Titular top Mapa del sitio Ingresar Salir

Tipos de discontinuidades. AP07

Contenido: Tipos de discontinuidades. Discontinuidad evitable, discontinuidad de salto finito e infinito. ¿Qué es una función discontinua?

Tipos de discontinuidades:

Para empezar, si ƒ:A ⊂ ℜ → ℜ no es contínua en a ∈ A, entonces a es punto de acumulación de A.

Al no ser contínua ƒ en a, puede ocurrir:

1) Que exista lim x → a ƒ(x) pero que sea distinto que ƒ(a), se dice entonces que ƒ tiene una discontinuidad evitable en a.

Ejemplo de discontinuidades evitables

ƒ:x ∈ ℜ →

x si x ≠ 0

1 si x = 0

lim x → 0 ƒ(x) = 0 ≠ ƒ(0)

2) Que no exista lim x → a ƒ(x) pero que existan lim x → a‾ ƒ(x), lim x → a+ ƒ(x) pero que sean distintos. Se dice, entonces, que ƒ tiene una discontinuidad de salto finito.

Ejemplo de discontinuidades de salto finito

ƒ:x ∈ ℜ →

-1 si x ≤ 0

1 si x > 0

lim x → 0‾ ƒ(x) = -1

lim x → 0+ ƒ(x) = 1

En ese ejemplo lim x → 0‾ ƒ(x) = ƒ(0)

Se dice que es contínua en 0 por la izquierda.

3) Discontinuidad de salto infinito cuando alguno de los límites laterales es infinito (+4, -4). Evitable infinito cuando lim x → a+ ƒ(x) = +4

Ejemplo de discontinuidades de salto infinito

ƒ:x ∈ ℜ →

1/x si x ≠ 0

1 si x = 0

4) No existe alguno de lo límites laterales. Discontinuidad esencial o de 2ª especie.

Ejemplo de discontinuidad esencial

ƒ:x ∈ ℜ →

0 si x ∈ Q

1 si x ∉ Q

Otra forma de decir que una función es contínua es esta:

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / ƒ-1(]ƒ(a) - ε, ƒ(a) + ε [) ⊂ ]a - δ, a + δ [

Teniendo en cuenta que este particular espacio topológico (ℜ con su topología natural), un conjunto U ⊂ ℜ es entorno de un punto p ∈ ℜ, si sólo si (por definición) U contiene contiene algún intervalo centrado en p, podemos decir que ƒ:A ⊂ ℜ → ℜ es contínua en a ∈ A cuando:

∀ V ∈ V°(ƒ(a)), ƒ-1(V) ∈ V°(a) donde V°(A) son entornos de a con la topología relativa de A, es decir, con conjuntos que son intersección con A de lo entornos (con la topología de ℜ).

Teorema:

Si ƒ:A ⊂ ℜ → ℜ es contínua y A es compacto entonces ƒ(A) también es compacto.

• Demostración:

Por hipótesis de todo recubrimiento abierto de A se puede extraer un subrecubrimiento finito (A es compacto).

Sea {Gi / i ∈ I} un recubrimiento abierto de ƒ(A). Por ser ƒ contínua cada ƒ-1(Gi) es un abierto de A, luego {ƒ-1(Gi)/ i ∈ I} es un recubrimiento abierto de A. Como A es compacto ∃ i1 … in en I / {ƒ-1(Gi1) … ƒ-1(Gin)} es un recubrimiento de A ⇒ {Gi1 …Gin} es un recubrimiento de ƒ(A).

Corolario:

Si A es compacto y ƒ:A ⊂ ℜ → ℜ es contínua, entonces ƒ alcanza un mínimo y un máximo, es decir, ∃ a, b ∈ A / ƒ(a) = min. {ƒ(x)/ x ∈ A}, ƒ(b) = máx. {ƒ(x)/ x ∈ A}

• Demostración:

Como ƒ(A) es compacto, acotado y cerrado, existe m = inf. ƒ(A), n = sup. ƒ(A). Como ƒ(A) es cerrado el inf y el sup. de él pertenecen a él.

Ejemplo:

ƒ:x ∈]0, +4[→ 1/x

Es contínua pero no alcanza ni el máximo ni el mínimo.

Sup. ƒ(]0,+4[) = "+4"

Inf. F(]0, +4[) = 0

ƒ:x ∈]0, 1[→ x

inf. ƒ(]0, 1[) = 0 ó a, b ∈]0, 1[/ ƒ(a) = 0, ƒ(b) = 1

Sup ƒ(]0, 1[) = 1 ó a, b ∈]0, 1[/ ƒ(a) = min. ƒ(A), ƒ(b) = máx. ƒ(A)

Sabemos por el teorema anterior que si ƒ:A ⊂ ℜ → ℜ es contínua, entonces si A es compacto implica que ƒ(A) es compacto.

Sin embargo:

  1. A abierto no ⇒ ƒ(A) abierto
    • Ejemplo:
    • ƒ:x ∈]-1, 1[→ x²
    • ƒ(]-1, 1[) = [0, 1[
  2. A cerrado no ⇒ ƒ(A) cerrado
    • Ejemplo:
    • ƒ:x ∈ [1, +4[→ 1/x
    • ƒ([1, +4[) =]0, 1]
  3. A acotado no ⇒ ƒ(A) acotado
    • ƒ es secuencialmente contínua: ⇔ [(xn) → a ⇒ ƒ(x) → ƒ(a)]

Acabamos de ver que en ℜ:

ƒ secuencialmente contínua ⇔ ƒ contínua.

Un intervalo en sentido amplio en ℜ es un conjunto I tal que x, y ∈ I, x < z < y ⇒ z ∈ I (un conjunto tal que, si contiene a dos puntos, también contiene a todo los intermedios).

