Derivada de una función (Segunda parte)

Cálculo de derivadas

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

f'(a) =lim
h → 0
f(a + h) - f(a)=lim
h → 0
0= 0
hh

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Si f(x) = C ⇒ f'(x) = 0

Derivada de la función lineal m·x + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = m·x + b. Para un punto cualquiera x,

f(x + h) - f(x)=m·(x + h) - b - (m·x + b)=m·h= m
hhh

y

lim
h → 0
m = f'(x)

Lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Si f(x) = m·x + b ⇒ f'(x) = m

Derivada de una constante por una función, k·f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k·f(x) será:

lim
h → 0
k·f(x + h) - k·f(x)= k·lim
h → 0
f(x + h) - f(x)= k·f'(x)
hh

Sacando factor común k, ya que no depende de h.

Se ha demostrado que

(k·f(x))' = k·f'(x)

Así, para derivar una expresión de la forma k·f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función xm (m es un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente [(x + h)m - xm]/h.

Desarrollando por el binomio de Newton (x + h)m,

(x + h)m - xm=
h
=(m
0
)·xm + (m
1
)·xm - 1·h + (m
2
)·xm - 2·h² +…+ (m
m
)·hm - xm=
h
=xm + (m
1
)·xm - 1·h +…+ (m
m
)·hm - xm=
h
= (m
1
)·xm - 1 + (m
2
)·xm - 2·h +…+ (m
m
)·hm - 1

Tomando límites cuando h → 0,

f'(x) =lim
h → 0
(x + h)m - xm=
h
=lim
h → 0
[(m
1
)·xm - 1 + (m
2
)·xm - 2·h +…+ (m
m
)·hm - 1]

Salvo el término:

(m
1
)·xm - 1 = m·xm - 1,

que no depende de h, el resto de los sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que:

Si f(x) = xm ⇒ f'(x) = m·xm - 1

Ejemplo de cálculo de la derivada de la función xm

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de f(x) = x² en el punto de abscisa - 1.

Desarrollo

Datos:

f(x) = x²

x = -1

Solución

f'(x) = 2·x2 - 1 = 2·x

f'(-1) = 2·(-1) = -2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x² en x = -1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f'(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g'(x) = -sen x

Las demostraciones son complejas y se pasan por alto.

Si f(x) = sen x ⇒ f'(x) = cos x

Si g(x) = cos x ⇒ g'(x) = -sen x

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.

Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:

a)

Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

|x + h| = x + h y |x| = x

ln |x + h| - ln |x|=ln (x + h) - ln x=
hh
=1·[ln (x + h) - ln x] =1·lnx + h= ln (x + h)1/h
hhxx

Por tanto, si x > 0

[ln (x)]' =lim
h → 0
ln (x + h)1/h = ln [lim
h → 0
(x + h)1/h
xx
[ln (x)]' = ln [lim
h → 0
(1 +h)1/h]
x

Llamando:

h/x = n, h = n·x

1=1=1·1
hn·xnx

Si h → 0, n → 0

[ln (x)]' = ln [lim
n → 0
(1 + n)1/n1/x] =
 

Recordando que:

lim
n → 0
(1 + n)1/n = e

[ln (x)]' = ln e1/x = (1/x)·ln e = 1/x

b)

Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = -(x + h) y |x| = -x.

(ln |x + h| - ln |x|)/h = (1/h)·{ln [-(x + h)] - ln (-x)} = (1/h)·ln [-(x + h)/(-x)] = (1/h)·ln [(x + h)/x]

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Si f(x) = ln x ⇒ f'(x) = 1/x

Derivadas de las funciones exponenciales ax y ex

Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y' =lim
h → 0
ax + h - ax=lim
h → 0
ax·ah - ax
hh
y' =lim
h → 0
ax·(ah - 1)= ax·lim
h → 0
ah - 1
hh

Se hace el cambio ah - 1 = t → ah = t + 1

Y se toman logaritmos neperianos:

ln ah = ln (t + 1) → h·ln a = ln (t + 1) → h = [ln (t + 1)]/ln a

Cuandoh → 0, t → a° - 1 = 0 (t → 0)

Luego:

y' = ax·lim
t → 0
t= ax·lim
t → 0
ln a
ln (t + 1)(1/t)·ln (t + 1)
 ln a 
y' = ax·ln alim
t → 0
1
ln (t + 1)1/t

Pero:

lim
t → 0
ln (t + 1)1/t = lnlim
t → 0
(t + 1)1/t = ln e = 1

y' = ax·ln a·(1/1) = ax·ln a

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es

(ex)' = ex·ln e = ex·1 = ex

Si f(x) = ax ⇒ f'(x) = ax·ln a

Si g(x) = ex ⇒ g'(x) = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

¿Cuál es la derivada de una función?

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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