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Guía de ejercicios resueltos de integrales superficiales. TP05

Contenido: Integrales superficiales de funciones. Integrales dobles.

Ejercicios extraídos del libro "Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Guía de ejercicios resueltos de integrales superficiales.

Resolver los siguientes ejercicios:

Fórmulas aplicables:

∫∫S f(X)·dσ = ∫∫D f(X(u,v))·||Xu ∧ Xv||·du·dv


Gráfico de la superficie para calcular el baricentro

Ejercicio: Calcular las coordenadas del baricentro de la superficie:

z = x² + y²

Para:

z ≤ 1

Solución

Como la superficie presenta simetría del dominio con respecto a los planos y = 0 y x = 0, y la integranda presenta antisimetría con respecto a los mismos planos, resulta:

XG = YG = 0

Luego:

Resolución de integrales superficiales de funciones

Primero parametrizamos la superficie:

x = u

y = v

z = u² + v²

X(u,v) = (u, v, u² + v²)

Luego hallamos el vector normal a la superficie:

Xu = (1, 0, 2·u)

Xv = (0, 1, 2·v)

Xu ∧ Xv = (1, 0, 2·u)∧ (0, 1, 2·v) =

E1

E2

E3

= (-2·u, -2·v, 1)

1

0

2·u

0

1

2·v

Xu ∧ Xv = (-2·u, -2·v, 1)

Preparamos las partes para armar la integral:

Resolución de integrales superficiales de funciones

f(X(u,v)) = u² + v²

Armamos la integral:

I = ∫∫S z·dσ = ∫∫D f(X(u,v))·||Xu ∧ Xv||·du·dv

Resolución de integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Resolución de integrales superficiales de funciones

Resolvemos:

Resolución de integrales superficiales de funciones

Aplicando un cambio de variable:

Cambio de variables para integrar

Para el denominador:

AD = ∫∫Sdσ = ∫∫D ||Xu ∧ Xv||·du·dv

Resolución de integrales superficiales de funciones

Como el dominio es una circunferencia de radio = 1 cambiamos a sistema de coordenadas polares:

u = r·cos θ

v = r·sen θ

→ |J| = r →

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2·π

Cambio a coordenadas polares

Resolvemos:

Resolución de integrales superficiales de funciones

Mediante un cambio de variable:

w = 4·r² + 1

dw = 8·r·dr

(1/8)·dw = r·dr

Resolución de integrales superficiales de funciones

La coordenada es:

Coordenadas del baricentro

El baricentro es:

Coordenadas del baricentro

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