Teorema del Sandwich

Proposición:

Sea : U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, ,

y sea ,

= (l₁, l₂, …, lₘ) ∈ ℜᵐ

Entonces

Teorema (del Sandwich):

Supongamos que tenemos f, g, h:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, y sea ā un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de ā tal que ∈ (E - {ā}) ∩ U y se verifica que:

Entonces:

Ejemplo nº 4

Observación:

Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.

Ejemplo nº 5

1)

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2)

Por el teorema del Sandwich

Continuidad

Definición:

Decimos que : U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ es contínua en ā, punto de acumulación de U, si:

Existe

Existe y es finito

Propiedades:

1) Si , :ℜⁿ ⟶ ℜᵐ son continuas en ā, entonces ± es contínua en ā

2) Si f, :ℜⁿ ⟶ ℜ son continuas en ā, entonces f·g es contínua en ā

3) Si además g(ā) ≠ 0, entonces f/g es contínua en ā

• Proposición:

= (f₁, …, fₘ): ℜⁿ ⟶ ℜᵐ es contínua en ā si y solo si f₁:Rⁿ ⟶ ℜ son continuas en ā para i = 1, …, m.

Autor: José Luis Martínez-Avila. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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