Es evidente que I es un intervalo en sentido amplio si y sólo si es de la forma:Ø, {a}, [a, b], [a, b[,]a, b],]a, b[, con a < b,]-4, a],]-4, a[,]a, +4[, [a, +4[,]-4,+4[.

Teorema (del valor medio para funciones continuas)

Si ƒ:[a, b] ⊂ ℜ → ℜ es contínua y tal que ƒ(a)·ƒ(b) < 0 entonces existe c ∈ ]a, b[ tal que ƒ(c) = 0

• Demostración:

Supongamos que ƒ(a) < 0 < ƒ(b). Consideremos el conjunto M = {x ∈ [a, b] / ƒ(x) < 0}, M es no vacío, a ∈ M y acotado superiormente, b es cota superior de M. Por tanto, tiene supremo. Sea c = sup M. Vamos a ver a < c < b y ƒ(c) = 0. Para ello veremos cuatro casos, en cada uno de ellos el argumento es el mismo:

  1. a < c
  2. c < b (ejercicio)
  3. ƒ(c) no < 0
  4. ƒ(c) no > 0 (ejercicio)

1.- Por ser ƒ contínua en c y tal que ƒ(a) < 0, dado -ƒ(a) > 0, ∃ δ > 0 / x ∈ [a, b], |x - a| < δ ⇒ |ƒ(x) - ƒ(a)| < -ƒ(a). Luego ƒ(x) = 0

Como [a, a + δ] ⊂ M ⇒ c ≥ a + δ ⇒ c > a

3.- Supongamos que ƒ(c) < 0, por ser ƒ contínua en c (ya se sabe que c ∈ [a, b]), dado -ƒ(c) > 0, ∃ δ > 0 / x ∈ [a, b], |x - c| < δ ⇒ |ƒ(a) - ƒ(c)| < -ƒ(c) ⇒ ƒ(x) < 0

Como a < c < b, eso significa que hay puntos en M a la derecha de c, luego c no es cota superior de M. Contradicción.

Corolario:

Si I es un intervalo (en sentido amplio) y ƒ:I → ℜ es continuo, entonces ƒ(I) también es un intervalo (en sentido amplio).

En otras palabras, ƒ alcanza todo valor comprendido entre dos que alcanza. Es decir, si x, y ∈ I, x < y, ƒ(x) < η < ƒ(y), (lo mismo si ƒ(y) < η < ƒ(x)), entonces existe ξ, δ entre x, y tal que ƒ(ξδ) = η

En efecto, basta considerar la función contínua g:t ∈ [x, y] → g(t) = ƒ(t) - η

Ejemplo de función no contínua que también lleva intervalos en intervalos

ƒ:x ∈ ℜ → ƒ(x) =

sen 1/x si ≠ 0

0 si x = 0

Damos por sabido que la función x ∈ ℜ → sen x es contínua y, por tanto, también lo es su composición con la x ∈ ℜ / {0} → 1/x. Es decir, ƒ es contínua en ℜ - {0}. Sin embargo, no es contínua en 0. Basta tener en cuenta que ∀ δ > 0, ∀ z ∈ [-1, 1], ∃ x ∈] -δ, δ [/ ƒ(x) = z

lim x → 0 sup ƒ(x) = 1; lim x → 0 inf ƒ(x) = -1

Esta ƒ transforma intervalos en intervalos.

Si 0 ∉ I, ƒ contínua.

Si 0 ∈ I, ƒ(0) = 0, 0 ∈ ƒ(I) ⊂ [-1, 1].

Ejemplo:

Ver que si ƒ:ℜ → ℜ tiene alguna discontinuidad de salto, entonces no lleva intervalos en intervalos.

Teorema (Weierstrass):

Si A ⊂ ℜ es compacto y ƒ:A ⊂ ℜ → ℜ es contínua entonces es uniformemente contínua.

Toda función contínua en un compacto es uniformemente contínua.

La definiciones implicadas son:

ƒ es contínua en A ⇔ ∀ x ∈ A, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |ƒ(x) - ƒ(y)| < ε

ƒ es uniformemente contínua en A ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / x, y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |ƒ(x) - ƒ(y)| < ε.

Un ejemplo de contínua no uniformemente contínua es la ƒ:x ∈ ℜ / {0} → 1/x ó ƒ:x ∈ ℜ → x² ó ƒ:x ∈]0, 1[→ 1/x (Nótese que ℜ/{0}, ℜ,]0, 1[no son compactos).

• Demostración:

Que ƒ es contínua en A significa que:

∀ x ∈ A, ∀ ε > 0, ∃ δx / y ∈ A, |x - y| < δx ⇒ |ƒ(x) - ƒ(y)| < ε/2

Naturalmente,{]x - δx/2, x + δx/2[/ x ∈ A} es un recubrimiento abierto de A ("cada punto de a con su paraguas"). Como A es compacto, basta con finitos de ellos, es decir, existen x1, ………, xn ∈ A tales que {]x1 - δx/2, x1 + δx/2[……]xn - δx/2, xn + δx/2[} recubren a A.

Sea δ = min {δx1/2, ………, δx2/2} > 0

Entonces, si x, y ∈ A, |x - y| < δ, existe k ∈ {1, …, n} tal que x ∈]xk - δxk/2, x + δxk/2[y tenemos que |y - xk| ≤ |y - x + x - xk| < δ + δxk/2 ≤ δxk

Por tanto, x, y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |ƒ(x) - ƒ(y)| ≤ |ƒ(x) - ƒ(xk)| + |ƒ(xk) - ƒ(y)| < ε/2 + ε/2 = ε

Copyright © 2.000-2.028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/limites/ap07-limites-continuidad.php

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

¡Gracias!

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.
Aceptar