Problema nº 18 de integrales, baricentro de un dominio plano

Enunciado del ejercicio nº 9

Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Desarrollo

Fórmulas:

Solución

Dividimos la superficie según las caras:

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

S₁: ABFE ⟶ X(x, y) = (x, y, 0)

S₂: DCGH ⟶ X(x, y) = (x, y, 1)

S₃: ABCD ⟶ X(y, z) = (1, y, z)

S₄: EFGH ⟶ X(y, z) = (0, y, z)

S₅: AEHD ⟶ X(x, z) = (x, 0, z)

S₆: BFGC ⟶ X(x, z) = (x, 1, z)

Las derivadas y los vectores normales son:

X'ₓ = (1, 0, 0), X'_y = (0, 1, 0) ⇒ N₁ = (0, 0, 1)

X'ₓ = (1, 0, 0), X'_y = (0, 1, 0) ⇒ N₂ = (0, 0, 1)

X'_y = (0, 1, 0), X'_z = (0, 0, 1) ⇒ N₃ = (1, 0, 0)

X'_y = (0, 1, 0), X'_z = (0, 0, 1) ⇒ N₄ = (1, 0, 0)

X'ₓ = (1, 0, 0), X'_z = (0, 0, 1) ⇒ N₅ = (0, 1, 0)

X'ₓ = (1, 0, 0), X'_z = (0, 0, 1) ⇒ N₆ = (0, 1, 0)

Luego:

F₁(X(x, y)) = (0, x, y)

F₂(X(x, y)) = (1, x, y)

F₃(X(y, z)) = (z, 1, y)

F₄(X(y, z)) = (z, 0, y)

F₅(X(x, z)) = (z, x, 0)

F₆(X(x, z)) = (z, x, 1)

Las integrales son:

Aplicando los signos según la orientación y sumando:

• Respuesta:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cubo