Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas.

• Monomio: es cualquier expresión algebraica cuyos elementos no están separados por los signos +, -
• Monomios semejantes: Son expresiones monómicas que tienen las mismas letras y los mismos exponentes
• Monomios iguales: Son monomios semejantes con coeficientes iguales
• Monomios opuestos: Son monomios semejantes con coeficientes opuestos

Clasificación de expresiones algebraicas

Racionales

Cuando alguna de las variables está afectada únicamente a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación o división.

Ejemplo:

Racional entera o polinomio

Cuando las variables solo están afectadas a las operaciones de adición, sustracción o multiplicación.

Ejemplo:

x² + 2·x + 1

Racional no entera

Cuando alguna de las variables forma parte de un divisor, es decir, cuando la variable está en el denominador.

Ejemplo:

Irracional

Si alguna de las variables está afectada al signo radical, es decir, que forma parte del radicando.

Ejemplo:

3·√x

Operaciones con fracciones algebraicas:

• Adición y sustracción:

La suma y diferencia de dos fracciones que tengan el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma o la diferencia de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común

• Multiplicación y división:

Se llama fracción producto a la fracción que tiene como numeradores y denominadores el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Antes de efectuar una multiplicación de fracciones algebraicas conviene simplificar los factores dividiendo los numeradores y los denominadores por factores comunes

• Potenciación y radicación:

La potencia de una fracción algebraica es igual a la potencia del numerador partida por la del denominador. La raíz de una fracción algebraica es igual a la raíz del numerador por la raíz del denominador.

Valor numérico de una fracción algebraica

Valor numérico de una fracción algebraica, para determinados valores de sus indeterminadas, es el número que resulta al sustituir estas por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas. Cuando los dos términos de una fracción son polinomios en X, el hecho de que se anulen para un valor determinado A, significa que son divisibles por (X - A) y se puede simplificar la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción equivalente obtenida se llama verdadero valor de la fracción dada.

Ejemplo de cálculo del valor numérico

2·x²·y - 3·z³

Armamos una tabla de valores, asignamos números y resolvemos:

Reducción de fracción algebraica a mínimo común denominador:

Reducir a mínimo común denominador dos o más fracciones algebraicas, es hallar otras fracciones equivalentes a las primeras que tengan como denominador común. Se aplica factoreo o división.

• Se reducen las fracciones lo más posible
• Se halla el m·c·m de los denominadores, obteniendo así el denominador común
• Para hallar el numerador de cada fracción, se divide el m.c.m por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente

Trinomio cuadrado perfecto:

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma a un binomio elevado al cuadrado.

(a ± b)² = (a ± b)·(a ± b) = a² ± 2·a·b + b²

Se caracteriza por:

• Se compone de 3 términos
• Dos de sus términos son cuadrados perfectos
• El otro término, con signo más o menos, es el doble del producto de las bases de los cuadrados anteriores

a² ± 2·a·b + b² = (a ± b)²

El signo es como sigue:

a² + 2·a·b + b² = (a + b)²

a² - 2·a·b + b² = (a - b)²

Cuatrinomio cubo perfecto

Un cuatrinomio cubo perfecto es el resultado de aplicar la propiedad distributiva respecto a la suma a un binomio elevado al cubo.

(a ± b)³ = (a ± b)·(a ± b)·(a ± b) = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Se caracteriza por:

• Se compone de 4 términos
• Dos de sus términos son cubos perfectos
• Los otros dos términos, con el signo que corresponda, cada uno es el triple del producto de una de las bases elevada al cuadrado por la otra base elavada a la primera potencia

a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³ = (a ± b)³

El signo es como sigue:

a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³ = (a + b)³

a³ - 3·a²·b + 3·a·b² - b³ = (a - b)³

Binomio diferencia de cuadrados:

Un binomio formado por la sustracción de dos cuadrados perfectos, se puede expresar como una multiplicación de dos factores; uno de ellos es la suma de las bases de los cuadrados y el otro es su diferencia.

a² - b² = (a + b)·(a - b)

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué es una expresión algebraica?