Fisicanet ®

Derivada de una función (Segunda parte)

Cálculo de derivadas

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

f'(a) =lim
h → 0
f(a + h) - f(a)=lim
h → 0
0= 0
hh

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Si f(x) = C ⇒ f'(x) = 0

Derivada de la función lineal m·x + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = m·x + b. Para un punto cualquiera x,

f(x + h) - f(x)=m·(x + h) - b - (m·x + b)=m·h= m
hhh

y

lim
h → 0
m = f'(x)

Lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Si f(x) = m·x + b ⇒ f'(x) = m

Derivada de una constante por una función, k·f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k·f(x) será:

lim
h → 0
k·f(x + h) - k·f(x)= k·lim
h → 0
f(x + h) - f(x)= k·f'(x)
hh

Sacando factor común k, ya que no depende de h.

Se ha demostrado que

(k·f(x))' = k·f'(x)

Así, para derivar una expresión de la forma k·f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función xm (m es un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente [(x + h)m - xm]/h.

Desarrollando por el binomio de Newton (x + h)m,

(x + h)m - xm=
h
=(m
0
)·xm + (m
1
)·xm - 1·h + (m
2
)·xm - 2·h² +…+ (m
m
)·hm - xm=
h
=xm + (m
1
)·xm - 1·h +…+ (m
m
)·hm - xm=
h
= (m
1
)·xm - 1 + (m
2
)·xm - 2·h +…+ (m
m
)·hm - 1

Tomando límites cuando h → 0,

f'(x) =lim
h → 0
(x + h)m - xm=
h
=lim
h → 0
[(m
1
)·xm - 1 + (m
2
)·xm - 2·h +…+ (m
m
)·hm - 1]

Salvo el término:

(m
1
)·xm - 1 = m·xm - 1,

que no depende de h, el resto de los sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que:

Si f(x) = xm ⇒ f'(x) = m·xm - 1

Ejemplo de cálculo de la derivada de la función xm

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de f(x) = x² en el punto de abscisa - 1.

Desarrollo

Datos:

f(x) = x²

x = -1

Solución

f'(x) = 2·x2 - 1 = 2·x

f'(-1) = 2·(-1) = -2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x² en x = -1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f'(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g'(x) = -sen x

Las demostraciones son complejas y se pasan por alto.

Si f(x) = sen x ⇒ f'(x) = cos x

Si g(x) = cos x ⇒ g'(x) = -sen x

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a)

Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

|x + h| = x + h y |x| = x

ln |x + h| - ln |x|=ln (x + h) - ln x=
hh
=1·[ln (x + h) - ln x] =1·lnx + h= ln (x + h)1/h
hhxx

Por tanto, si x > 0

[ln (x)]' =lim
h → 0
ln (x + h)1/h = ln [lim
h → 0
(x + h)1/h
xx
[ln (x)]' == ln [lim
h → 0
(1 +h)1/h]
x

Llamando:

h/x = n, h = n·x

1=1=1·1
hn·xnx

Si h → 0, n → 0

[ln (x)]' = ln [lim
n → 0
(1 + n)1/n1/x] =
 

Recordando que:

lim
n → 0
(1 + n)1/n = e

[ln (x)]' = ln e1/x = (1/x)·ln e = 1/x

b)

Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = -(x + h) y |x| = -x.

(ln |x + h| - ln |x|)/h = (1/h)·{ln [-(x + h)] - ln (-x)} = (1/h)·ln [-(x + h)/(-x)] = (1/h)·ln [(x + h)/x]

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Si f(x) = ln x ⇒ f'(x) = 1/x

Derivadas de las funciones exponenciales ax y ex

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y' =lim
h → 0
ax + h - ax=lim
h → 0
ax·ah - ax
hh
y' =lim
h → 0
ax·(ah - 1)= ax·lim
h → 0
ah - 1
hh

Se hace el cambio ah - 1 = t → ah = t + 1

Y se toman logaritmos neperianos:

ln ah = ln (t + 1) → h·ln a = ln (t + 1) → h = [ln (t + 1)]/ln a

Cuandoh → 0, t → a° - 1 = 0 (t → 0)

Luego:

y' = ax·lim
t → 0
t= ax·lim
t → 0
ln a
ln (t + 1)(1/t)·ln (t + 1)
 ln a 
y' = ax·ln alim
t → 0
1
ln (t + 1)1/t

Pero:

lim
t → 0
ln (t + 1)1/t = lnlim
t → 0
(t + 1)1/t = ln e = 1

y' = ax·ln a·(1/1) = ax·ln a

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es

(ex)' = ex·ln e = ex·1 = ex

Si f(x) = ax ⇒ f'(x) = ax·ln a

Si g(x) = ex ⇒ g'(x) = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

¿Cuál es la derivada de una función?

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.