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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cubo

Problema n° 9 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 9

Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x) = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Dividimos la superficie según las caras:

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie
Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

S1: ABFE → X(x, y) = (x, y, 0)

S2: DCGH → X(x, y) = (x, y, 1)

S3: ABCD → X(y, z) = (1, y, z)

S4: EFGH → X(y, z) = (0, y, z)

S5: AEHD → X(x, z) = (x, 0, z)

S6: BFGC → X(x, z) = (x, 1, z)

Las derivadas y los vectores normales son:

X'x = (1, 0, 0), X'y = (0, 1, 0) ⇒ N1 = (0, 0, 1)

X'x = (1, 0, 0), X'y = (0, 1, 0) ⇒ N2 = (0, 0, 1)

X'y = (0, 1, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N3 = (1, 0, 0)

X'y = (0, 1, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N4 = (1, 0, 0)

X'x = (1, 0, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N5 = (0, 1, 0)

X'x = (1, 0, 0), X'z = (0, 0, 1) ⇒ N6 = (0, 1, 0)

Luego:

F1(X(x, y)) = (0, x, y)

F2(X(x, y)) = (1, x, y)

F3(X(y, z)) = (z, 1, y)

F4(X(y, z)) = (z, 0, y)

F5(X(x, z)) = (z, x, 0)

F6(X(x, z)) = (z, x, 1)

Las integrales son:

S1 F(x)·ds = D1 (0, x, y)·(0, 0, 1)·dx·dy = D1 y·dx·dy

S2 F(x)·ds = D2 (1, x, y)·(0, 0, 1)·dx·dy = D2 y·dx·dy

S3 F(x)·ds = D3 (z, 1, y)·(1, 0, 0)·dy·dz = D3 z·dy·dz

S4 F(x)·ds = D4 (1, 0, y)·(1, 0, 0)·dy·dz = D4 z·dy·dz

S5 F(x)·ds = D5 (z, x, 0)·(0, 1, 0)·dx·dz = D5 x·dx·dz

S6 F(x)·ds = D6 (z, x, 1)·(0, 1, 0)·dx·dz = D6 x·dx·dz

Aplicando los signos según la orientación y sumando:

S F·ds = - D1 y·dx·dy + D2 y·dx·dy + D3 z·dy·dz - D4 z·dy·dz - D5 x·dx·dz + D6 x·dx·dz

S F·ds = 0

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