Guía de ejercicios resueltos de integrales superficiales

Resolver los siguientes ejercicios

Fórmulas aplicables:

∬_S ƒ(X)·dσ = ∬_D ƒ(X(u, v))·||X_u ∧ X_v||·du·dv

Gráfico de la superficie para calcular el baricentro

Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:

z = x² + y²

Para:

z ≤ 1

Solución

Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:

X_G = Y_G = 0

Luego:

Primero parametrizamos la superficie:

x = u

y = v

z = u² + v²

X(u, v) = (u, v, u² + v²)

Luego hallamos el vector normal a la superficie:

X_u = (1, 0, 2·u)

X_v = (0, 1, 2·v)

X_u ∧ X_v = (-2·u, -2·v, 1)

Preparamos las partes para armar la integral:

ƒ(X(u, v)) = u² + v²

Armamos la integral:

I = ∬_S z·dσ = ∬_D ƒ(X(u, v))·||X_u ∧ X_v||·du·dv

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

Resolvemos:

Aplicando un cambio de variable:

Para el denominador:

A_D = ∬_S dσ = ∬_D ||X_u ∧ X_v||·du·dv

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

Resolvemos:

Mediante un cambio de variable:

w = 4·r² + 1

dw = 8·r·dr

(1/8)·dw = r·dr

La coordenada es:

El baricentro es: