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Guía de ejercicios de integrales dobles (cuarta parte). TP12

Integrales: Solución del ejercicio n° 15 de baricentro de un dominio plano. Cálculo de las coordenadas del baricentro con integrales dobles. Problemas resueltos.

Problema n° 15 de integrales.

Problema n° 15) Calcular el baricentro del dominio plano encerrado por la cardioide r = 1 - cos θ.

Como la función integranda es antisimétrica con respecto al eje y, y el dominio es simétrico con respecto al mismo eje, resulta:

yG = 0

Ahora calculamos el área del dominio directamente en coordenadas polares:

A = ∫∫ D r.dr.d θ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2.π

Baricentro de un dominio plano

A = π + π/2 ⇒ A = 3.π/2

Luego calculamos el numerador:

A = ∫∫ D x.dx.dy = ∫∫ r².cos θ.dr.d θ

0 ≤ r ≤ 1 - cos θ

0 ≤ θ ≤ 2.π

Baricentro de un dominio plano

Reemplazando:

cos² θ = (1 + cos 2.θ)/2 ⇒ cos4 θ = (1 + cos 2.θ)²/4 ⇒ cos4 θ = ¼.(1 + 2.cos 2.θ + cos² 2.θ)

Baricentro de un dominio plano

Baricentro de un dominio plano

Baricentro de un dominio plano

Calcular el baricentro de los siguientes dominios planos definidos en coordenadas polares (graficar los dominios):

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