Análisis Matemático

Derivadas: Derivadas de las funciones más usuales. Cálculo integral. (Primera parte)

DERIVADA DE UNA FUNCION (Primera parte)

CONTINUACION >>>

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: La derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0,y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0)) y
(x0 + h,f(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0, f(x0)).

Si α h es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0)),(x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0)), se verifica:

tg αh = [f(x0 + h) - f(x0)]/h

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, tg α h tiende a tg α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0)).

Esto se expresa matemáticamente así:

límite cuando h tiende a cero tg αh = límite cuando h tiende a cero [f(x0 + h) - f(x0)]/h = tg αh

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al límite, si existe y es finito (un número), límite cuando h tiende a cero [f(x0 + h) - f(x0)]/h y se simboliza por f´(x0) (f prima de equis subcero) o por D(f(x0)):

límite cuando h tiende a cero [f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0) = D(f(x0))

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

Puesto que

tg αh = límite cuando h tiende a cero [f(x0 + h) - f(x0)]/h = f´(x0),

la derivada de la función en un punto x0no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0,f(x0)).

Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

- Se pide el valor de f"(1) (en este caso, x0 = 1).

f´(1) = límite cuando h tiende a cero [f(1 + h) - f(1)]/h

f(1 + h) = 3.(1 + h) + 5 = 3.h + 8

f(1) = 3.1 + 5 = 8

f´(1) = límite cuando h tiende a cero [3.h + 8 - 8]/h

f´(1) = límite cuando h tiende a cero 3.h/h

f´(1) = límite cuando h tiende a cero 3 = 3

Por tanto, f´(1) = 3.

Calcular la derivada de la función f(x) = √x en el punto 2.

Resolución:

f´(2) = límite cuando h tiende a cero [f(2 + h) - f(2)]/h

f(2 + h) = √2 + h

f(2) = √2

f´(2) = límite cuando h tiende a cero [√2 + h - √2]/h

multiplicando numerador y denominador por √2 + h + √2 (conjugado del numerador)

f´(2) = límite cuando h tiende a cero [(√2 + h - √2).(√2 + h + √2)]/[h.(√2 + h + √2)]

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

(√2 + h - √2).(√2 + h + √2) = 2 + h - 2 = h

f´(2) = límite cuando h tiende a cero h/[h.(√2 + h + √2)]

f´(2) = límite cuando h tiende a cero 1/(√2 + h + √2)

f´(2) = 1/(√2 + 0 + √2) = 1/(√2 + √2) = 1/(2.√2)

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x² en el punto de abscisa 2.

Resolución:

- la tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

- la pendiente de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f´(2),luego la ecuación de la recta es de la forma y - 4 = f´(2) (x - 2).

f´(2) = límite cuando h tiende a cero [f(2 + h) - f(2)]/h

f´(2) = límite cuando h tiende a cero [(2 + h)² - (2)²]/h

f´(2) = límite cuando h tiende a cero (h² + 4.h)/h

f´(2) = límite cuando h tiende a cero (h + 4) = 4

La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4(x - 2) → y - 4 = 4x - 8 → 4x - y - 4 = 0.

Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

f(x) =

x² si x ≤ 1
x si x > 1

en los puntos x1 = 1 y x0 = 0

Resolución:

a) Derivabilidad en x1 = 1.

Se han de considerar dos casos:

- Si h > 0, 1 + h > 1 y en este caso f(x) = x. Por tanto:

DERIVADA DE UNA FUNCION

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.

Si h < 0, 1 + h ≤ 1, y en este caso f(x) = x².

DERIVADA DE UNA FUNCION

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x) no es derivable en x = 1.

b) Derivabilidad en x = 0.

En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es f(x) = x².

límite cuando h tiende a cero [f(0 + h) - f(0)]/h = límite cuando h tiende a cero [f(h) - 0]/h = límite cuando h tiende a cero h²/h = límite cuando h tiende a cero h = 0

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abscisas).

