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Investigación transcendental sobre teoría de números elementales

Teorema de Pitágoras

El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.

Damos gracias a Dios por concedernos la percepción de algunas de esas maravillas.

En esta lectura se propone un método para clasificar las ternas pitagóricas, este método constituye la verdadera y completa solución de la ecuación pitagórica y también les confiere a dichas ternas su estado normal en armonía con las leyes naturales.

Si (x, y, z, k) son enteros y (X, Y, Z) satisfacen x² + y² = z², z = (y + k), entonces existen infinitas ternas pitagóricas con diferente configuración, como se muestra a continuación:

[x, y, (y + 1)], [x, y, (y + 2)], [x, y, (y + 8)], [x, y, (y + K)]

Actualmente, bajo el criterio vigente, para asignar a una terna la categoría de primitiva, es suficiente que la terna satisfaga las siguientes dos condiciones:

x² + y² = (y + k)2, mcd[x, y, (y + k) = 1]

(X, Y, Z) satisfacen, entonces existen infinitas ternas Pitagóricas con diferente configuración, como mostramos enseguida:

La nueva solución está basada en el origen numérico de la ecuación y corrige la antigua y errónea clasificación para las llamadas "ternas pitagóricas primitivas", También unifica bajo un criterio generalizado las leyes que rigen sus diferentes parámetros de conformación.

Seguidamente mostramos varios conjuntos de ternas Pitagóricas con diferentes valores de (z - y) que además de las condiciones expuestas anteriormente también satisfacen que.

Para (z - y) = 1:

{3,4,5},{5,12,13},{7,24,25},{9,40,41},{11,60,61},{13,84,85},{15,112,113},{17,144,145},{19,180,181}

Para (z - y) = 2:

{8, 15, 17}, {12, 35, 37}, {16, 63, 65}, {20, 99, 101}, {24, 143, 145}

Para (z - y) = 8:

{20,21,29},{28,45,53},{36,77,85},{44,117,125},{52,165,173}

Para (z - y) = 9:

{33,56,65},{39,80,89},{51,140,149},{123,836,845}

Podemos apreciar que la secuencia de las diferencias, es decir, la diferencia entre las magnitudes correspondientes a la hipotenusa y el cateto mayor es: {1, 2, 8, 9, 18, 25, …

A continuación determinaremos cual es el patrón general para la conformación de la ecuación:

Si x² + y² = z² entonces (z - y) puede ser un entero par o impar.

(z - y) es impar sí y solo sí (z - y) = {1, 9, 25, 49, 81, 121, …, es decir, el cuadrado de cualquier número impar.

(z - y) es par si y solo si (z - y) = {2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, …, es decir, que partiendo de la diferencia entre cada dos de los números siguientes se incrementa sucesivamente en 4 unidades, enseguida se muestra la secuencia ascendente del incremento de la diferencia:

(2 + 4 = 6), (6 + 4 = 10), (10 + 4 = 14), (14 + 4 = 18), (18 + 4 = 22), (22 + 4 = 26)

La siguiente es la secuencia de conformación de:

(2 + 6 = 8), (8 + 10 = 18), (18 + 14 = 32), (32 + 18 = 50), (50 + 22 = 72), (72 + 26 = 98)

La solución ancestral para la ecuación x² + y² = z², (1.1)

El texto en negrilla fue traducido literalmente del libro "13 lectures on Fermat's last theorem" por Paulo Ribenboim. AMS classification (1.980): 10-03, 12-03, 12Axx

Sí (x, y, z) son enteros, diferentes de cero, que satisfacen (1.1)

Considerando los valores absolutos |x|, |y|, |z|, estos números son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

Para determinar todas las soluciones enteras no triviales de (1.1), basta determinar las llamadas ternas pitagóricas primitivas (x, y, z)

(x, y, z) > 0, mcd(x, y, z), x es par.

El siguiente teorema da una descripción completa de las denominadas ternas primitivas:

(1A) Si (u, v) son enteros diferentes de cero y de paridad diferente,

Si se cumple que: (x = 2·u·v), (y = u² - v²), (z = u² + v²). Entonces la terna (x, y, z) es denominada Pitagórica primitiva.

El siguiente texto, entre [], fue traducido del libro de Paulo Ribenboim "13 lectures on Fermat's last theorem". AMS clasificación (1.980): 10-03, 12-03, 12Axx.

[Las menores ternas primitivas ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores de z, son las siguientes:

(4, 3, 5), (12, 5, 13), (8, 15, 17),

(24, 7, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37),

Pierre de Fermat demostró el siguiente teorema: n > 0 es la suma de los cuadrados de dos números enteros Sí y solo si cada factor primo p de n, tales que p ≡ 3 (módulo 4), aparece como una potencia par en la descomposición de n en factores primos.

Para encontrar el número de representaciones de la suma de dos cuadrados. Si r(n) es el número de parejas de enteros (a, b) de manera que n = a² + b². Por ejemplo, r(1) = 4 y r(5) = 8. La determinación de r(n) en factores primos fue elaborada independientemente por Carl Friedrich Gauss y Karl Gustav Jacobi:

r(n) = 4·[d1(n) - d3(n)], donde:

[d1(n) = #{d | 1 ≤ d, d |n, d ≡ 1 (módulo 4)}

d3(n) = #{d | 1 ≤ d, d |n, d ≡ 3 (módulo 4)}]

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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Email: rubenmore@hotmail.com

Cartagena de Indias. Colombia.

Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Tecnológica de Bolivar.

Experto en procesos industriales de polimerización.

Bibliografía:

"13 lectures on Fermat's last theorem", Paulo Ribemboim.

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