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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP13

Integrales: Solución del ejercicio n° 15 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto. Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una superficie

Problema n° 15 de integrales.

Problema n° 15) Calcular el flujo saliente del campo anterior a través del embudo determinado por las superficies:

S1: x² + y² = 1

0 ≤ z ≤ 1

S2: x² + y² - z² = 0

1 ≤ z ≤ 4

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x) = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución


Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Aplicamos la fórmula para las superficies por separado, luego el flujo total será la suma de ambos flujos.

Parametrizamos la primera superficie:

X(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)

D1: 0 ≤ z ≤ 1 →

0 ≤ θ ≤ 2·π

0 ≤ z ≤ 1

Calculamos n:

Xθ = (- sen θ, cos θ, 0)

Xz = (0, 0, 1)

n =

E1

-E2

E3

= (cos θ, -(-sen θ), 0) = (cos θ, sen θ, 0)

- sen θ

cos θ

0

0

0

1

n = (cos θ, sen θ, 0)

F(X(θ, z)) = (cos θ, sen θ, 2·π - cos θ - sen θ)

El flujo saliente de la primera superficie será:

Flujo1 = S1 F(x) = D1 F(X(θ, z))·n·dθ·dz = D1 (cos θ, sen θ, 2·π - cos θ - sen θ)·(cos θ, sen θ, 0)·dθ·dz

Flujo1 = D1 (cos² θ + sen² θ)·dθ·dz = D1 dθ·dz = Cálculo del flujo saliente de un campo a través de una superficie = 2·π

Parametrizamos la segunda superficie:

X(θ, z) = (z·cos θ, z·sen θ, z)

D2: 1 ≤ z ≤ 4 →

0 ≤ θ ≤ 2·π

1 ≤ z ≤ 4

Calculamos n:

Xθ = (- z·sen θ, z·cos θ, 0)

Xz = (cos θ, sen θ,1)

n = Xθ ∧ Xz =

E1

-E2

E3

= [z·cos θ, -(- sen θ), -z·(sen θ)·(sen θ) - z·(cos θ)·(cos θ)]

- z·sen θ

z·cos θ

0

cos θ

sen θ

1

n = (z·cos θ, z·sen θ, - z·sen² θ - z·cos² θ)

n = (z·cos θ, z·sen θ, - z·(sen² θ + z·cos² θ)) = (z·cos θ, z·sen θ, - z)

F(X(θ, z)) = (z·cos θ, z·sen θ, 2·z - z·cos θ - z·sen θ)

El flujo saliente de la segunda superficie será:

Flujo2 = S2 F(x) = D2 F(X(θ, z))·n·dθ·dz = D2 (z·cos θ, z·sen θ, 2·z - z·cos θ - z·sen θ)·(z·cos θ, z·sen θ, -z)·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z²·cos² θ + z²·sen² θ - z·(2·z - z·cos θ - z·sen θ))·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z²·(cos² θ + sen² θ) - 2·z² + z²·cos θ + z²·sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z² - 2·z² + z²·cos θ + z²·sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = D2 z²·(- 1 + cos θ + sen θ)·dθ·dz

Cálculo del flujo saliente de un campo a través de una superficie

Flujo2 = 21·(-2·π + (sen 2·π - sen 0) - (cos 2·π - cos 0))

Flujo2 = 21·(-2·π - (1 - 1)) = -42·π

El flujo total es:

Flujo = Flujo1 + Flujo2

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 2·π - 42·π = -40·π

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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