Matemática - Probabilidades y estadísticas

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Apunte de Probabilidades y estadísticas: Análisis de Regresión y Correlación. Relación funcional entre dos variables. Relación estadística entre dos variables. Análisis de Correlación. Diagrama de Dispersión. Coeficiente de correlación lineal. Modelos de Regresión. Estimación de la ecuación de Regresión Simple.

Análisis de Regresión y Correlación

Introducción

Muchas veces las decisiones se basan en la relación entre dos o más variables.Ejemplos

Dosis de fertilizantes aplicadas y rendimiento del cultivo.

La relación entre la radiación que reciben los sensores con la que se predicen los rendimientos por  parcelas con los rendimientos reales observados en dichas parcelas.

Relación entre tamaño de un lote de producción y horas -hombres utilizadas para realizarlo.

Distinguiremos entre relaciones funcionales y relaciones estadísticas

Relación funcional entre dos variables

Una relación funcional se expresa mediante   una función matemática.

Si X es la variable independiente e Y es la variable dependiente, una relación funcional tiene la forma:

Y=f(X)

Ejemplo 1

Parcela	Dosis	Rendimiento(kg/h)
1 2 3	75 25 130	150 50 260

Figura 1

Relación funcional perfecta entre dosis y rendimientos

Nota: Las observaciones caen exactamente sobre la línea de relación funcional

Relación estadística entre dos variables

A diferencia de la relación funcional, no es una relación perfecta, las observaciones no caen exactamente sobre la curva de relación entre las variables

Ejemplo 2

Lote de productos	Tamaño del lote	Horas hombre
1 2 3 4 5	30 20 60 80 40	73 50 128 170 87

Figura 2

Relación estadística entre tamaño del lote y horas hombre

Nota: La mayor parte de los punto no caen directamente sobre la línea de relación estadística.

Esta dispersión de punto alrededor de la línea representa la variación aleatoria

Figura 3

Coordenadas de puntos de control utilizados para corregir la columna de los niveles digitales de una imagen satelital

Nota: se trata de un terreno rugoso donde varían notablemente las condiciones de observación del sensor, para corregir errores geométricos de la imagen, se aplican  funciones de segundo grado. Los datos sugieren que la relación estadística es de tipo curvilínea.

Conceptos básicos

Análisis de Regresión: Es un procedimiento estadístico que estudia la relación funcional entre variables.Con el objeto de predecir una en función de la/s otra/s.

Análisis de Correlación: Un grupo de técnicas estadísticas usadas para medir la intensidad de la relación entre dos variables

Diagrama de Dispersión: Es un gráfico que muestra la intensidad y el sentido de la relación entre dos variables de interés.

Variable dependiente (respuesta, predicha, endógena): es la variable que se desea predecir o estimar

Variables independientes (predictoras, explicativas exógenas). Son las variables que proveen las bases para estimar.

Regresión simple: interviene una sola variable independiente

Regresión múltiple: intervienen dos o más variables independientes.

Regresión lineal: la función es una combinación lineal de los parámetros.

Regresión no lineal: la función que relaciona los parámetros no es una combinación lineal

Gráfico de dispersión

Los diagramas de dispersión no sólo muestran la relación existente entre variables, sino también resaltan las observaciones individuales que se desvían de la relación general. Estas observaciones son conocidas como outliers o valores inusitados, que son puntos de los datos que aparecen separados del resto.

 Gráfico de dispersión entre Bandas

Coeficiente de correlación lineal

El Coeficiente de Correlación (r) requiere variables medidas en escala de intervalos o de proporciones

- Varía entre -1 y 1.

- Valores  de -1 ó 1 indican correlación perfecta.

- Valor igual a 0 indica ausencia de correlación.

- Valores negativos indican una relación lineal inversa y valores positivos indican una relación lineal directa

Correlación Negativa Perfecta

Correlación Positiva Perfecta

Ausencia de Correlación

Correlación Fuerte y Positiva

Fórmula para el coeficente de  correlación (r)  Pearson

Modelos de Regresión

Un modelo de regresión, es una manera de expresar dos ingredientes esenciales de una relación estadística:

- Una tendencia de la variable dependiente Y a variar conjuntamente con la variación de la o las X de una manera sistemática

- Una dispersión de las observaciones alrededor de la curva de relación estadística

Estas dos características están implícitas en un modelo de regresión, postulando que:

- En la población de observaciones asociadas con el proceso que fue muestreado, hay una distribución de probabilidades de Y para cada nivel de X.

- Las medias de estas distribuciones varían de manera sistemática al variar X.

Representación gráfica del modelo de Regresión Lineal

Nota: en esta figura se muestran las distribuciones de probabilidades de Y para distintos valores de X

Análisis de Regresión

• Objetivo: determinar la ecuación de regresión para predecir los valores de la variable dependiente (Y) en base a la o las variables independientes (X).

• Procedimiento: seleccionar una muestra a partir de la población, listar pares de datos para cada observación; dibujar un diagrama de puntos para dar una imagen visual de la relación; determinar la ecuación de regresión.

Supuestos de Regresión Lineal Clásica

• Cada error está normalmente distribuido con:

- Esperanza de los errores igual a 0

- Variancia de los errores igual a una constante σ².

