Propiedades de las funciones derivables. AP04

Contenido: Estudio de funciones derivables. Teorema de Rolle. Teorema de Cauchy. Teorema del valor medio. Crecimiento y decrecimiento de una función. ¿Qué son los valores máximos y mínimos de una función? ¿Qué es el incremento de la función?

Propiedades de las funciones derivables

LEMA (de monotonía)

Sea x: I → ℜ una función. Supongamos que ƒ'(t0) > 0 en un punto t0 interior. Entonces existe Δ > 0 tal que ƒ(s) < ƒ(t0) < ƒ(t) cuando s ∈ (t0 - Δ, t0) y t ∈ (t0, t0 + Δ), es decir, es creciente en t0

Análogamente si ƒ'(t0) < 0, es decreciente en t0

Teorema de Rolle

Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Si ƒ(a) = ƒ(b) entonces existe c ε (a, b) tal que ƒ'(c) = 0.

Teorema de Cauchy

Sean ƒ:[a, b] → ℜ y g:[a, b] → ℜ continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

[ƒ(b) - ƒ(a)]·g'(c) = [g(b) - g(a)]·ƒ'(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos)

Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c ε (a, b) tal que ƒ(b) - ƒ(a) = (b - a)·ƒ'(c).

Consecuencias del teorema del valor medio

  1. Teorema del valor medio sobre monotonía
    • Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces:
      • Si ƒ'(t) ≥ 0 para todo t ε (a, b) entonces ƒ es monótona creciente en [a, b]
      • Si ƒ'(t) ≤ 0 para todo t ε (a, b) entonces ƒ es monótona decreciente en [a, b]
      • Si ƒ'(t) = 0 para todo t ε (a, b) entonces ƒ es constante en [a, b]
  2. Si ƒ y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) tales que ƒ'(x) = g'(x) para todo x ∈ (a, b), entonces existe un número real c tal que ƒ(x) = g(x) + c para todo x ∈ [a, b]; es decir, las dos funciones ƒ y g se diferencian en una constante.

Estudio local de una función

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea x:[a, b] → ℜ, x0 ∈ (a, b), se dice que ƒ es creciente en x0 si existe un entorno de x0, E(x0, h) tal que:

Si x0 - h < x < x0

ƒ(x) < ƒ(x0)

Si x0 < x < x0 + h

ƒ(x0) < ƒ(x)

Se dice que ƒ es decreciente si (-ƒ) es creciente.

• Proposición 1 "monotonía":


Crecimiento y decrecimiento de una función

Sea x:(a, b) → ℜ una función derivable y x0 ∈ (a, b). Entonces:

Si ƒ'(x0) > 0, ƒ es creciente en x0

Si ƒ'(x0) < 0, ƒ es decreciente en x0

Observación:

La condición es suficiente pero no es necesaria. Ejemplo: ƒ(x) = x³

• Proposición 2:

Sea x:(a, b) → ℜ una función, x0 ∈ (a, b), ƒ derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces ƒ'(x0) ≥ 0 (ƒ'(x0) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos

Condiciones para la determinación de extremos

Definición:

Sea ƒ:[a, b] → ℜ, x0 ∈ (a, b), se dice que ƒ tiene un máximo/mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0, E(x0, h) tal que ∀ x ∈ E(x0, h) se tiene que ƒ(x) ≤ ƒ(x0)/ƒ(x) ≥ ƒ(x0).

Condición necesaria

ƒ derivable en x0 ∈ (a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces ƒ'(x0) = 0.

Condición suficiente


Máximo y mínimo de una función

• Proposición 1:

Sea x:[a, b] → ℜ contínua en I, x0 ∈ (a, b) y ƒ derivable en el intervalo (x0-Δ, x0 + Δ) contenido en I salvo quizás x0

a.

Si ƒ'(x) > 0, x ∈ (x0 - Δ, x0) (ƒ creciente a la izquierda de x0)

ƒ'(x) < 0, x ∈ (x0, x0 + Δ) (ƒ decreciente a la derecha de x0)

Entonces ƒ presente un máximo relativo en x0

b.

Análogamente para mínimo relativo.

• Proposición 2:

ƒ:[a, b] → ℜ, x0 ∈ (a, b) tal que ƒ'(x0) = 0 y ƒ"(x0) ≠ 0.

