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Ejemplo, cómo hallar el baricentro de un dominio plano

Problema n° 18 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 18

r ≤ 2·θ, 0 ≤ θ ≤ π

Si:

XG =D x·dx·dy
D dx·dy
 
YG =D y·dx·dy
D dx·dy

Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro
Gráfico del dominio para el cálculo de baricentro

Calculando el área con un cambio de fórmula a coordenadas polares:

AD = D dx·dy = ½·β(r(θ))²·dθ
 
α
AD = ½·π(2·θ)²·dθ
 
0
AD = ½·π4·θ²·dθ
 
0
AD = 2·πθ²·dθ
 
0
AD = 2·⅓·θ³π
 
0

AD = ⅔·π³

Para mayor claridad en la resolución:

XG = I1/AD

YG = I2/AD

Cambiando a coordenadas polares:

x = r·cos θ

y = r·sen θ

|J| = r·dr·dθ

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 2·θ

Resolviendo:

I1 = D x·dx·dy

I1 = D' r²·(cos θ)·dr·dθ

I1 = πcos θ·dθ2·θr²·dr
  
00
I1 = πcos θ·(⅓·r³)2·θ·dθ
  
00
I1 = π⅓·cos θ·(2·θ)³·dθ
 
0
I1 = ⅓·πcos θ·8·θ³·dθ
 
0
I1 = ⅓·8·πθ³·cos θ·dθ
 
0
θ³+cos θ
3·θ²-sen θ
6·θ+-cos θ
6--sen θ
0+cos θ
I1 = ⅓·8·(θ³·sen θ + 3·θ²·cos θ - 6·θ·sen θ - 6·cos θ)π
 
0

I1 = (8/3)·[(π³·sen π + 3·π²·cos π - 6·π·sen π - 6·cos π) - (0³·sen 0 + 3·0²·cos 0 - 6·0·sen 0 - 6·cos 0)]

I1 = (8/3)·(3·π²·cos π - 6·cos π + 6·cos 0)

I1 = (8/3)·[3·π²·(-1) - 6·(-1) + 6·1]

I1 = (8/3)·(-3·π² + 6 + 6)

I1 = (8/3)·(-3·π² + 12)

I1 = 8·[-π² + 4)

I2 = D y·dx·dy = D' r²·(cos θ)·dr·dθ

I2 = πsen θ·dθ2·θr²·dr
  
00
I2 = πsen θ·(⅓·r³)2·θ·dθ
  
00
I2 = π⅓·sen θ·(2·θ)³·dθ
 
0
I1 = ⅓·πsen θ·8·θ³·dθ
 
0
I1 = ⅓·8·πθ³·sen θ·dθ
 
0
θ³+sen θ
3·θ²--cos θ
6·θ+-sen θ
6-cos θ
0+sen θ
I2 = ⅓·8·(-θ³·cos θ + 3·θ²·sen θ + 6·θ·cos θ - 6·sen θ)π
 
0

I2 = (8/3)·(-π³·cos π + 6·π·cos π)

I2 = (8/3)·[-π³·(-1) + 6·π·(-1)]

I2 = (8/3)·(π³ - 6·π)

I2 = (8·π/3)·(π² - 6)

Reemplazando:

XG =I1
AD
XG =8·(-π² + 4)
⅔·π³
XG =3·4·(-π² + 4)
π³
XG =12·(-π² + 4)
π³
YG =I2
AD
YG =(8·π/3)·(π² - 6)
⅔·π³
YG =4·(π² - 6)
π²

Expresando el punto:

G = [12·(-π² + 4),4·(π² - 6)]
π³π²

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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