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Derivada de una función (Segunda parte)

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función ƒ(x) = sen x es ƒ'(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g'(x) = - sen x

Las demostraciones son complejas y se pasan por alto.

Si ƒ(x) = sen x ⇒ ƒ'(x) = cos x

Si g(x) = cos x ⇒ g'(x) = -sen x

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a.

Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

|x + h| = x + h y |x| = x

Derivada de una función

Por tanto, si x > 0

Derivada de una función

b.

Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = -x.

(ln |x + h| - ln |x|)/h = (1/h)·{ln [-(x + h)] - ln (-x)} = (1/h)·ln [-(x + h)/(-x)] = (1/h)·ln [(x + h)/x]

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Si ƒ(x) = ln x ⇒ ƒ'(x) = 1/x

Derivadas de las funciones exponenciales ax y ex

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y' =   (ax + h - ax)/h =   (ax·ah - ax)/h =   ax·(ah - 1)/h = ax·  (ah - 1)/h

Se hace el cambio ah - 1 = t → ah = t + 1

Y se toman logaritmos neperianos:

ln ah = ln (t + 1) → h·ln a = ln (t + 1) → h = [ln (t + 1)]/ln a

Cuandoh → 0, t → a° - 1 = 0 (t → 0)

Luego:

Derivada de una función

= ax·ln a·(1/1) = ax·ln a

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es

(ex)' = ex·ln e = ex·1 = ex

Si ƒ(x) = ax ⇒ ƒ'(x) = ax·ln a

Si g(x) = ex ⇒ g'(x) = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si ƒ y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

ƒ:[a, b] → ℜ, g:[a, b] → ℜ se define

Siempre que g(x) ≠ 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si ƒ y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

  [(ƒ + g)(x + h) - (ƒ + g)(x)]/h =   [ƒ(x + h) + g(x + h) - ƒ(x) - g(x)]/h =   [ƒ(x + h) - ƒ(x) + g(x + h) - g(x)]/h

Descomponiendo en suma de dos límites

  [ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h +   [g(x + h) - g(x)]/h = ƒ'(x) + g'(x)

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

[ƒ(x) + g(x)]' = ƒ'(x) + g'(x)

Derivada de una diferencia de funciones

ƒ - g = ƒ + (-g), por lo que [ƒ(x) + (- g(x))]' = ƒ'(x) + (- g(x))'

Pero - g(x) = (- 1)·g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

[- g(x)]' = [(- 1)·g(x)]' = (- 1)·g'(x) = - g'(x)

En consecuencia,

[ƒ(x) - g(x)]' = ƒ'(x) - g'(x)

Ejemplos de cálculo de derivadas de diferencia de funciones

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de la función ƒ(x) = x - cos x

Solución

x' = 1→ ƒ'(x) = 1 - (-sen x) = 1 + sen x
(cos x)' = -sen x

Ejemplo n° 2

Calcular la derivada de ƒ(x) = x³ - sen x + ln |x| en el punto x = -π/3.

Desarrollo

Datos:

ƒ(x) = x³ - sen x + ln |x|

x = -π/3

Solución

(x³)' = 3·x²→ ƒ'(x) = 3·x² - cos x + 1/x
(sen x)' = cos x
(ln |x|)' = 1/x

Sustituyendo x por - π/3 se obtiene:

ƒ'(-π/3) = π²/3 - ½ - 3/π

Derivada de un producto de funciones

Sean ƒ y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

[(ƒ·g)(x + h) - (ƒ·g)(x)]/h = [ƒ(x + h)·g(x + h) - ƒ(x)·g(x)]/h = (1)

Si se suma y se resta en el numerador ƒ(x)·g(x + h), la fracción anterior no varía,

(1) = [ƒ(x + h)·g(x + h) - ƒ(x)·g(x + h) + ƒ(x)·g(x + h) - ƒ(x)·g(x)]/h = (2)

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y ƒ(x) en los otros dos,

(2) = {g(x + h)·[ƒ(x + h) - ƒ(x)] + ƒ(x)·[g(x + h) - g(x)]}/h = g(x + h)·[ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h + ƒ(x)·[g(x + h) - g(x)]/h

Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

  g(x + h) = g(x)Pues g es contínua en x ya que es derivable en x
  [ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h = ƒ'(x)Por definición de derivada
  ƒ(x) = ƒ(x)Al no depender ƒ(x) de h
  [g(x + h) - g(x)]/h = g'(x)Por definición

Por tanto, (ƒ·g)'(x) =   [(ƒ·g)(x + h) - (ƒ·g)(x)]/h = ƒ'(x)·g(x) + ƒ(x)·g'(x)

(ƒ·g)'(x) = ƒ'(x)·g(x) + ƒ(x)·g'(x)

Ejemplos de cálculo de derivadas de producto de funciones

Ejemplo n° 1

Hallar la derivada de h(x) = x·ln x para cualquier x positivo.

