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Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de una superficie

Problema n° 15 de integrales

Enunciado del ejercicio n° 15

Calcular el flujo saliente del campo anterior a través del embudo determinado por las superficies:

S1: x² + y² = 10 ≤ z ≤ 1
S2: x² + y² - z² = 01 ≤ z ≤ 4

Desarrollo

Fórmulas:

S F(x) = D F(X(u, v))·(Xu ∧ Xv)·du·dv

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie
Gráfico del dominio para el cálculo de la superficie

Aplicamos la fórmula para las superficies por separado, luego el flujo total será la suma de ambos flujos.

Parametrizamos la primera superficie:

X(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)

D1: 0 ≤ z ≤ 1 →0 ≤ θ ≤ 2·π 0 ≤ z ≤ 1

Calculamos n:

Xθ = (- sen θ, cos θ, 0)

Xz = (0, 0, 1)

n =E1-E2E3= (cos θ, -(-sen θ), 0) = (cos θ, sen θ, 0)
- sen θcos θ0
001

n = (cos θ, sen θ, 0)

F(X(θ, z)) = (cos θ, sen θ, 2·π - cos θ - sen θ)

El flujo saliente de la primera superficie será:

Flujo1 = S1 F(x)

Flujo1 = D1 F(X(θ, z))·n·dθ·dz

Flujo1 = D1 (cos θ, sen θ, 2·π - cos θ - sen θ)·(cos θ, sen θ, 0)·dθ·dz

Flujo1 = D1 (cos² θ + sen² θ)·dθ·dz

Flujo1 = D1 dθ·dz

Flujo1 = 2·π1·dz
  
00
Flujo1 = 2·π·(z)1
 
0

Flujo1 = 2·π

Parametrizamos la segunda superficie:

X(θ, z) = (z·cos θ, z·sen θ, z)

D2: 1 ≤ z ≤ 4 →0 ≤ θ ≤ 2·π 1 ≤ z ≤ 4

Calculamos n:

Xθ = (- z·sen θ, z·cos θ, 0)

Xz = (cos θ, sen θ,1)

n = Xθ ∧ Xz =E1-E2E3= [z·cos θ, -(- sen θ), -z·(sen θ)·(sen θ) - z·(cos θ)·(cos θ)]
- z·sen θz·cos θ0
cos θsen θ1

n = (z·cos θ, z·sen θ, - z·sen² θ - z·cos² θ)

n = (z·cos θ, z·sen θ, - z·(sen² θ + z·cos² θ)) = (z·cos θ, z·sen θ, - z)

F(X(θ, z)) = (z·cos θ, z·sen θ, 2·z - z·cos θ - z·sen θ)

El flujo saliente de la segunda superficie será:

Flujo2 = S2 F(x)

Flujo2 = D2 F(X(θ, z))·n·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z·cos θ, z·sen θ, 2·z - z·cos θ - z·sen θ)·(z·cos θ, z·sen θ, -z)·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z²·cos² θ + z²·sen² θ - z·(2·z - z·cos θ - z·sen θ))·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z²·(cos² θ + sen² θ) - 2·z² + z²·cos θ + z²·sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = D2 (z² - 2·z² + z²·cos θ + z²·sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = D2 z²·(- 1 + cos θ + sen θ)·dθ·dz

Flujo2 = 2·π4z²·(-1 + cos θ + sen θ)·dz
  
01
Flujo2 = 2·π(⅓·z³)4·(-1 + cos θ + sen θ)·dθ
  
01
Flujo2 = 2·π(⅓·4³ - ⅓·1³)·(-1 + cos θ + sen θ)·dθ
 
0
Flujo2 = 2·π(⅓·64 - ⅓)·(-1 + cos θ + sen θ)·dθ
 
0
Flujo2 = 2·π⅓·63·(-1 + cos θ + sen θ)·dθ
 
0
Flujo2 = 21·2·π(-1 + cos θ + sen θ)·dθ
 
0
Flujo2 = 21·[-θ + sen θ + (-cos θ)]2·π
 
0

Flujo2 = 21·(-2·π + (sen 2·π - sen 0) - (-0 + cos 2·π - cos 0))

Flujo2 = 21·(-2·π - (1 - 1))

Flujo2 = -42·π

El flujo total es:

Flujo = Flujo1 + Flujo2

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 2·π - 42·π

Flujo = -40·π

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