Propiedades de las funciones derivables

LEMA (de monotonía)

Sea x: I → ℜ una función. Supongamos que ƒ'(t₀) > 0 en un punto t₀ interior. Entonces existe Δ > 0 tal que ƒ(s) < ƒ(t₀) < ƒ(t) cuando s ∈ (t₀ - Δ, t₀) y t ∈ (t₀, t₀ + Δ), es decir, es creciente en t₀

Análogamente si ƒ'(t₀) < 0, es decreciente en t₀

Teorema de Rolle

Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Si ƒ(a) = ƒ(b) entonces existe c ε (a, b) tal que ƒ'(c) = 0.

Teorema de Cauchy

Sean ƒ:[a, b] → ℜ y g:[a, b] → ℜ continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

[ƒ(b) - ƒ(a)]·g'(c) = [g(b) - g(a)]·ƒ'(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos)

Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c ε (a, b) tal que ƒ(b) - ƒ(a) = (b - a)·ƒ'(c).

Consecuencias del teorema del valor medio

1. Teorema del valor medio sobre monotonía
• Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces:
• Si ƒ'(t) ≥ 0 para todo t ε (a, b) entonces ƒ es monótona creciente en [a, b]
• Si ƒ'(t) ≤ 0 para todo t ε (a, b) entonces ƒ es monótona decreciente en [a, b]
• Si ƒ'(t) = 0 para todo t ε (a, b) entonces ƒ es constante en [a, b]
2. Si ƒ y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) tales que ƒ'(x) = g'(x) para todo x ∈ (a, b), entonces existe un número real c tal que ƒ(x) = g(x) + c para todo x ∈ [a, b]; es decir, las dos funciones ƒ y g se diferencian en una constante.

Estudio local de una función

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea x:[a, b] → ℜ, x₀ ∈ (a, b), se dice que ƒ es creciente en x₀ si existe un entorno de x₀, E(x₀, h) tal que:

Se dice que ƒ es decreciente si (-ƒ) es creciente.

• Proposición 1 "monotonía":

Crecimiento y decrecimiento de una función

Sea x:(a, b) → ℜ una función derivable y x₀ ∈ (a, b). Entonces:

Si ƒ'(x₀) > 0, ƒ es creciente en x₀

Si ƒ'(x₀) < 0, ƒ es decreciente en x₀

Observación:

La condición es suficiente pero no es necesaria. Ejemplo: ƒ(x) = x³

• Proposición 2:

Sea x:(a, b) → ℜ una función, x₀ ∈ (a, b), ƒ derivable en x₀ y creciente (decreciente). Entonces ƒ'(x₀) ≥ 0 (ƒ'(x₀) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos

Condiciones para la determinación de extremos

Definición:

Sea ƒ:[a, b] → ℜ, x₀ ∈ (a, b), se dice que ƒ tiene un máximo/mínimo relativo en, x₀ si existe un entorno de x₀, E(x₀, h) tal que ∀ x ∈ E(x₀, h) se tiene que ƒ(x) ≤ ƒ(x₀)/ƒ(x) ≥ ƒ(x₀).

Condición necesaria

ƒ derivable en x₀ ∈ (a, b) y presenta en x₀ un máximo o mínimo, entonces ƒ'(x₀) = 0.

Condición suficiente

Máximo y mínimo de una función

• Proposición 1:

Sea x:[a, b] → ℜ contínua en I, x₀ ∈ (a, b) y ƒ derivable en el intervalo (x₀-Δ, x₀ + Δ) contenido en I salvo quizás x₀

a.

Si ƒ'(x) > 0, x ∈ (x₀ - Δ, x₀) (ƒ creciente a la izquierda de x₀)

ƒ'(x) < 0, x ∈ (x₀, x₀ + Δ) (ƒ decreciente a la derecha de x₀)

Entonces ƒ presente un máximo relativo en x₀

b.

Análogamente para mínimo relativo.

• Proposición 2:

ƒ:[a, b] → ℜ, x₀ ∈ (a, b) tal que ƒ'(x₀) = 0 y ƒ"(x₀) ≠ 0.

Entonces:

ƒ"(x₀) > 0 entonces x₀ es mínimo relativo.

ƒ"(x₀) < 0 entonces x₀ es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente

Sea x:[a, b] → ℜ contínua en [a, b], x₀ ∈ (a, b) tal que ƒ'(x₀) = 0.

Supongamos que ƒ admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x₀ y supongamos que la primera derivada que no se anula en x₀ es ƒⁿ(x₀), derivada n-ésima de ƒ.

En estas condiciones:

"la condición necesaria y suficiente para que ƒ presente en x₀ un máximo o mínimo relativo es que n sea par. Además si ƒⁿ (x₀) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo) relativo".

Además si n es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

Función cóncava: Una función ƒ es cóncava en el punto x₀ cuando la tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x₀, ƒ(x₀)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

Función convexa: Una función ƒ es convexa en el punto x₀ cuando la tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x₀, ƒ(x₀)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Si una función ƒ es tal que ∀ x ∈ (a, b) ƒ"(x) > 0 entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a, b)

Si una función ƒ es tal que ∀ x ∈ (a, b) ƒ"(x) < 0 entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a, b)

Punto de inflexión

Gráfica con los casos de punto de inflexión de una función

Definición:

Un punto x₀ se dice de inflexión de ƒ si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x₀, ƒ(x₀)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria: Si x₀ es punto de inflexión entonces ƒ"(x₀) = 0

Condición suficiente: Sea x₀/ƒ"(x₀) = 0, entonces si además ƒ‴(x₀) ≠ 0, x₀ es punto de inflexión.

Regla de L'Hospital

Sean ƒ, g:[a, b] → ℜ dos funciones verificando:

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1^∞, ∞° y 0°

Representación de funciones

Esquema a seguir en la representación de funciones