Recopilación del concepto de número (Primera parte)
- Los números naturales (N)
- Construcción a partir de N de los números enteros (Z)
- Construcción a partir de Z de los números racionales (Q)
- Construcción a partir de Q de los números reales (ℜ)
- Construcción a partir de ℜ de los números complejos (C)
- Topología de ℜ
- Sucesiones y series de números reales
Los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Los suponemos bien conocidos. Sirven para contar y ordenar conjuntos finitos. En la función de contar está su origen.
Sea f la colección de todos los conjuntos finitos (con finitos elementos), podemos decir que A, B ∈ f son equivalentes cuando se puede establecer una biyección (correspondencia uno a uno) entre ambos.
Esto es una relación de equivalencia en f, es decir, es una relación:
- Reflexiva: ∀ A ∈ f A ~ A (A equivalente A)
- Simétrica: A, B ∈ f, A ~ B ⇒ B ~ A
- Transitiva: A, B, C ∈ f, A ~ B, B ~ C ⇒ A ~ C
Como eso es una relación de equivalencia induce en f una clasificación.
Una clasificación de f es una colección de subconjuntos de f disjuntos dos a dos y cuya unión es todo f, es decir una colección de subconjuntos tales que todo elemento está en uno y sólo en uno.
¿Cuáles son las clases que induce la relación ~?
Cada clase está formada por un conjunto finito y todos los que son equivalentes a él.
Al conjunto de clases se le suele denotar f / ~ (conjunto cociente o de clases de f respecto a la relación ~)
Así que una clase es la formada por todos los conjuntos con un elemento. Otra clase es la formada por dos elementos. Otra clase es la formada por tres elementos. Etc.
Bien podemos decir que f / ~ = N
Un número natural es lo que tienen en común todos los conjuntos equivalentes a éste.
Sea A un conjunto finito. A la clase a la que pertenece A se le suele denotar cardinal de A (card. A).
El concepto de número natural no tiene nada que ver con el nombre que se den a ese número (uno, dos, tres, …) (one, two, three, …) ni con la forma con la que se representan (1, 2, 3, …) (I, II, III, IV, …).
Decíamos que no sólo conocíamos los números naturales N sino también la estructura algebraica - topológica (N, +, ·, <) (algebraica por las operaciones + y·, topológica por la relación <)
Diremos que conocemos la adición, la multiplicación y el orden en los números N. Es decir, sabemos que esas "cosas" tienen las siguientes propiedades básicas de las que se derivan otras.
Adición:
A1. Asociativa ∀ a, b, c ∈ N (a + b) + c = a + (b + c)
A2. Conmutativa ∀ a, b ∈ N a + b = b + a
A3. Elemento neutro ∀ a ∈ N a + 0 = a
Multiplicación:
M1. Asociativa a·(b·c) = (a·b)·c
M2. Conmutativa a·b = b·a
M3. Elemento unidad a·1 = a
Adición/multiplicación: AM. Distributiva a·(b + c) = a·b + a·c
Ser menor que:
O1. Transitiva a < b, b < c ⇒ a < c
O2. Antisimétrica a < b, b < a ⇒ a = b
O3. Es total ∀ a, b ∈ N a ≠ b ⇒ a < b ó b < a
Orden/adición: OA. Compatibilidad del orden/adición a < b a + c < b + c (c ∈ N)
Orden/multiplicación: OM. Compatibilidad del orden/multiplicación a < b, 0 < c ⇒ a·c < b·c
No hemos dicho:
- Existencia de opuesto para la adición
- Existencia de inverso para la multiplicación
- Y otras referentes al orden
Haremos una primera extensión de número que nos dará el opuesto. Una segunda nos dará el inverso. Y una tercera nos dará lo no citado ahora del orden.
Sean A y B conjuntos finitos de elementos (A ≥ B ≠ Ø). Cardinal A y cardinal B son dos números naturales (son la clase a la que pertenece A y la clase a la que pertenece B).
Pues bien, card. A + card. B = card. (A ∪ B), de aquí sale la suma o adición.
El concepto de multiplicación sale de: card. A×card. B = card. (A×B) (A×B es el producto cartesiano de A y B, es decir, el conjunto formado por los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B).
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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