Análisis Matemático - Límites

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Apunte de Límites: Límites en varias variables.

LIMITES

DEFINICION: Sea f: U Ì Rⁿ ® R^m y aun punto de acumulación de U. Entonces se dice que:

f(X) = l Î Â^m

si:

" ε > 0, $ δ > 0 /x Î U, 0 < d(x, a) < δ ® d(f(x), f) < ε

Gráficamente podemos verlo así: Siempre existe un Δtal que las imágenes de la parte de la bola de centro a y radio Δ que pertenece a U pertenecen a una bola de radio ε con centro en f.

Ejemplo:

Demostrar que

d(f(x,y),2) < ε Û d((x,y)(0,0)) < δ

d(f(x,y),2) = |f(x,y) - 2| =

como

(x ² + y ²)^½ < δ Þ |y| ≤ δ

d(f(x,y),2) ≤ 2.|y| ≤ 2.δ

δ = ε/2

Con lo que queda comprobado.

DEFINICION: Decimos que el límite de f(x) es infinito si:

f(X) = ∞ Û " K > 0 $ δ > 0/x Î U, (0 < (d(x,a)) < δ) ® d(f(x),0) > K

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a a, la distancia de la función al cero es muy grande.

DEFINICION: Si E Ì Rⁿ es un contorno de aÎ Rⁿ es, llamamos ENTORNO PERFORADO de aa E - {a} PROPIEDADES:

1) Si f(x) tiene límite en a, este es único.

2) Si f(x),g(x): Rⁿ ® R^m tienen límites f₁, f₂ en a respectivamente, entonces:

[f(x) ± g(x)] = l₁ ± l₂

3) Si f(x),g(x): Rⁿ ® R^m tienen límites f₁, f₂ en a respectivamente, entonces:

[f(x).g(x)] = l₁.l₂

4) Si además g(x) ≠ 0 en un entorno perforado de ay l₂ ≠ 0, entonces:

[f(x)/g(x)] = l₁/l₂

OBSERVACION: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como acercarnos al punto. Hay muchas maneras (por rectas, parábolas, cúbicas, etc). Pero como el límite ha de ser siempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos de acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.

Ejemplo:

Nos acercamos por una trayectoria recta:

y = m.x

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista; solo dice que si existiera debería ser ese.

Ejemplo:

Si f(x) tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

y = x ² - x³

Luego el límite no existe.

PROPOSICION: Sea f(x): U Ì Rⁿ ® R^m, f(x) = (f₁(x), f₂(x), ..., f_m(x)), y sea l = f(X),

f = (l₁, l₂, ...,l_m)Î R^m

Entonces

f(X) = l Û f_i(X) = l_i i = 1,...,m

TEOREMA (Del Sandwich): Supongamos que tenemos f,g,h: U Ì Rⁿ ® R, y sea a un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de a tal que g(x)≤ f(x) ≤ h(x)"x Î (E - {a})∩ U y se verifica que:

g(X) = h(X) = l

Entonces:

f(X) = l

Ejemplo:

OBSERVACION: Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.

Ejemplo:

1)

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2)

Por el teorema del Sandwich

0 ¯ 0

≤ |r ².cos θ.sen³ θ| ≤ ¯ 0

r ² ¯ 0

CONTINUIDAD

DEFINICION: Decimos que f: U Ì Rⁿ ® R^m es continua en a, punto de acumulación de U, si:

1) Existe f(a)

2) Existe y es finito f(X)

3) f(X) = f(a)

PROPIEDADES:

1) Si f,g: Rⁿ ® R^m son continuas en a, entonces f ± g es continua en a

2) Si f, g:Rⁿ ® R son continuas en a, entonces f.g es continua en a

3) Si además g(a) ≠ 0, entonces f/g es continua en a

PROPOSICION: f = (f₁,...,f_m): Rⁿ ® R^m es continua en a si y solo si f₁:Rn ® R son continuas en a para i = 1,...,m.