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Propiedades de los números complejos. AP01

Contenido: Representación gráfica de un número complejo. Conjugados y opuestos. Potencia, producto, cociente, inverso, radicación. ¿Qué son los números complejos y cómo se representan? ¿Cuál es el conjugado de un número complejo? ¿Cuál es el opuesto de un número complejo?

Números Complejos

1. Números concretos

Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b), a y b ∈ ℜ

a = 1° componente o componente real

b = 2° componente o componente imaginaria

Z1 = (a,0) es un número real

Z2 = (0,b) es un número imaginario

Z3 = (a,b) es un número complejo

2. Unidad imaginaria

La unidad imaginaria es √-1 = i

3. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo Z = (a,b) se representa por un vector OP siendo P = (a,b)

El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.

z = (a,b) = a + b·i = OP

4. Formas de expresar un número complejo

  • Forma vectorial o par ordenado Z = (a,b)
  • Forma binómica Z = a + b·i
  • Forma polar Z = rα

El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.

r = √a² + b²

El argumento del número complejo Z es α y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido positivo).

Z = rα

Forma trigonométrica o módulo argumental Z = r·(cos α + i·sen α)

r = √a² + b²/α = arctg (b/a)

5. Números conjugados y opuestos de otro complejo

Dado un complejo Z = a + b·i, su conjugado (Z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria.

Z = a - b·i

El complejo opuesto de Z = a + b·i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.

Z = -a - b·i

6. Potencias de la unidad imaginaria

i° = 1

i¹ = i = √-1

i² = -1

i³ = -i

i4 = 1

Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a "i" elevado al resto de la división.

in = i4·c + r = i4·c·ir = (i4)c·ir = ir

c: es el cociente,

r: es el resto de la división,

Ejemplo:

Si el exponente es "9", entonces:

c = 2

r = 1

7. Operaciones con números complejos

a) En forma binómica

1. Suma

Z1 + Z2 = (a + b·i) + (c + d·i) = (a + c) + (b + d)·i

2. Resta

Z1 - Z2 = (a + b·i) - (c + d·i) = (a - c) + (b - d)·i

3. Producto

Z1·Z2 = (a + b·i)·(c + d·i) = (a·c - b·d) + (b·c + a·d)·i

4. Producto de un número real por un número complejo

k ∈ ℜ

k·Z1 = k·(a + b·i) = k·a + k·b·i

5. Cociente

División de números complejos

6. Inverso de un número complejo

Inverso de un número complejo

7. Potencia de un complejo

Z1² = (a + b·i)² = a² + (b·i)² + 2·a·b·i = a² + b²·i² + 2·a·b·i = a² - b² + 2·a·b·i

b) En forma polar

1. Producto de complejos

Z1·Z2 = (r1)α 1·(r2)α 2 = (r1·r2)α 1 + α 2

2. Cociente de complejos

División de números complejos en forma polar

3. Potencia de un complejo

Z1n = (rα)n = rn

4. Radicación de un complejo

La raíz enésima de un complejo Z = rα tiene por módulo la raíz enésima de su módulo. Su argumento es:

(α + 360°·k)/n

El número de raíces es n para k = 0; k = 1; … k = n - 1.

Raíz de números complejos

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