Sucesiones

Diremos que {an} es convergente si:

lim
x → ∞
an = L (infinito)

Si {an} y {bn} son convergentes tales que:

lim
x → ∞
an = L
lim
x → ∞
bn = M

Entonces

{an} (±,*,/){bn} = L(±,*,/) M

Si:

lim
x → ∞
|an| = 0 ⇒lim
x → ∞
an = 0

Dada {an} diremos que C ∈ ℜ es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ∈ ℜ es una cota inferior si B ≤ an. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y contínua es convergente, ya que tiende a su cota.

Series numéricas

Diremos que una serie ∑ an es convergente si:

lim
x → ∞
∑an = L (finito)

Series Geométricas:

 

n = 1
K·rn - 1; K·r ∈R

La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a Sn = k/(1 - r)

Si ∑an y ∑bn son convergentes a A y B respectivamente entonces:

∑an ± ∑bn = A ± B

Si:

∑C·an; C = constante ⇒ C·∑ an = C·A

El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.

Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter.

Dada ∑ an convergente ⇒lim
x → ∞
an = 0


n = 1
1
np

Es convergente para p > 1.

Criterio de la integral

Sea y = f(x) una función contínua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que f(n) = an entonces:

+∞f(x)·dx
 
1

y

+∞

n = 1
an

Tienen el mismo carácter.

Criterio de comparación

∑ an y ∑bn de términos positivos.

Si ∑ an ≤ ∑bn ⇒ si ∑bn converge se tendrá que ∑ an converge. Y si ∑ an diverge entonces ∑bn diverge.

Comparación al límite (para series de términos positivos)

Si:
lim
x → ∞
an/bn = L (finito, positivo) an ≈ L·bn

Entonces si an converge bn converge y viceversa.

Si:

lim
x → ∞
an/bn = 0

Si bn converge an converge.

Si:

lim
x → ∞
an/bn = + ∞

Si bn diverge an diverge.

Series alternas



n = 1
(-1)n + 1·anó

n = 1
(-1)n·an

Criterio para series alternas.

Si:

lim
x → ∞
an = 0

Y {an} es decreciente, entonces la serie es convergente.

Convergencia absoluta

Dada ∑ an de términos de cualquier signo.

∑ |an| converge ⇒ ∑ an es convergente y diremos que ∑ an converge absolutamente.

Si ∑ |an| diverge y ∑ an converge, diremos que an converge condicionalmente.

Criterio de la razón

Si:

lim
x → ∞
|an + 1|/|an| = L; L < 1

La serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir. Si L > 1 la serie diverge.

Criterio de la raíz

Si:

lim
x → ∞
|an|1/n = L; L < 1

La serie converge absolutamente.

Si L = 1 no se puede concluir; si L > 1 la serie diverge.

Estimación del resto

Criterio de la integral.

Resto (Rn) = S - Sn = an + 1 + an + 2 + an + 3 + …

+∞f(x)·dx ≤ Rn+∞f(x)·dx
  
n + 1n

Para Series Alternas

|Rn| ≤ |an + 1| < error

Series de potencia

+∞

n = 1
Cn·(x - a)n

Serie de potencia centrada en a



n = 0
Xn =1
1 - x
⇒ |x| < 1


n = 0
Xn
n!
= ex

Si una serie de potencia es convergente para x = x1 ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x| < |x1|.

Si una serie de potencia es divergente para x = x2 ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x| > |x2|.

Serie de Taylor

Cn = fn(a)/n!

De lo que se obtiene:

f(x) =

n = 0
fn(a)·(x - a)n
n!
= ex

Si a = 0 entonces se habla de serie de McLaurin.

Autor: Olmo De Abreu. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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