Estudiar la derivabilidad de la función f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por

f(x) = |x| =

x² si x ≥ 0
-x si x < 0

en el punto x0 = 0

Resolución:

DERIVADA DE UNA FUNCION

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho punto.

- ¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?

Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f´(x0).

Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, f(x0)), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.

Los puntos A, B, C, D y E de la gráfica de la ilustración son puntos angulosos: La curva cambia bruscamente de dirección en ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.

No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso,infinitos puntos.

2. La idea que hasta ahora se tenía de tangente a una curva como la recta que posee un único punto común con ella no es nada apropiada. Si esto fuese así la curva de la fig. 1 no tendría tangente en el punto P, mientras que la curva de la fig. 2 contaría con infinitas tangentes en Q.

Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.

Demostración:

Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que

límite cuando h tiende a cero [f(x0 + h) = f(x0)]/h,

o lo que es equivalente, que

límite cuando h tiende a cero [f(x0 + h) - f(x0)]/h = 0

Pero

f(x0 + h) - f(x0) = h.[f(x0 + h) - f(x0)]/h

Tomando límites cuando h tiende a 0.
límite cuando h tiende a cero [ f(x0 + h) - f(x0)] = límite cuando h tiende a ceroh.límite cuando h tiende a cero[f(x0 + h) - f(x0)]/h

de donde, por ser f(x) derivable, límite cuando h tiende a cero [ f(x0 + h) - f(x0)] = f´(x0).0 = 0, resultado al que se quería llegar.

Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

CALCULO DE DERIVADAS

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

f´(a) = límite cuando h tiende a cero [f(a + h) - f(a)]/h = límite cuando h tiende a cero 0/h = 0

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Si f(x) = C ⇒ f´(x) = 0

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,

[f(x + h) - f(x)]/h = [m.(x + h) - b - (m.x + b)]/h = m.h/h = m

y

límite cuando h tiende a cero m = m = f´(x)

lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Si f(x) = m.x + b ⇒ f´(x) = m

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

límite cuando h tiende a cero [k.f(x + h) - k.f(x)]/h =

k.límite cuando h tiende a cero [f(x + h) - f(x)]/h = k.f´(x) (sacando factor común k, ya que no depende de h)

Se ha demostrado que

(k · f(x))´ = k · f´(x)

Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función xm (m es un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0,hay que evaluar el cociente [(x + h)m - xm]/h.

Desarrollando por el binomio de Newton (x + h)m,
DERIVADA DE UNA FUNCION

Tomando límites cuando h → 0,

DERIVADA DE UNA FUNCION

Salvo el término DERIVADA DE UNA FUNCION, que no depende de h, el resto de los sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que

Si f(x) = xm ⇒ f´(x) = m.xm - 1

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = x² en el punto de abscisa - 1.

Resolución:

f´(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x

f´(- 1) = 2 · (- 1) = - 2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x² en x = - 1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f´(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g´(x) = - sen x

Las demostraciones son complejas y se pasan por alto.

Si f(x) = sen x ⇒ f´(x) = cos x

Si g(x) = cos x ⇒ g´(x) = -sen x

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y

x < 0:

a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

| x + h| = x + h y | x| = x
DERIVADA DE UNA FUNCION

Por tanto, si x > 0

DERIVADA DE UNA FUNCION

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

(ln |x + h| - ln |x|)/h = (1/h).{ln [-(x + h)] - ln (-x)} = (1/h).ln [-(x + h)/(-x)] = (1/h).ln [(x + h)/x]

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Si f(x) = ln x ⇒ f´(x) = 1/x

Derivadas de las funciones exponenciales ax y ex

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y´ = límite cuando h tiende a cero (ax + h - ax)/h = límite cuando h tiende a cero (ax.ah - ax)/h = límite cuando h tiende a cero ax.(ah - 1)/h = ax.límite cuando h tiende a cero (ah - 1)/h

Se hace el cambio ah - 1 = t → ah = t + 1

y se toman logaritmos neperianos:

ln ah = ln (t + 1) → h.ln a = ln (t + 1) → h = [ln (t + 1)]/ln a

Cuando h → 0, t → a° - 1 = 0 (t → 0)

