- • Página de inicio
- › Análisis Matemático
- › Integrales
- › Trabajo práctico TP05
Guía n° 5 de ejercicios resueltos de integrales superficiales
Resolver los siguientes ejercicios
Fórmulas aplicables:
∬S ƒ(X)·dσ = ∬D ƒ(X(u, v))·||Xu ∧ Xv||·du·dv
Gráfico de la superficie para calcular el baricentro
Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:
z = x² + y²
Para:
z ≤ 1
Solución
Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:
XG = YG = 0
Luego:
Primero parametrizamos la superficie:
x = u
y = v
z = u² + v²
X(u, v) = (u, v, u² + v²)
Luego hallamos el vector normal a la superficie:
Xu = (1, 0, 2·u)
Xv = (0, 1, 2·v)
| Xu ∧ Xv = (1, 0, 2·u) ∧ (0, 1, 2·v) = | E1 | E2 | E3 | = (-2·u, -2·v, 1) |
| 1 | 0 | 2·u | ||
| 0 | 1 | 2·v |
Xu ∧ Xv = (-2·u, -2·v, 1)
Preparamos las partes para armar la integral:
ƒ(X(u, v)) = u² + v²
Armamos la integral:
I = ∬S z·dσ = ∬D ƒ(X(u, v))·||Xu ∧ Xv||·du·dv
Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:
| u = r·cos θ v = r·sen θ | → |J| = r → | 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2·π |
Resolvemos:
Aplicando un cambio de variable:
Para el denominador:
AD = ∬S dσ = ∬D ||Xu ∧ Xv||·du·dv
Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:
| u = r·cos θ v = r·sen θ | → |J| = r → | 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2·π |
Resolvemos:
Mediante un cambio de variable:
w = 4·r² + 1
dw = 8·r·dr
(1/8)·dw = r·dr
La coordenada es:
El baricentro es:
Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar
• Fuente:
Ejercicios extraídos del libro "Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.