Matemática

Números Reales: Potenciación y Radicación. TP-14

Radicales

" Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que elevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada.

" Elementos de la raíz.

Operaciones con números reales

- Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad.

Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

El grado de un radical lo indica el índice de la raíz.

" Extracción de factores fuera del radical.

Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical.

Ejercicios de aplicación

Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:

Operaciones con números reales

- Introducción de factores dentro del radical.

Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejercicios de aplicación

Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:

Operaciones con números reales

- Reducción de radicales al mínimo común índice.

Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.

2

3

6

2

 

(1)

-

3

3

 

(1)

(1)

 

El m.c.m. es 6.

2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.

6

2

 

6

3

 

6

6

(0)

3

 

(0)

2

 

(0)

1

Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.

Operaciones con números reales

3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.

Operaciones con números reales

Ejercicios de aplicación

Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:

Operaciones con números reales

- Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

- Suma y resta de radicales.

Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera.

Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes.

Ejercicios de aplicación

Sumar los siguientes radicales indicados:

Operaciones con números reales

Operaciones con números reales

- Multiplicación de radicales.

a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Ejercicios de aplicación

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

Operaciones con números reales

Operaciones con números reales

b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo índice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios.

Ejercicios de aplicación

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

Operaciones con números reales

c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación

Multiplicar los siguientes radicales indicados:

Operaciones con números reales

Operaciones con números reales

- División de radicales.

a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.

Ejercicios de aplicación

Dividir los siguientes radicales indicados:

Operaciones con números reales

Operaciones con números reales

b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.

Ejercicios de aplicación

Dividir los siguientes radicales indicados:

Operaciones con números reales

- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador.

1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo.

2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er,4to, 5to y más grado.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.

3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio.

Ejemplos:

Operaciones con números reales

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador.

Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.

Ejercicios de aplicación.

Racionalizar el denominador (1er Caso) de los siguientes cocientes:

Operaciones con números reales

Racionalizar el denominador (2do Caso) de los siguientes cocientes:

Operaciones con números reales

Racionalizar el denominador (3er Caso) de los siguientes cocientes:

Operaciones con números reales

Operaciones con números reales

" Ecuaciones con radicales.

Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuación irracional.

Ejemplo:

Operaciones con números reales

Ejercicios de aplicación

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado:

Operaciones con números reales

Autor: .

Editor: Fisicanet ®

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