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Sucesiones. AP11

Contenido: Series numéricas. Geométricas. Criterio de la integral. Series alternas. Convergencia absoluta. Series de potencia. Serie de Taylor.

Sucesiones

Diremos que {an} es convergente si:

  an = L (infinito)

Si {an} y {bn} son convergentes tales que:

  an = L

  bn = M

Entonces

{an} (±,*,/){bn} = L(±,*,/) M

Si:

  |an| = 0 ⇒   an = 0

Dada {an} diremos que C ∈ R es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ∈ R es una cota inferior si B ≤ an. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y contínua es convergente, ya que tiende a su cota.

Series numéricas

Diremos que una serie ∑ an es convergente si:

  Σ an = L (finito)

Series Geométricas:

Serie geométrica convergente

La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a Sn = k/(1 - r)

Si ∑an y ∑ bn son convergentes a A y B respectivamente entonces:

∑ an ±∑ bn = A ± B

Si:

∑ C·an; C = constante ⇒ C·∑ an = C·A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término "n", las dos tienen el mismo carácter.

Dada ∑ an convergente ⇒   an = 0

Es convergente para p > 1.

Criterio de la integral

Sea y = f(x) una función contínua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que f (n) = an entonces:

Serie geométrica convergente y Serie geométrica convergente

tienen el mismo carácter.

Criterio de comparación

∑ an y ∑ bn de términos positivos.

Si ∑ an ≤ ∑ bn ⇒ si ∑ bn converge se tendrá que ∑ an converge. Y si ∑ an diverge entonces ∑ bn diverge.

Comparación al límite (para series de términos positivos)

Si ⇒   an/bn = L (finito, positivo) an ≈L·bn

Entonces si an converge bn converge y viceversa.

Si:

  an/bn = 0

si bn converge an converge.

Si:

  an/bn = + ∞

si bn diverge an diverge.

Series alternas

Criterio para series alternas.

Si:

  an = 0

y {an} es decreciente, entonces la serie es convergente.

Convergencia absoluta

Dada ∑ an de términos de cualquier signo.

∑ |an| converge ⇒ ∑ an es convergente y diremos que ∑ an converge absolutamente.

Si ∑ |an| diverge y ∑ an converge, diremos que an converge condicionalmente.

Criterio de la razón

Si:

  |an + 1|/|an| = L; L < 1

La serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir. Si L > 1 la serie diverge.

Criterio de la raíz

Si:

  |an|1/n = L; L < 1

La serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir; si L > 1 la serie diverge.

Estimación del resto

Criterio de la integral.

Resto (Rn) = S-Sn = an + 1 + an + 2 + an + 3 + …

Estimación del resto

Para Series Alternas

|Rn| ≤ |an + 1| < error

Series de potencia Serie de potencia; serie de potencia centrada en a

Serie de potencia

Si una serie de potencia es convergente para x = x1 ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x| < |x1|.

Si una serie de potencia es divergente para x = x2 ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x| > |x2|.

Serie de Taylor

Cn = fn(a)/n!

De lo que se obtiene:

Serie de Taylor

Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

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