Sucesiones

Diremos que {a_n} es convergente si:

  a_n = L (infinito)

Si {a_n} y {b_n} son convergentes tales que:

  a_n = L

  b_n = M

Entonces

{a_n} (±,*,/){b_n} = L(±,*,/) M

Si:

  |a_n| = 0 ⇒   a_n = 0

Dada {a_n} diremos que C ∈ ℜ es una cota superior de {a_n} si C ≥ a_n; B ∈ ℜ es una cota inferior si B ≤ a_n. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y contínua es convergente, ya que tiende a su cota.

Series numéricas

Diremos que una serie ∑ a_n es convergente si:

  ∑a_n = L (finito)

Series Geométricas:

La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a S_n = k/(1 - r)

Si ∑a_n y ∑b_n son convergentes a A y B respectivamente entonces:

∑a_n ±∑b_n = A ± B

Si:

∑C·a_n; C = constante ⇒ C·∑ a_n = C·A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter.

Dada ∑ a_n convergente ⇒   a_n = 0

Es convergente para p > 1.

Criterio de la integral

Sea y = ƒ(x) una función contínua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que ƒ(n) = a_n entonces:

y

Tienen el mismo carácter.

Criterio de comparación

∑ a_n y ∑b_n de términos positivos.

Si ∑ a_n ≤ ∑b_n ⇒ si ∑b_n converge se tendrá que ∑ a_n converge. Y si ∑ a_n diverge entonces ∑b_n diverge.

Comparación al límite (para series de términos positivos)

Si ⇒   a_n/b_n = L (finito, positivo) a_n ≈L·b_n

Entonces si a_n converge b_n converge y viceversa.

Si:

  a_n/b_n = 0

Si b_n converge a_n converge.

Si:

  a_n/b_n = + ∞

Si b_n diverge a_n diverge.

Series alternas

Criterio para series alternas.

Si:

  a_n = 0

Y {a_n} es decreciente, entonces la serie es convergente.

Convergencia absoluta

Dada ∑ a_n de términos de cualquier signo.

∑ |a_n| converge ⇒ ∑ a_n es convergente y diremos que ∑ a_n converge absolutamente.

Si ∑ |a_n| diverge y ∑ a_n converge, diremos que a_n converge condicionalmente.

Criterio de la razón

Si:

  |a_{n + 1}|/|a_n| = L; L < 1

La serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir. Si L > 1 la serie diverge.

Criterio de la raíz

Si:

  |a_n|^1/n = L; L < 1

La serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir; si L > 1 la serie diverge.

Estimación del resto

Criterio de la integral.

Resto (R_n) = S - S_n = a_{n + 1} + a_{n + 2} + a_{n + 3} + …

Para Series Alternas

|R_n| ≤ |a_{n + 1}| < error

Series de potencia ; serie de potencia centrada en a

Si una serie de potencia es convergente para x = x₁ ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x| < |x₁|.

Si una serie de potencia es divergente para x = x₂ ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x| > |x₂|.

Serie de Taylor

C_n = ƒⁿ(a)/n!

De lo que se obtiene:

Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.