Entonces:

ƒ"(x0) > 0 entonces x0 es mínimo relativo.

ƒ"(x0) < 0 entonces x0 es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente

Sea x:[a, b] → ℜ contínua en [a, b], x0 ∈ (a, b) tal que ƒ'(x0) = 0.

Supongamos que ƒ admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es ƒn(x0), derivada n-ésima de ƒ.

En estas condiciones:

"la condición necesaria y suficiente para que ƒ presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que n sea par. Además si ƒn (x0) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo) relativo".

Además si n es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

Función cóncava: Una función ƒ es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x0, ƒ(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

Función convexa: Una función ƒ es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x0, ƒ(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Si una función ƒ es tal que ∀ x ∈ (a, b) ƒ"(x) > 0 entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a, b)

Si una función ƒ es tal que ∀ x ∈ (a, b) ƒ"(x) < 0 entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a, b)

Punto de inflexión


Gráfica con los casos de punto de inflexión de una función

Definición:

Un punto x0 se dice de inflexión de ƒ si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, ƒ(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria: Si x0 es punto de inflexión entonces ƒ"(x0) = 0

Condición suficiente: Sea x0/ƒ"(x0) = 0, entonces si además ƒ‴(x0) ≠ 0, x0 es punto de inflexión.

Regla de L'Hospital

Sean ƒ, g:[a, b] → ℜ dos funciones verificando:

i.

ƒ, g son derivables en (a, b)

ii.

g'(x) ≠ 0 para todo x ∈ (a, b)

iii.

Existe

lim

ƒ'(x)

= l ∈ ℜ (real o ± ∞)

x → a

g'(x)

iv

lim

ƒ(x)

=

lim

g(x)

= 0

x → a

x → a

Entonces existe

lim

ƒ(x)

Su valor es l

x → a

g(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1, ∞° y 0°

Representación de funciones

Esquema a seguir en la representación de funciones

Propiedades de funciones obtenidas directamente

Caracterización

1

Dominio (D) de la función

Recorrido (R) de la función

x ∈ D ⇔ Existe y tal que y = ƒ(x)

y ∈ ℜ ⇔ Existe x tal que y = ƒ(x)

2

Simetrías:

Función par

Función impar

ƒ(-x) = ƒ(x) Eje de simetría OY

ƒ(-x) = - ƒ(x) Centro de simetría el origen

3

Periodicidad

ƒ(x + T) = ƒ(x) T período mínimo

4-

Puntos de corte con los ejes:

Corte con el eje OX

Corte con el eje OY

ƒ(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos

ƒ(0) = y Ninguno o un punto

5-

Regiones de existencia de la función:

Intervalos de positividad

Intervalos de negatividad

ƒ(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX

ƒ(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX

6-

Ramas infinitas. Puntos en el infinito:

Punto de partida de la gráfica

Punto de llegada de la gráfica

(- ∞,?) Cuadrantes II o III

(+ ∞,?) Cuadrantes I o IV

7-

Asíntotas:

 

Asíntotas verticales: x = u

lim

ƒ(x) = ± ∞ (a = a, a+, a‾)

x → a

Asíntotas horizontales: y = k

lim

ƒ(x) = k

x → ±∞

Asíntotas oblicuas: y = m·x + n,

lim

ƒ(x)/x = m

x → ± ∞

m y n ∈ ℜ

lim

[ƒ(x) - m·x = b]

x → ± ∞

m ∈ ℜ

8-

Puntos de discontinuidad

lim

ƒ(x) ≠ ƒ(a)

x → a

Propiedades de ƒ obtenidas por las derivadas sucesivas

9-

Monotonía:

 

Intervalos de crecimiento

Intervalos de decrecimiento

ƒ' > 0

ƒ' < 0

Puntos críticos

ƒ'(a) = 0 y ƒ"(a) > 0 Mínimo

ƒ'(a) = 0 y ƒ"(a) < 0 Máximo

10-

Curvatura:

Intervalos de convexidad

Intervalos de concavidad

ƒ" > 0

ƒ" < 0

Puntos de inflexión

ƒ"(a) = 0 y ƒ"(a) > 0 Cóncavo - convexo

ƒ"(a) = 0 y ƒ"(a) < 0 Convexo - cóncavo

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