Ejercicio resuelto de integrales superficiales
Resolver los siguientes ejercicios
Fórmulas aplicables:
Gráfico de la superficie para calcular el baricentro
Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:
z = x² + y²
Para:
z ≤ 1
Solución
Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:
XG = YG = 0
Luego:
Primero parametrizamos la superficie:
x = u
y = v
z = u² + v²
X(u, v) = (u, v, u² + v²)
Luego hallamos el vector normal a la superficie:
Xᵤ = (1, 0, 2·u)
Xᵥ = (0, 1, 2·v)
Xᵤ ∧ Xᵥ = (1, 0, 2·u) ∧ (0, 1, 2·v)
Xᵤ ∧ Xᵥ = (-2·u, -2·v, 1)
Preparamos las partes para armar la integral:
f(X(u, v)) = u² + v²
Armamos la integral:
Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:
Resolvemos:
Aplicando un cambio de variable:
Para el denominador:
Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:
Resolvemos:
Planteamos la integral definida:
Mediante un cambio de variable:
w = 4·r² + 1
dw = 8·r·dr
⅛·dw = r·dr
La coordenada es:
El baricentro es:
• Fuente:
"Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina