Análisis Matemático

Límites: Definición de límites en varias variables. Continuidad.

LIMITES

DEFINICION: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm y aun punto de acumulación de U. Entonces se dice que:

Límites f(X) = l ∈ ℜm

si:

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 /x ∈ U, 0 < d(x, a) < δ → d(f(x), f) < ε

Gráficamente podemos verlo así: Siempre existe un Δtal que las imágenes de la parte de la bola de centro a y radio Δ que pertenece a U pertenecen a una bola de radio ε con centro en f.

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

Ejemplo:

Demostrar que

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

d(f(x,y),2) < ε ⇔ d((x,y)(0,0)) < δ

d(f(x,y),2) = |f(x,y) - 2| =

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

como

(x² + y²)½ < δ ⇒ |y| ≤ δ

d(f(x,y),2) ≤ 2.|y| ≤ 2.δ

δ = ε/2

Con lo que queda comprobado.

DEFINICION: Decimos que el límite de f(x) es infinito si:

Límites f(X) = ∞ ⇔ ∀ K > 0 ∃ δ > 0/x ∈ U, (0 < (d(x,a)) < δ) → d(f(x),0) > K

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a a, la distancia de la función al cero es muy grande.

DEFINICION: Si E ⊂ ℜn es un contorno de a∈ ℜn es, llamamos ENTORNO PERFORADO de aa E - {a} PROPIEDADES:

1) Si f(x) tiene límite en a, este es único.

2) Si f(x),g(x): ℜn → ℜm tienen límites f1, f2 en a respectivamente, entonces:

Límites [f(x) ± g(x)] = l1 ± l2

3) Si f(x),g(x): ℜn → ℜm tienen límites f1, f2 en a respectivamente, entonces:

Límites [f(x).g(x)] = l1.l2

4) Si además g(x) ≠ 0 en un entorno perforado de ay l2 ≠ 0, entonces:

Límites [f(x)/g(x)] = l1/l2

OBSERVACION: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como acercarnos al punto. Hay muchas maneras (por rectas, parábolas, cúbicas, etc). Pero como el límite ha de ser siempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos de acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.

Ejemplo:

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

Nos acercamos por una trayectoria recta:

y = m.x

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista; solo dice que si existiera debería ser ese.

Ejemplo:

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

Si f(x) tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

y = x² - x³

LIMITES EN VARIAS VARIABLES

Luego el límite no existe.

PROPOSICION: Sea f(x): U ⊂ ℜn → ℜm, f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)), y sea l = Límites f(X),

f = (l1, l2, ...,lm)∈ ℜm

Entonces

Límites f(X) = lLímites fi(X) = li i = 1,...,m

TEOREMA (Del Sandwich): Supongamos que tenemos f,g,h: U ⊂ ℜn → R, y sea a un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de a tal que g(x)≤ f(x) ≤ h(x)∀x ∈ (E - {a})∩ U y se verifica que:

Límites g(X) = Límites h(X) = l

Entonces:

Límites f(X) = l

Ejemplo:

LIMITES EN VARIAS VARIABLES
OBSERVACION: Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.

Ejemplo:

1) LIMITES EN VARIAS VARIABLES
LIMITES EN VARIAS VARIABLES

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2) LIMITES EN VARIAS VARIABLES
LIMITES EN VARIAS VARIABLES

Por el teorema del Sandwich

0

0

≤ |r².cos θ.sen³ θ| ≤

0



0

CONTINUIDAD

DEFINICION: Decimos que f: U ⊂ ℜn → ℜm es continua en a, punto de acumulación de U, si:

1) Existe f(a)

2) Existe y es finito Límites f(X)

3) Límites f(X) = f(a)

PROPIEDADES:

1) Si f,g: ℜn → ℜm son continuas en a, entonces f ± g es continua en a

2) Si f, g:ℜn → R son continuas en a, entonces f.g es continua en a

3) Si además g(a) ≠ 0, entonces f/g es continua en a

PROPOSICION: f = (f1,...,fm): ℜn → ℜm es continua en a si y solo si f1:Rn → R son continuas en a para i = 1,...,m.

Editor: Fisicanet ®

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