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Límites en varias variables

Proposición:

Sea f(x): U ⊂ ℜn → ℜm, f(x) = (f1(x), f2(x), …, fm(x)),

y sea l =lim
x → a
f(X),

f = (l1, l2, …, lm) ∈ ℜm

Entonces

lim
x → a
f(X) = llim
x → a
fi(X) = li i = 1, …, m

Teorema (del Sandwich):

Supongamos que tenemos f, g, h:U ⊂ ℜn → ℜ, y sea ā un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de ā tal que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ (E - {ā}) ∩ U y se verifica que:

lim
x → a
g(X) =lim
x → a
h(X) = l

Entonces:

lim
x → a
f(X) = l

Ejemplo n° 4

Cálculo del límite

Observación:

Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.

Ejemplo n° 5

1)lim
(x, y) → (0, 0)
x² - y²
x² + y²
lim
r → 0
(r·cos θ)² - (r·sen θ)²=
=lim
r → 0
r²·cos² θ - r²·sen² θ=
=lim
r → 0
r²·(cos² θ - sen² θ)=
=lim
r → 0
cos² θ - sen² θ=
1
=lim
r → 0
cos² θ - sen² θ

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2)lim
(x, y) → (0, 0)
x·y³
x² + y²
lim
r → 0
(r·cos θ)·(r·sen θ)³=
lim
r → 0
r·cos θ·r³·sen³ θ=
lim
r → 0
r4·cos θ·sen³ θ=
lim
r → 0
r²·cos θ·sen³ θ=
1
lim
r → 0
r²·cos θ·sen³ θ= 0 ∀ θ ∈ [0, 2·π]

Por el teorema del Sandwich

0

0
≤ |r²·cos θ·sen³ θ| ≤

0


0

Continuidad

Definición:

Decimos que f: U ⊂ ℜn → ℜm es contínua en ā, punto de acumulación de U, si:

Existe f(ā)

Existe y es finitolim
x → a
f(X)
lim
x → a
f(X) = f(ā)

Propiedades:

1) Si f, g:ℜn → ℜm son continuas en ā, entonces f ± g es contínua en ā

2) Si f, g:ℜn → ℜ son continuas en ā, entonces f·g es contínua en ā

3) Si además g(ā) ≠ 0, entonces f/g es contínua en ā

• Proposición:

f = (f1, …, fm): ℜn → ℜm es contínua en ā si y solo si f1:Rn → ℜ son continuas en ā para i = 1, …, m.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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