_D' r²·(cos θ)·dr·dθ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

θ³	+	sen θ
3·θ²	-	-cos θ
6·θ	+	-sen θ
6	-	cos θ
0	+	sen θ

Cálculo del numerador para hallar el baricentro

Reemplazando:

Cálculo de las coordenadas del baricentro

Expresando el punto:

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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