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Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones Lineales. AP03

Contenido: Aplicaciones Lineales. Teorema Rouche-Frobenius. Regla De Cramer. Sistemas Homogéneos. ¿Cuál es la regla de Cramer?

Sistemas de Ecuaciones

  • Concepto y representación
  • Resolución de sistemas
  • Tipos de sistemas
  • Teorema Rouche-Frobenius
  • Regla de Cramer
  • Sistemas homogéneos
  • Por descomposición L U

Concepto y representación

Llamaremos sistema de m ecuaciones con n-incógnitas a toda expresión:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2·n xn = b2

…………………

am1 x1 + am2 x2 + … + am n xn = bm

Donde:

aij ∈ K
bi ∈ K
xi

son los coeficientes
son los términos independientes
son las incógnitas

a) Se puede representar de forma Matricial:

A·X = B

Donde

A = Matriz de los coeficientes
x = Vector solución
B = Vector de Términos Independientes
A* = Resulta de añadir los términos independientes a la matriz A

b) También de forma Vectorial:

x1·A1 + x2·A2 + … + xn·An = B (Donde Ai son las columnas de A)

c) Como una Aplicación lineal

Sabiendo que toda matriz de dimensión m x n define una aplicación lineal f: Kn Km respecto de las bases canónicas de Kn y Km

Podemos entender un sistema de m ecuaciones y n-incógnitas, como una aplicación lineal coeficientes de las distintas incógnitas ∈ Kn

Simplificación

Si a un sistema de ecuaciones se le añade un número finito de ecuaciones lineales que son combinaciones lineales de las dadas, el nuevo sistema es equivalente al inicial.

Del mismo modo si eliminamos una ecuación que sea c.l. de otra se puede eliminar.

Solución del sistema

Si (α1, α2, …, αn) satisface las m ecuaciones decimos que α es el vector solución del sistema.

Según el número de soluciones un sistema puede ser:

Sistema homogéneo:

Si los términos independientes son cero

Sistema incompatible:

Si el sistema no tiene solucion

Sistema compatible

Determinado:
Indeterminado:

Si el sistema posee una una solucion
Si el sistema posee infinitas soluciones

Si dos sistema tienen las mismas soluciones son Equivalentes

Si A·x = b un sistema de ecuaciones podemos ver la matriz A como asociada a una aplicación lineal f.

Resolver el sistema es hallar f-1(b) = x + Ker f donde f(x) = b.

Ej.- Obtener una base del espacio vectorial solución del sistema:

x + 0·y + 0·z + 0·t = 0

x + 0·y - 1·z + a·t = 0

x = 0 ⇒ (x, y, z, t) = (0, y, 0, 0)

3·x + 0·y - 1·z + a·t = 0

 

t = 0

b·x + 0·y + 0·z + 1·t =

z = 0

La solución es < (0, 1, 0, 0) > que es base del espacio vectorial formado por las soluciones.

Teorema Rouche-Frobenius

Dado A·x = b un sistema de m ecuaciones con n-incógnitas, tiene solución si:

rango A = rango A* = n° de incógnitas (n)

rango A = rango A* < n° de incógnitas (n)

rango A < rango A*

S. C. Determinado

S. C. Indeterminado

S. Incompatible

Regla de Cramer

Dado un sistema compatible determinado, tenemos que:

Su expresión matricial es A X = B y al ser rg A = n ⇒ |A| ≠ 0 y además A tiene inversa A-1. Así pues:

A-1·A·X = A-1·B ⇒ I·X = A-1·B ⇒ X = A-1·B ⇒ X = (1/|A|·At)·B ⇒

⇒ xi = 1/|A|·(A1i b1 + A2i b2 + …+ An i bn)

De donde obtenemos la Regla de Cramer:

det(B, C2, C3, …, Cn)

 

det(C1, B, C3, …, Cn)

 

det(C1, C2, C3, …, B)

x1 =

,

x2 =

, ……

xn =

det |A|

 

det |A|

 

det |A|

Si el sistema es Compatible indeterminado podemos resolverlo por Cramer:

  • Pasamos una de las incógnitas a la matriz de los términos independientes en cada ecuacion.
  • Resolvemos el sistema por Cramer, y nos daran las soluciones en función de esa incognita.
  • Expresamos la solución en forma de envoltura lineal.

