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Diremos que {aₙ} es convergente si:
Si {aₙ} y {bₙ} son convergentes tales que:
Entonces
{aₙ} (±,*,/){bₙ} = L(±,*,/) M
Si:
Dada {aₙ} diremos que C ∈ ℜ es una cota superior de {aₙ} si C ≥ aₙ; B ∈ ℜ es una cota inferior si B ≤ aₙ. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y contínua es convergente, ya que tiende a su cota.
Series numéricas
Diremos que una serie ∑ aₙ es convergente si:
Series Geométricas:
La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a Sₙ = k/(1 - r)
Si ∑aₙ y ∑bₙ son convergentes a A y B respectivamente entonces:
∑aₙ ± ∑bₙ = A ± B
Si:
∑C·aₙ; C = constante ⇒ C·∑ aₙ = C·A
El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.
Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter.
Dada ∑ aₙ convergente ⇒ 
Es convergente para p > 1.
Criterio de la integral
Sea y = f(x) una función contínua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que f(n) = aₙ entonces:
Tienen el mismo carácter.
Criterio de comparación
∑ aₙ y ∑bₙ de términos positivos.
Si ∑ aₙ ≤ ∑bₙ ⇒ si ∑bₙ converge se tendrá que ∑ aₙ converge. Y si ∑ aₙ diverge entonces ∑bₙ diverge.
Comparación al límite (para series de términos positivos)
Si:
(finito, positivo) aₙ ≈ L·bₙ
Entonces si aₙ converge bₙ converge y viceversa.
Si:
Si bₙ converge aₙ converge.
Si:
Si bₙ diverge aₙ diverge.
Series alternas
Criterio para series alternas.
Si:
Y {aₙ} es decreciente, entonces la serie es convergente.
Convergencia absoluta
Dada ∑ aₙ de términos de cualquier signo.
∑ |aₙ| converge ⇒ ∑ aₙ es convergente y diremos que ∑ aₙ converge absolutamente.
Si ∑ |aₙ| diverge y ∑ aₙ converge, diremos que aₙ converge condicionalmente.
Criterio de la razón
Si:
La serie converge absolutamente.
Si L = 1 no se puede concluir. Si L > 1 la serie diverge.
Criterio de la raíz
Si:
La serie converge absolutamente.
Si L = 1 no se puede concluir; si L > 1 la serie diverge.
Estimación del resto
Criterio de la integral.
Resto (Rₙ) = S - Sₙ = a₍ₙ ₊ ₁₎ + aₙ ₊ ₂ + aₙ ₊ ₃ + …
Para Series Alternas
|Rₙ| ≤ |a₍ₙ ₊ ₁₎| < error
Series de potencia
Serie de potencia centrada en a
Si una serie de potencia es convergente para x = x₁ ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x| < |x₁|.
Si una serie de potencia es divergente para x = x₂ ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x| > |x₂|.
Serie de Taylor
Cₙ = fⁿ(a)/n!
De lo que se obtiene:
Si a = 0 entonces se habla de serie de McLaurin.
Autor: Warning: Undefined variable $author in /home/a0120620/public_html/matematica/limites/ap11-sucesiones-series.php on line 142 . España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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