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Propiedades de los polinomios AP01

Contenido: Valor numérico. Reducción de fracción algebraica. Trinomio cuadrado perfecto. Diferencia de cuadrados. Grado de un polinomio. Expresiones algebraicas ¿Qué es un polinomio? Ejemplos. ¿Cómo se hace la suma y resta de polinomios? ¿Cuál es el término independiente de un polinomio?

Polinomios

Valor numérico de una fracción algebraica

Valor numérico de una fracción algebraica, para determinados valores de sus indeterminadas, es el número que resulta al sustituir estas por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas. Cuando los dos términos de una fracción son polinomios en X, el hecho de que se anulen para un valor determinado A, significa que son divisibles por (X - A) y se puede simplificar la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción equivalente obtenida se llama verdadero valor de la fracción dada.

Ejemplo de cálculo del valor numérico

2·x²·y - 3·z³

Armamos una tabla de valores, asignamos números y resolvemos:

Valores asignados a las variablesValor numérico
xyz2·x²·y - 3·z³
111-1
0000
132-18

Reducción de fracción algebraica a mínimo común denominador:

Reducir a mínimo común denominador dos o más fracciones algebraicas, es hallar otras fracciones equivalentes a las primeras que tengan como denominador común. Se aplica factoreo o división.

Trinomio cuadrado perfecto:

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma a un binomio elevado al cuadrado.

(a ± b)² = (a ± b)·(a ± b) = a² ± 2·a·b + b²

Se caracteriza por:

a² ± 2·a·b + b² = (a ± b)²

El signo es como sigue:

a² + 2·a·b + b² = (a + b)²

a² - 2·a·b + b² = (a - b)²

Cuatrinomio cubo perfecto

Un cuatrinomio cubo perfecto es el resultado de aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma a un binomio elevado al cubo.

(a ± b)³ = (a ± b)·(a ± b)·(a ± b) = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Se caracteriza por:

a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³ = (a ± b)³

El signo es como sigue:

a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³ = (a + b)³

a³ - 3·a²·b + 3·a·b² - b³ = (a - b)³

Binomio diferencia de cuadrados:

Un binomio formado por la sustracción de dos cuadrados perfectos, se puede expresar como una multiplicación de dos factores; uno de ellos es la suma de las bases de los cuadrados y el otro es su diferencia.

a² - b² = (a + b)·(a - b)

Polinomios

Los polinomios son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2

Grado de un polinomio:

Por ejemplo, para el polinomio anterior:

Valor numérico de un polinomio:

Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones indicadas.

Con el polinomio de ejemplo hallamos el valor numérico para x = 2:

P(x) = 4·x² - 3·x³ + 5·x + 2

Reemplazamos las x por el valor 2:

P(2) = 4·2² - 3·2³ + 5·2 + 2

P(2) = 4·4 - 3·8 + 5·2 + 2

P(2) = 16 - 24 + 10 + 2

P(2) = 4

Para x = 2, el valor numérico del polinomio es 4.

Adición de polinomios:

Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Ejemplo, sumar los siguientes polinomios:

P(x) = 4·x² - x + 2

Q(x) = x³ + x - 1

Primero completamos los términos que faltan ordenados por grado:

P(x) = 0·x³ + 4·x² - x + 2

Q(x) = x³ + 0·x² + x - 1

Luego se suman los términos de igual grado (en un polinomio se suman los coeficientes):

P(x) =0·x³+ 4·x²- 1·x+ 2
Q(x) =+ 0·x²+ 1·x- 1
P(x) + Q(x) =+ 4·x²+ 0·x+ 1

P(x) + Q(x) = x³ + 4·x² + 1

Sustracción de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo, restar los polinomios del ejemplo anterior:

P(x) = 4·x² - x + 2

Q(x) = x³ + x - 1

Primero completamos los términos que faltan ordenados por grado:

P(x) = 0·x³ + 4·x² - x + 2

Q(x) = x³ + 0·x² + x - 1

Para restar hallamos el opuesto a Q(x) que es -Q(x):

-Q(x) = -1·(x³ + 0·x² + x - 1)

-Q(x) = - x³ - 0·x² - x + 1)

Luego se sumamos los términos de igual grado (en un polinomio se suman los coeficientes):

P(x) =0·x³+ 4·x²- 1·x+ 2
-Q(x) =- x³- 0·x²- 1·x+ 1
P(x) - Q(x) =- x³+ 4·x²- 2·x+ 3

P(x) - Q(x) = - x³ + 4·x² - 2·x + 3

Expresiones algebraicas:

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas.

Operaciones con fracciones algebraicas:

• Adición y sustracción:

• Multiplicación y división:

• Potenciación y radicación:

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