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Guía de ejercicios de integrales superficiales. TP13

Integrales: Solución del ejercicio n° 9 de integrales superficiales de campos vectoriales. Problema resuelto.

Problema n° 9 de integrales.

Problema n° 9) Calcular el flujo saliente del campo (z, x, y) a través del cubo, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Dividimos la superficie según las caras:

S1: ABFE → X(x,y) = (x,y,0)
S2: DCGH → X(x,y) = (x,y,1)
S3: ABCD → X(y,z) = (1,y,z)
S4: EFGH → X(y,z) = (0,y,z)
S5: AEHD → X(x,z) = (x,0,z)
S6: BFGC → X(x,z) = (x,1,z)

Las derivadas y los vectores normales son:

x = (1,0,0), X´y = (0,1,0) ⇒ N1 = (0,0,1)
x = (1,0,0), X´y = (0,1,0) ⇒ N2 = (0,0,1)
y = (0,1,0), X´z = (0,0,1) ⇒ N3 = (1,0,0)
y = (0,1,0), X´z = (0,0,1) ⇒ N4 = (1,0,0)
x = (1,0,0), X´z = (0,0,1) ⇒ N5 = (0,1,0)
x = (1,0,0), X´z = (0,0,1) ⇒ N6 = (0,1,0)

Luego:

F1(X(x,y)) = (0,x,y)
F2(X(x,y)) = (1,x,y)
F3(X(y,z)) = (z,1,y)
F4(X(y,z)) = (z,0,y)
F5(X(x,z)) = (z,x,0)
F6(X(x,z)) = (z,x,1)

Las integrales son:

∫∫ S1 F(X).ds = ∫∫ D1 (0,x,y).(0,0,1).dx.dy = ∫∫ D1 y.dx.dy
∫∫ S2 F(X).ds = ∫∫ D2 (1,x,y).(0,0,1).dx.dy = ∫∫ D2 y.dx.dy
∫∫ S3 F(X).ds = ∫∫ D3 (z,1,y).(1,0,0).dy.dz = ∫∫ D3 z.dy.dz
∫∫ S4 F(X).ds = ∫∫ D4 (1,0,y).(1,0,0).dy.dz = ∫∫ D4 z.dy.dz
∫∫ S5 F(X).ds = ∫∫ D5 (z,x,0).(0,1,0).dx.dz = ∫∫ D5 x.dx.dz
∫∫ S6 F(X).ds = ∫∫ D6 (z,x,1).(0,1,0).dx.dz = ∫∫ D6 x.dx.dz

Aplicando los signos según la orientación y sumando:

∫∫ S F.ds = - ∫∫ D1 y.dx.dy + ∫∫ D2 y.dx.dy + ∫∫ D3 z.dy.dz - ∫∫ D4 z.dy.dz - ∫∫ D5 x.dx.dz + ∫∫ D6 x.dx.dz

∫∫ S F.ds = 0

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