Ej.- Resolver el sistema

x + y + z = 1 por Cramer

x - y + 3·z = 3

Cambiamos z por λ y pasamos λ a la derecha

Resolvemos el sistema por Cramer y obtenemos:

x = -2·λ + 2 de modo que la solución es {(-2·λ + 2, -1 + λ, λ) ; λ ∈ R} ⇒ {(2, -1, 0) + (-2·λ, λ, λ); λ ∈ R}

y = -1 + λ

y por ultimo extrayendo λ tenemos que las infinitas soluciones del sistema son:

{(2, -1, 0) + < (-2, 1, 1) > }

Sistemas homogéneos

Un sistema homogéneo siempre posee, al menos, la solución trivial (x, y, z, t …) = (0, 0, 0 … 0).

Por el teorema de Rouche podemos afirmar que siempre es compatible, ya que Rg A = Rg A*. Ax = 0

Si rg A = rg A* = n es S.C. Determinado con la solución trivial como única solucion.

Si rg A = rg A* < n es S.C. Indeterminado cuyas soluciones son los valores que anulan la ecuacion.

Es decir, los valores de las incógnitas para los cuales f es cero (Ker f).

Un sistema homogéneo siempre se puede expresar con n ecuaciones con n-incógnitas. De modo que si faltan ecuaciones (ecuaciones < incógnitas) se añaden combinaciones lineales y si sobran (ecuaciones > incógnitas) entonces se eliminan porque alguna ecuación será c.l.

Ej.- Resolver el siguiente sistema homogéneo:

x + y + z = 0

2·x + 2·y +2·z = 0

x + y - z = 0

3·x + 3·y + z = 0

Primero eliminamos la segunda ecuación porque es proporcional a la primera.

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones homogéneos

Hallamos el determinante de A para saber el rango

Como C1 = C2 el rango es dos. Y al ser homogéneo Rg A = Rg A* = 2 < n-incógnitas ⇒ S.C.I

Si resolvemos el sistema por igualación tenemos x = - y por lo que la solución es {(x, -x, 0): ∈ R}

O lo que es lo mismo { < (1, -1, 0) > } = Ker (f) si tomamos el sistema como la ap. lineal f.

Método de Gauss

Consiste en transformar un sistema Ax = B en un sistema triangular Ux = c realizando operaciones elementales de Gauss en la matriz ampliada A*. El sistema triangular obtenido es equivalente al inicial.

Si al reducir por Gauss llegaramos a un absurdo como 0 = 1 el Sistema inicial era Incompatible.

Ej.- Resolvemos el sistema anterior por Gauss

x + y + z = 0

x + y - z = 0

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss

3·x + 3·y + z = 0

x + y + z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ x = -y

Solución: < (x, -x, 0) > ; x ∈ R

Por descomposición L U

Dado un sistema A·X = B siendo A una matriz cuadrada (incógnitas = ecuaciones) podemos encontrar la descomposición LU de la matriz A de modo que A = L.U.

A X = B ⇔ LU X = B ⇔ UX = Y

L Y = B

La solución se obtiene resolviendo dos sistemas triangulares, se resuelve LY = B y una vez tenemos el vector Y hallamos X, las componentes de X con las incógnitas x, y, z, t …

Este metodo es util para la resolución se sistemas simultáneos, es decir, que con una sola descomposición LU podemos hallar las soluciones de un mismo sistema para cualquier valor que tomen sus términos independientes (cambiando B).

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