Teorema del Sandwich
Proposición:
Sea f(x): U ⊂ ℜn ⟶ ℜm, f(x) = (f1(x), f2(x), …, fm(x)),
| y sea l = | lim x ⟶ a | f(X), |
f = (l1, l2, …, lm) ∈ ℜm
Entonces
| lim x ⟶ a | f(X) = l ⇔ | lim x ⟶ a | fi(X) = li i = 1, …, m |
Teorema (del Sandwich):
Supongamos que tenemos f, g, h:U ⊂ ℜn ⟶ ℜ, y sea ā un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de ā tal que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ (E - {ā}) ∩ U y se verifica que:
| lim x ⟶ a | g(X) = | lim x ⟶ a | h(X) = l |
Entonces:
| lim x ⟶ a | f(X) = l |
Ejemplo n° 4
| lim (x, y) ⟶ (0, 0) | (2·x² + y)·sen | 1 x² + 2·y² |
| 0 ≤ | | (2·x² + y)·sen | 1 x² + 2·y² | | ≤ |2·x² + y| |
| ↓ 0 | ↓ 0 | ↓ 0 | |
Observación:
Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.
Ejemplo n° 5
| 1) | lim (x, y) ⟶ (0, 0) | x² - y² |
| x² + y² |
| lim r ⟶ 0 | (r·cos θ)² - (r·sen θ)² | = |
| r² |
| = | lim r ⟶ 0 | r²·cos² θ - r²·sen² θ | = |
| r² |
| = | lim r ⟶ 0 | r²·(cos² θ - sen² θ) | = |
| r² |
| = | lim r ⟶ 0 | cos² θ - sen² θ | = |
| 1 |
| = | lim r ⟶ 0 | cos² θ - sen² θ |
Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.
| 2) | lim (x, y) ⟶ (0, 0) | x·y³ |
| x² + y² |
| lim r ⟶ 0 | (r·cos θ)·(r·sen θ)³ | = |
| r² |
| lim r ⟶ 0 | r·cos θ·r³·sen³ θ | = |
| r² |
| lim r ⟶ 0 | r4·cos θ·sen³ θ | = |
| r² |
| lim r ⟶ 0 | r²·cos θ·sen³ θ | = |
| 1 |
| lim r ⟶ 0 | r²·cos θ·sen³ θ | = 0 ∀ θ ∈ [0, 2·π] |
Por el teorema del Sandwich
| 0 ↓ 0 | ≤ |r²·cos θ·sen³ θ| ≤ ↓ 0 | r² ↓ 0 |
Continuidad
Definición:
Decimos que f: U ⊂ ℜn ⟶ ℜm es contínua en ā, punto de acumulación de U, si:
Existe f(ā)
| Existe y es finito | lim x ⟶ a | f(X) |
| lim x ⟶ a | f(X) = f(ā) |
Propiedades:
1) Si f, g:ℜn ⟶ ℜm son continuas en ā, entonces f ± g es contínua en ā
2) Si f, g:ℜn ⟶ ℜ son continuas en ā, entonces f·g es contínua en ā
3) Si además g(ā) ≠ 0, entonces f/g es contínua en ā
• Proposición:
f = (f1, …, fm): ℜn ⟶ ℜm es contínua en ā si y solo si f1:Rn ⟶ ℜ son continuas en ā para i = 1, …, m.
Autor: José Luis Martínez-Avila. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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