Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cubo
Problema n° 9 de integrales
Enunciado del ejercicio n° 9
Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
Desarrollo
Fórmulas:
∬S F(x) = ∬D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv
Solución
Dividimos la superficie según las caras:
Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie
S1: ABFE → X(x, y) = (x, y, 0)
S2: DCGH → X(x, y) = (x, y, 1)
S3: ABCD → X(y, z) = (1, y, z)
S4: EFGH → X(y, z) = (0, y, z)
S5: AEHD → X(x, z) = (x, 0, z)
S6: BFGC → X(x, z) = (x, 1, z)
Las derivadas y los vectores normales son:
X'x = (1, 0, 0), X'y = (0, 1, 0) ⇒ N1 = (0, 0, 1)
X'x = (1, 0, 0), X'y = (0, 1, 0) ⇒ N2 = (0, 0, 1)
X'y = (0, 1, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N3 = (1, 0, 0)
X'y = (0, 1, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N4 = (1, 0, 0)
X'x = (1, 0, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N5 = (0, 1, 0)
X'x = (1, 0, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N6 = (0, 1, 0)
Luego:
F1(X(x, y)) = (0, x, y)
F2(X(x, y)) = (1, x, y)
F3(X(y, z)) = (z, 1, y)
F4(X(y, z)) = (z, 0, y)
F5(X(x, z)) = (z, x, 0)
F6(X(x, z)) = (z, x, 1)
Las integrales son:
∬S1 F(x)·ds = ∬D1 (0, x, y)·(0, 0, 1)·dx·dy = ∬D1 y·dx·dy
∬S2 F(x)·ds = ∬D2 (1, x, y)·(0, 0, 1)·dx·dy = ∬D2 y·dx·dy
∬S3 F(x)·ds = ∬D3 (z, 1, y)·(1, 0, 0)·dy·dz = ∬D3 z·dy·dz
∬S4 F(x)·ds = ∬D4 (1, 0, y)·(1, 0, 0)·dy·dz = ∬D4 z·dy·dz
∬S5 F(x)·ds = ∬D5 (z, x, 0)·(0, 1, 0)·dx·dz = ∬D5 x·dx·dz
∬S6 F(x)·ds = ∬D6 (z, x, 1)·(0, 1, 0)·dx·dz = ∬D6 x·dx·dz
Aplicando los signos según la orientación y sumando:
∬S F·ds = -∬D1 y·dx·dy + ∬D2 y·dx·dy + ∬D3 z·dy·dz - ∬D4 z·dy·dz - ∬D5 x·dx·dz + ∬D6 x·dx·dz
∬S F·ds = 0
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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