Luego:

DERIVADA DE UNA FUNCION

= ax.ln a.(1/1) = ax.ln a

En particular, cuando la constante a es el número e,la derivada de la función ex es

(ex)´ = ex · ln e = ex · 1 = ex

Si f(x) = ax ⇒ f´(x) = ax.ln a

Si g(x) = ex ⇒ g´(x) = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario,alguna de estas operaciones podría no estar definida),

f: [a, b] → ℜ, g: [a, b] → ℜ se define

- Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ——→ ℜ,

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

- Función producto de f y g como la función f ·g: [a, b] ——→ ℜ,

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

Función cociente de f y g, (f/g):[a,b] → ℜ, (f/g)(x) = f(x)/g(x)

siempre que g(x) ≠ 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

límite cuando h tiende a cero [(f + g)(x + h) - (f + g)(x)]/h = límite cuando h tiende a cero [f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x)]/h = límite cuando h tiende a cero [f(x + h) - f(x) + g(x + h) - g(x)]/h

descomponiendo en suma de dos límites

límite cuando h tiende a cero [f(x + h) - f(x)]/h + límite cuando h tiende a cero [g(x + h) - g(x)]/h = f´(x) + g´(x)

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

[ f(x) + g(x)]´ = f´(x) + g´(x)

Derivada de una diferencia de funciones

f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]´ = f´(x) + (- g(x)

Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

[- g(x)]´ = [(- 1).g(x)]´ = (- 1).g´(x) = - g´(x)

En consecuencia,

[f(x) - g(x)]´ = f´(x) - g´(x)

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x

Resolución:

(x)´ = 1

→ f´(x) = 1 - (-sen x) = 1 + sen x

(cos x)´ = -sen x

Calcular la derivada de f(x) = x³ - sen x + ln| x| en el punto x = - π /3.

Resolución:

(x³)´ = 3.x²

→ f´(x) = 3.x² - cos x + 1/x

(sen x)´ = cos x

(ln |x|)´ = 1/x

Sustituyendo x por - π /3 se obtiene:

f´(- π /3) = π²/3 - 1/2 - 3/π

Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

[(f.g)(x + h) - (f.g)(x)]/h = [f(x + h).g(x + h) - f(x).g(x)]/h = (1)

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

(1) = [f(x + h).g(x + h) - f(x).g(x + h) + f(x).g(x + h) - f(x).g(x)]/h = (2)

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

(2) = {g(x + h).[f(x + h) - f(x)] + f(x).[g(x + h) - g(x)]}/h = g(x + h).[f(x + h) - f(x)]/h + f(x).[g(x + h) - g(x)]/h

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

límite cuando h tiende a cero g(x + h) = g(x)

pues g es continua en x ya que es derivable en x.

límite cuando h tiende a cero [f(x + h) - f(x)]/h = f´(x)

por definición de derivada.

límite cuando h tiende a cero f(x) = f(x)

al no depender f(x) de h.

límite cuando h tiende a cero [g(x + h) - g(x)]/h = g´(x)

por definición.

Por tanto, (f.g)´(x) = límite cuando h tiende a cero [(f.g)(x + h) - (f.g)(x)]/h = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)

(f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)

Ejercicio: cálculo de derivadas

Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.

Resolución:

Si se llama f(x) = x, f´(x) = 1

Si g(x) = ln x, g´(x) = 1/x

→ [f(x).g(x)]´ = 1.ln x + x.(1/x) = ln x + 1

Calcular la derivada de h(x) = (x²/2).sen x

Resolución:

Si f(x) = x², f´(x) = 2.x

Si g(x) = sen x, g´(x) = cos x

→ h(x)´ = (1/2).(2.x.sen x + x².cos x)

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

DERIVADA DE UNA FUNCION

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x),se obtiene:

(1) = {1/[g(x).g(x + h)]}.[f(x + h).g(x) - f(x).g(x) + f(x).g(x) - f(x).g(x + h)]/h = (2)

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

(2) = {1/[g(x).g(x + h)]}.{g(x).[f(x + h) - f(x)] - f(x).[g(x + h) - g(x)]}/h

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

límite cuando h tiende a cero g(x + h) = g(x)

por la continuidad de g en x al ser g derivable en dicho punto.

límite cuando h tiende a cero [f(x + h) - f(x)]/h = f´(x)

por definición de derivada.

límite cuando h tiende a cero [g(x + h) - g(x)]/h = g´(x)

por definición de derivada.

