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Contenido: Integrales superficiales de funciones. Integrales dobles.

Guía de ejercicios resueltos de integrales superficiales

Resolver los siguientes ejercicios

Fórmulas aplicables:

S ƒ(X)·dσ = D ƒ(X(u, v))·||Xu ∧ Xv||·du·dv

Fórmula para calcular las coordenadas del baricentro

Gráfico de la superficie para calcular el baricentro
Gráfico de la superficie para calcular el baricentro

Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:

z = x² + y²

Para:

z ≤ 1

Solución

Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:

XG = YG = 0

Luego:

Resolución de integrales superficiales de funciones

Primero parametrizamos la superficie:

x = u

y = v

z = u² + v²

X(u, v) = (u, v, u² + v²)

Luego hallamos el vector normal a la superficie:

Xu = (1, 0, 2·u)

Xv = (0, 1, 2·v)

Xu ∧ Xv = (1, 0, 2·u) ∧ (0, 1, 2·v) =E1E2E3= (-2·u, -2·v, 1)
102·u
012·v

Xu ∧ Xv = (-2·u, -2·v, 1)

Preparamos las partes para armar la integral:

Resolución de integrales superficiales de funciones

ƒ(X(u, v)) = u² + v²

Armamos la integral:

I = S z·dσ = D ƒ(X(u, v))·||Xu ∧ Xv||·du·dv

Resolución de integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ
v = r·sen θ
→ |J| = r →0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π

Resolución de integrales superficiales de funciones

Resolvemos:

Resolución de integrales superficiales de funciones

Aplicando un cambio de variable:

Cambio de variables para integrar

Para el denominador:

AD = S dσ = D ||Xu ∧ Xv||·du·dv

Resolución de integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ
v = r·sen θ
→ |J| = r →0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π

Cambio a coordenadas polares

Resolvemos:

Resolución de integrales superficiales de funciones

Mediante un cambio de variable:

w = 4·r² + 1

dw = 8·r·dr

(1/8)·dw = r·dr

Resolución de integrales superficiales de funciones

La coordenada es:

Coordenadas del baricentro

El baricentro es:

Coordenadas del baricentro

This work by Ricardo Santiago Netto is licensed under CC BY-NC-SA 4.0

• Fuente:

Ejercicios extraídos del libro "Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

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