Propiedades de los números complejos I

1. Números concretos

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a, b), a y b ∈ ℜ

a = 1° componente o componente real

b = 2° componente o componente imaginaria.

Z₁ = (a, 0) es un número real

Z₂ = (0, b) es un número imaginario

Z₃ = (a, b) es un número complejo

2. Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es

3. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo Z = (a, b) se representa por un vector siendo P = (a, b)

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

Z = (a, b) = a + b·i =

4. Formas de expresar un número complejo

• Forma vectorial o par ordenado Z = (a, b)
• Forma binómica Z = a + b·i
• Forma polar Z = r_α

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido positivo).

Z = r_α

Forma trigonométrica o módulo argumental Z = r·(cos α + i·sen α)

5. Números conjugados y opuestos de otro complejo

Dado un complejo Z = a + b·i, su conjugado () tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

El complejo opuesto de Z = a + b·i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

Z = -a - b·i

6. Potencias de la unidad imaginaria

i° = 1

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a i elevado al resto de la división.

iⁿ = i^{4·c + r} = i⁴˙ᶜ·i^r = (i⁴)ᶜ·i^r = (1)ᶜ·i^r = 1·i^r = i^r

c: es el cociente,

r: es el resto de la división,

Ejemplo de potencias de la unidad imaginaria

Si el exponente es "9", entonces:

c = 2

r = 1

i⁹ = i^{4·2 + 1} = i⁴˙²·i¹ = (i⁴)²·i¹ = (1)²·i¹ = 1·i¹ = i¹ = i

7. Operaciones con números complejos

a) En forma binómica

1. Suma

Z₁ + Z₂ = (a + b·i) + (c + d·i)

Z₁ + Z₂ = (a + c) + (b + d)·i

2. Resta

Z₁ - Z₂ = (a + b·i) - (c + d·i)

Z₁ - Z₂ = (a - c) + (b - d)·i

3. Producto

Z₁·Z₂ = (a + b·i)·(c + d·i)

Z₁·Z₂ = (a·c - b·d) + (b·c + a·d)·i

4. Producto de un número real por un número complejo

k ∈ ℜ

k·Z₁ = k·(a + b·i)

k·Z₁ = k·a + k·b·i

5. Cociente

6. Inverso de un número complejo

7. Potencia de un complejo

Z₁² = (a + b·i)²

Z₁² = a² + (b·i)² + 2·a·b·i

Z₁² = a² + b²·i² + 2·a·b·i

Z₁² = a² - b² + 2·a·b·i

b) En forma polar

1. Producto de complejos

Z₁·Z₂ = (r₁)_α1·(r₂)_α2

Z₁·Z₂ = (r₁·r₂)_{α1 + α2}

2. Cociente de complejos

3. Potencia de un complejo

Z₁ⁿ = (r_α)ⁿ = rⁿ

4. Radicación de un complejo

La raíz enésima de un complejo Z = r_α tiene por módulo la raíz enésima de su módulo. Su argumento es:

El número de raíces es n para k = 0; k = 1; … k = n - 1.

Autor: Angel Ramos. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

¿Qué son los números complejos y cómo se representan? ¿Cuál es el conjugado de un número complejo? ¿Cuál es el opuesto de un número complejo?