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Límites en varias variables

Proposición:

Sea f(x): U ⊂ ℜn → ℜm, f(x) = (f1(x), f2(x), …, fm(x)), y sea l =   f(X),

f = (l1, l2, …, lm) ∈ ℜm

Entonces

  f(X) = l  fi(X) = li i = 1, …, m

Teorema (del Sandwich):

Supongamos que tenemos ƒ, g, h:U ⊂ ℜn → ℜ, y sea a un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de a tal que g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ (E - {a}) ∩ U y se verifica que:

  g(X) =   h(X) = l

Entonces:

  ƒ(X) = l

Ejemplo n° 4

Cálculo del límite

Observación:

Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.

Ejemplo n° 5

1) Cálculo del límite
Cálculo del límite

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2) Cálculo del límite
Cálculo del límite

Por el teorema del Sandwich

0

0
≤ |r²·cos θ·sen³ θ| ≤

0


0

Continuidad

Definición:

Decimos que f: U ⊂ ℜn → ℜm es contínua en a, punto de acumulación de U, si:

  1. Existe f(a)
  2. Existe y es finito   f(X)
  3.   f(X) = f(a)

Propiedades:

  1. Si f, g:ℜn → ℜm son continuas en a, entonces f ± g es contínua en a
  2. Si ƒ, g:ℜn → ℜ son continuas en a, entonces ƒ·g es contínua en a
  3. Si además g(a) ≠ 0, entonces ƒ/g es contínua en a

• Proposición:

f = (ƒ1, …, ƒm): ℜn → ℜm es contínua en a si y solo si ƒ1:Rn → ℜ son continuas en a para i = 1, …, m.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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