Fisicanet ®

Números Complejos

1. Números concretos

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a, b), a y b ∈ ℜ

a = 1° componente o componente real

b = 2° componente o componente imaginaria.

Z1 = (a, 0) es un número real

Z2 = (0, b) es un número imaginario

Z3 = (a, b) es un número complejo

2. Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es -1 = i

3. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo Z = (a, b) se representa por un vector OP siendo P = (a, b)

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

Gráfica de un número complejo

z = (a, b) = a + b·i = OP

4. Formas de expresar un número complejo

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

r = a² + b²

El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido positivo).

Z = rα

Forma trigonométrica o módulo argumental Z = r·(cos α + i·sen α)

r = a² + b²/α = arctg (b/a)

5. Números conjugados y opuestos de otro complejo

Dado un complejo Z = a + b·i, su conjugado (Z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

Z = a - b·i

El complejo opuesto de Z = a + b·i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

Z = -a - b·i

6. Potencias de la unidad imaginaria

i° = 1

i¹ = i = -1

i² = -1

i³ = -i

i4 = 1

Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a i elevado al resto de la división.

in = i4·c + r = i4·c·ir = (i4)c·ir = (1)c·ir = 1·ir = ir

c: es el cociente,

r: es el resto de la división,

Ejemplo de potencias de la unidad imaginaria

Si el exponente es "9", entonces:

c = 2

r = 1

i9 = i4·2 + 1 = i4·2·i¹ = (i4)²·i¹ = (1)²·i¹ = 1·i¹ = i¹ = i

7. Operaciones con números complejos

a) En forma binómica

1. Suma

Z1 + Z2 = (a + b·i) + (c + d·i) = (a + c) + (b + d)·i

2. Resta

Z1 - Z2 = (a + b·i) - (c + d·i) = (a - c) + (b - d)·i

3. Producto

Z1·Z2 = (a + b·i)·(c + d·i) = (a·c - b·d) + (b·c + a·d)·i

4. Producto de un número real por un número complejo

k ∈ ℜ

k·Z1 = k·(a + b·i) = k·a + k·b·i

5. Cociente

División de números complejos

6. Inverso de un número complejo

Inverso de un número complejo

7. Potencia de un complejo

Z1² = (a + b·i)² = a² + (b·i)² + 2·a·b·i = a² + b²·i² + 2·a·b·i = a² - b² + 2·a·b·i

b) En forma polar

1. Producto de complejos

Z1·Z2 = (r1)α1·(r2)α2 = (r1·r2)α1 + α2

2. Cociente de complejos

División de números complejos en forma polar

3. Potencia de un complejo

Z1n = (rα)n = rn

4. Radicación de un complejo

La raíz enésima de un complejo Z = rα tiene por módulo la raíz enésima de su módulo. Su argumento es:

(α + 360°·k)/n

El número de raíces es n para k = 0; k = 1; … k = n - 1.

Raíz de números complejos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.