Desarrollo

Datos:

h(x) = x·ln x

x > 0

Solución

Si se llama ƒ(x) = x, ƒ'(x) = 1
Si g(x) = ln x, g'(x) = 1/x
→ [ƒ(x)·g(x)]' = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1

Ejemplo n° 2

Calcular la derivada de h(x) = (x²/2)·sen x

Solución

Si ƒ(x) = x², ƒ'(x) = 2·x
Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x
→ h(x)' = ½·(2·x·sen x + x²·cos x)

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones ƒ y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

[ƒ(x + h)/g(x + h) - ƒ(x)/g(x)]/h =

= [ƒ(x + h)·g(x) - ƒ(x)·g(x + h)]/[g(x)·g(x + h)·h] =

= {1/[g(x)·g(x + h)]}·{[ƒ(x + h)·g(x) - ƒ(x)·g(x + h)]/h} (1)

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador ƒ(x)·g(x), se obtiene:

(1) = {1/[g(x)·g(x + h)]}·[ƒ(x + h)·g(x) - ƒ(x)·g(x) + ƒ(x)·g(x) - ƒ(x)·g(x + h)]/h = (2)

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y ƒ(x) en los dos últimos,

(2) = {1/[g(x)·g(x + h)]}·{g(x)·[ƒ(x + h) - ƒ(x)] - ƒ(x)·[g(x + h) - g(x)]}/h

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

  g(x + h) = g(x)Por la continuidad de g en x al ser g derivable en dicho punto
  [ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h = ƒ'(x)Por definición de derivada
  [g(x + h) - g(x)]/h = g'(x)Por definición de derivada

En definitiva,

Derivada de un cociente de funciones

Ejemplo de cálculo de derivadas de cociente de funciones

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de y = x-m = 1/xm (m es un número natural)

Desarrollo

Datos:

y = x-m = 1/xm

m ∈ N

Solución

y' = (0·xm - 1·m·xm - 1)/(xm)² = -m·(xm - 1)/(x2·m) = -m·xm - 1 - 2·m = -m·x-m - 1

Derivada de la función tg x

Puesto que tg x = sen x/cos x,

Si ƒ(x) = sen x, ƒ'(x) = cos x

Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

(tg x)' = [cos x·cos x - sen x·(-sen x)]/cos² x = (cos² x + sen² x)/cos² x = cos² x/cos² x + sen² x/cos² x = 1 + tg² x

O bien, recordando la relación pitagórica sen² x + cos² x = 1,

(cos² x + sen² x)/cos² x = 1/cos² x = sec² x

Por tanto,

(tg x)' = 1 + tg² x = sec² x = 1/cos² x

Derivada de la función sec x

sec x = 1/cos x

Si ƒ(x) = 1, ƒ'(x) = 0

Si g(x) = cos x, g'(x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = [0·cos x - 1·(-sen x)]/cos² x = sen x/cos² x = sec x·tg x

(sec x)' = sec x·tg x

Derivada de la función cosec x

cosec x = 1/sen x

Si ƒ(x) = 1, ƒ'(x) = 0

Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = (0·sen x - 1·cos x)/sen² x = -cos x/sen² x = -cosec x·cotg x

(cosec x)' = - cosec x·cotg x

Derivada de la función cotg x

cotg x = 1/tg x = cos x/sen x

Si ƒ(x) = cos x, ƒ'(x) = - sen x

Si g(x) = sen x, g'(x) = cos x

(cotg x)' = [(-sen x)·sen x - cos x·cos x]/sen² x = (-sen² x - cos² x)/sen² x = -sen² x/sen² x - cos² x/sen² x = -1 - cotg² x

O haciendo uso de sen² x + cos² x = 1, (-sen² x - cos² x)/sen² x = -1/sen² x = - cosec² x

Por tanto, (cotg x)' = -(1 + cotg² x) = - cosec² x = -1/sen² x

Ejemplo de cálculo de la derivada de la función cotg x

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de h(x) = (x·cos x - 2)/x²

Solución

h'(x) = [(cos x - x·sen x)·x² - (x·cos x - 2)·2·x]/x4 = (-x·cos x - x²·sen x + 4)/x³

Ejemplo n° 2

Hallar la derivada de h(x) = (x·tg x - cos x)/ln x

Solución

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como x, para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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