Investigación transcendental sobre teoría de números elementales (tercera parte)

Las siguientes son las propiedades de la sumatoria:

f(p/q) =η/q² 
∑ i
i = λ/q²

Común denominador = q²

Numerador del primer término λ = (q + 1)/2

Numerador del último término η = (2·p + q - 1)/2

Numero de términos = p

En el ejemplo siguiente el denominador q, de la fracción generatriz, es par.

p/q = ⅚

Y = 2²·f¾ = 2²·3·(3 + 4)
2·4²
f¾ =3·7=3·(3 + 4)=21
2·4²2·4²32

λ = (q + 1)/2 = (4 + 1)/2 = 5/2

η = (2·p + q - 1)/2 = (2·3 + 4 - 1)·(2·3 + 4 - 1)/2 = 9/2

p/q = ¾

f¾ =5/2+7/2+9/2=21
16161632

Por lo tanto:

X = 2³·f(p/q) + 1 =2·p+ 1 =2·3+ 1 =5
q42
Y = 2²·f(p/q) =2·p·(p+ 1) =2·3·(3+ 1)
qq44
Y =3·(3+ 1) =21
248
Z = 2²·f(p/q) + 1 =2·p·(p+ 1) + 1
qq
Z =2·3·(3+ 1) + 1 =3·(3+ 1) 1 =21+ 1 =29
442488

Para la conformación de las ternas pitagóricas fraccionarias irracionales rigen los mismos parámetros que para la de las fraccionarias racionales:

Los siguientes son los tres casos posibles:

1) p es racional y q irracional

2) p es irracional y q racional

3) p y q son irracionales.

Para determinar el desarrollo de la sumatoria correspondiente al primer caso, cuando p es racional y q irracional, basta aplicar el método empleado cuando p y q son enteros, es decir p/q es racional.

Por ejemplo:

p=3⇒ λ =q + 1=5 + 1
q522

y

η =2·p + q - 1=5 + 5
22

El número de términos de la sumatoria es Nt = p = 3

f(3/5) =λ+λ + 1+λ + 2=
=(5 + 1) + (5 + 3) + (5 + 5)=9 + 3·5
2·52·5
Y =p·(p+ 1)
2·qq
Y =2·3·(3+ 1) =2·3·(3 + 5) =2·(9 + 5)
55555

Dado que:

Y = 2²·f(3/5) =2·(9 + 5)⇒ f(3/5) =9 + 5
52·5
∀ (p/q),p ∈ Φ:p·(p+ 1) = {n/q²

i = λ/q²
i} ⇒ Y = 2²·{n/q²

i = λ/q²
i} =2·p·(q+ 1)
2·qqqq

Para determinar el número de términos, que obviamente tiene que ser entero, si p es irracional y q racional, es necesario racionalizar p, de esta manera el caso se reduce al anterior.

Por ejemplo: p/q = 5/7, racionalizando p, resulta que p/q = 5/7 = 5·5/7·5 = 5/(7·5)

p=5=5⇒ λ =q + 1=5 + 1
q7522
η =2·p + q - 1=2·5 + 7·5 - 1=5 + 9
222
λ + 1 =5 + 1+ 1 =5 + 3
22
λ + 2 =5 + 3+ 1 =5 + 5
22
λ + 3 =5 + 5+ 1 =5 + 7
22
λ + 4 =5 + 7+ 1 =5 + 9
22

Nt = p = 5, entonces

f(5/7·5) =λ+λ + 1+λ + 2+λ + 3+λ + 4
f(5/7·5) =(7·5 + 1) + (7·5 + 3) + (7·5 + 5) + (7·5 + 7) + (7·5 + 9)
2·7²·5
f(5/7·5) =5 + 7·5
2·7²

Despejando Y, a partir de la fracción inicial 5/7, sin racionalizar 5:

Y =p·(p+ 1)
2·qq
Y =5·(5+ 1)
77
Y =5·5 + 7=2·(5 + 7)
77

Dado que Y = 2²·f(5/7), entonces

Y =5 + 7·5⇒ f(5/7) =5 + 7·5
2·7²

Por lo tanto,

∀ (p/q),p ∈ Φ:p·(p+ 1) = {n/q²

i = λ/q²
i} ⇒ Y = 2²·{n/q²

i = λ/q²
i} =2·p·(q+ 1)
2·qqqq

Email: rubenmore@hotmail.com

Cartagena de Indias. Colombia.

Ingeniero Industrial egresado de la Universidad Tecnológica de Bolivar.

Experto en procesos industriales de polimerización.

Bibliografía:

"13 lectures on Fermat's last theorem", Paulo Ribemboim.

Autor: Rubén Moré Argel. Ingeniero Industrial. Colombia.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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