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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP13

Integrales: Solución del ejercicio n° 9 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cubo

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Problema n° 9 de integrales.

Problema n° 9) Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Dividimos la superficie según las caras:

S1: ABFE → X(x, y) = (x, y, 0)
S2: DCGH → X(x, y) = (x, y, 1)
S3: ABCD → X(y, z) = (1, y, z)
S4: EFGH → X(y, z) = (0, y, z)
S5: AEHD → X(x, z) = (x, 0, z)
S6: BFGC → X(x, z) = (x, 1, z)


Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Las derivadas y los vectores normales son:

x = (1, 0, 0), X´y = (0, 1, 0) ⇒ N1 = (0, 0, 1)
x = (1, 0, 0), X´y = (0, 1, 0) ⇒ N2 = (0, 0, 1)
y = (0, 1, 0), X´z = (0, 0, 1) ⇒ N3 = (1, 0, 0)
y = (0, 1, 0), X´z = (0, 0, 1) ⇒ N4 = (1, 0, 0)
x = (1, 0, 0), X´z = (0, 0, 1) ⇒ N5 = (0, 1, 0)
x = (1, 0, 0), X´z = (0, 0, 1) ⇒ N6 = (0, 1, 0)

Luego:

F1(X(x, y)) = (0, x, y)
F2(X(x, y)) = (1, x, y)
F3(X(y, z)) = (z, 1, y)
F4(X(y, z)) = (z, 0, y)
F5(X(x, z)) = (z, x, 0)
F6(X(x, z)) = (z, x, 1)

Las integrales son:

∫∫S1 F(x)·ds = ∫∫D1 (0, x, y)·(0, 0, 1)·dx·dy = ∫∫D1 y·dx·dy
∫∫S2 F(x)·ds = ∫∫D2 (1, x, y)·(0, 0, 1)·dx·dy = ∫∫D2 y·dx·dy
∫∫S3 F(x)·ds = ∫∫D3 (z, 1, y)·(1, 0, 0)·dy·dz = ∫∫D3 z·dy·dz
∫∫S4 F(x)·ds = ∫∫D4 (1, 0, y)·(1, 0, 0)·dy·dz = ∫∫D4 z·dy·dz
∫∫S5 F(x)·ds = ∫∫D5 (z, x, 0)·(0, 1, 0)·dx·dz = ∫∫D5 x·dx·dz
∫∫S6 F(x)·ds = ∫∫D6 (z, x, 1)·(0, 1, 0)·dx·dz = ∫∫D6 x·dx·dz

Aplicando los signos según la orientación y sumando:

∫∫S F·ds = - ∫∫D1 y·dx·dy + ∫∫D2 y·dx·dy + ∫∫D3 z·dy·dz - ∫∫D4 z·dy·dz - ∫∫D5 x·dx·dz + ∫∫D6 x·dx·dz

∫∫S F·ds = 0

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