En definitiva,

DERIVADA DE UNA FUNCION

Ejercicio: cálculo de derivadas

1) Calcular la derivada de y = x - m = 1/xm (m es un número natural)

Resolución:

y´ = (0.xm - 1.m.xm - 1)/(xm)² = -m.(xm - 1)/(x2.m) = -m.xm - 1 - 2.m = -m.x-m - 1

Derivada de la función tg x

Puesto que tg x = sen x/cos x,

si f(x) = sen x, f´(x) = cos x

si g(x) = cos x, g´(x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

(tg x)´ = [cos x.cos x - sen x.(-sen x)]/cos² x = (cos² x + sen² x)/cos² x = cos² x/cos² x + sen² x/cos² x = 1 + tg² x

O bien, recordando la relación pitagórica sen² x + cos² x = 1,

(cos² x + sen² x)/cos² x = 1/cos² x = sec² x

Por tanto,

(tg x)´ = 1 + tg² x = sec² x = 1/cos² x

Derivada de la función sec x

sec x = 1/cos x

Si f(x) = 1, f´(x) = 0

Si g(x) = cos x, g´(x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)´ = [0.cos x - 1.(-sen x)]/cos² x = sen x/cos² x = sec x.tg x

(sec x)´ = sec x · tg x

Derivada de la función cosec x

cosec x = 1/sen x

Si f(x) = 1 , f´(x) = 0

Si g(x) = sen x, g´(x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

(cosec x)´ = (0.sen x - 1.cos x)/sen² x = -cos x/sen² x = -cosec x.cotg x

(cosec x)´ = - cosec x · cotg x

Derivada de la función cotg x

cotg x = 1/tg x = cos x/sen x

Si f(x) = cos x, f´(x) = - sen x

Si g(x) = sen x, g´(x) = cos x

(cotg)´ = [(-sen x).sen x - cos x.cos x]/sen² x = (-sen² x - cos² x)/sen² x = -sen² x/sen² x - cos² x/sen² x = -1 - cotg² x

O haciendo uso de sen² x + cos² x = 1, (-sen² x - cos² x)/sen² x = -1/sen² x = - cosec² x

Por tanto, (cotg)´ = -(1 + cotg² x) = - cosec² x = -1/sen² x

Ejercicio: cálculo de derivadas

1) Calcular la derivada de h(x) = (x.cos x - 2)/x²

Resolución:

- Llamando f(x) = x cos x - 2, f´(x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x (la derivada de 2 es cero por ser una constante)

- Si g(x) = x², g´(x) = 2 x

h´(x) = [(cos x - x.sen x).x² - (x.cos x - 2).2.x]/x4 = (-x.cos x - x².sen x + 4)/x³

2) Hallar la derivada de h(x) = (x.tg x - cos x)/ln x

Resolución:

- Si f(x) = x tg x - cos x, f´(x) = 1 · tg x + x(1 + tg² x) - (- sen x) = tg x + x.(1 + tg² x) + sen x

- Si g(x) = ln x → g´(x) = 1/x
h´(x) = [(tg x + x + x.tg² x + sen x).ln x - (x.tg x - cos x).1/x]/ln² x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como √x, para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

CONTINUACION >>>

Editor: Fisicanet ®

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet".

Por favor, “copia y pega” bien el siguiente enlace:

¡Gracias!

Fisicanet: Matemática, física, química, biología, historia, cultura y tecnología
TuGuitarra: Guitarras eléctricas. Guitarristas famosos. Video de la semana. Biografías y Tablaturas.
Recetas y Más: Sitio de gastronomía. Recetas de cocina. Comida saludable. Glosario. Calorías