- Covariancia de los errores nulas para todo  i ≠ Ψ

Proceso de estimación de la regresión lineal simple

Modelo de regresión y = β0+ β1x + ε Ecuación de regresión E(y) = β0+ β1x Parámetros desconocidos β0.β1	Datos de la muestra x y x1 x2 . . . xn y1 y2 . . . yn
b0 y b1 proporcionan estimados β0 y β1	Ecuación estimada de regresión y = b0+b1x Estadísticos de la muestra b0.b1

Líneas posibles de regresión en la regresión lineal simple

Sección A

Relación lineal positiva

Sección C

No hay relación

Sección B

Relación lineal negativa

Estimación de la ecuación de Regresión Simple

Y´ = a + b.X, donde:

- Y´ es el valor estimado de Y para distintos X.

- a es la intersección  o el valor estimado de  Y cuando X=0

- b es la pendiente de la línea, o el cambio promedio de Y´ para cada cambio en una unidad de X

- el principio de mínimos cuadrados es usado para obtener  a y b:

a = (∑Y)/n - b.(∑X)/n

Mínimos cuadrados - Supuestos

El modelo de regresión es lineal en los parámetros.

Los valores de X son fijos en muestreo repetido.

El valor medio de la perturbación εi es igual a cero.

Homocedasticidad o igual variancia de ε_i.

No autocorrelación entre las perturbaciones.

La covariancia entre ε_i y X_i es cero.

El número de observaciones n debe ser mayor que el número de parámetros a estimar.

Variabilidad en los valores de X.

El modelo de regresión está correctamente especificado.

No hay relaciones lineales perfectas entre las explicativas.

Estimación de la variancia de los términos del error (σ²)

Debe ser estimada por varios motivos

Para tener una indicación de la variabilidad de las distribuciones de probabilidad de Y.

Para realizar inferencias con respecto a la función de regresión y la predicción de Y.

La lógica del desarrollo de  un estimador de σ² para el modelo de regresión es la misma que cuando se muestrea una sola población

La variancia de cada observación Yi es σ²,la misma que la de cada término del error

Dado que los Y_i provienen de diferentes distribuciones de probabilidades con medias diferentes que dependen del nivel de X, la desviación de una observación Y_i debe ser calculada con respecto a su propia media estimada Y_i.

Y_i - Ŷ_i = e_i

Por tanto, las desviaciones son los residuales

Y la suma de cuadrados es:

La suma de cuadrados del error, tiene n-2 grados de libertad asociados con ella, ya que se tuvieron que estimar dos parámetros.

Por lo tanto, las desviaciones al cuadrado dividido por los grados de libertad, se denomina cuadrados medios

Donde CM es el Cuadrado medio del error o cuadrado medio residual. Es un estimador insesgado de σ²

Análisis de Variancia en el análisis de regresión

El enfoque desde el análisis de variancia se basa en la partición de sumas de cuadrados y grados de libertad asociados con la variable respuesta Y.

La variación de los Y_i se mide convencionalmente en términos de las desviaciones

(Y_i - Y_i)

La medida de la variación total SC _tot, es la suma de las desviaciones al cuadrado

∑(Y_i - Y_i)²

Desarrollo formal de la partición

Consideremos la desviación

(Y_i - Y_i)

Podemos descomponerla en

(Yi - Y)	=	(Ŷi - Y)	+	(Yi - Ŷi)
T		R		E

 

(T):   desviación total

(R): es la desviación del valor ajustado por la  regresión con respecto a la media general

(E):   es la desviación de la observación con respecto a la línea de regresión

Si consideremos todas las observaciones y elevamos al cuadrado para que los desvíos no se anulen

∑(Yi - Y)²	=	∑(Ŷi - Y)²	+	∑(Yi - Ŷi)²
SC tot		SC reg		SCer

(SC _tot): Suma de cuadrados total

(SC _reg): Suma de cuadrados de la regresión

(SCer):  Suma de cuadrados del error

Dividiendo por los grados de libertad, (n-1), (k) y

(n-2), respectivamente cada suma de cuadrados, se obtienen los cuadrados medios del análisis de variancia.

Coeficiente de Determinación

Coeficiente de Determinación, R2 - es la proporción de la variación total en la variable dependiente Y que es explicada o contabilizada por la variación en la variable independiente X.

- El  coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de correlación, y varia entre 0 y 1.

Cálculo del R² a través de la siguiente fórmula

R² = [∑(Ŷ_c - Y)²]/[∑(Ŷ_o - Y)²]

Inferencia en Regresión

Los supuestos que establecimos sobre los errores nos permiten hacer inferencia sobre los parámetros de regresión  (prueba de hipótesis e intervalos de confianza), ya que los estimadores de β₀ y β₁ pueden cambiar su valor si cambia la muestra.

Por lo tanto debemos conocer la distribución de los estimadores para poder realizar prueba de hipótesis e intervalos de confianza

Ejemplo

Se desean comparar los rendimientos predichos a partir de  la información obtenida por 3 sensores sobre los rendimientos reales por parcelas de lotes de  maíz.  Los rendimientos (Y) y el los rindes predichos de 4 sensores se presentan a continuación

¿Qué sensor refleja mejor el rendimiento de esa zona?

Descripción Gráfica y cuantitativa de la relación entre cada sensor y el rendimiento

Y = 338.71*X - 4.87

R² = 0.32

Y = 155.37*X - 13.25

R² = 0.57

Y = -1004.34*X +112.24

R² = 0.44