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Contenido: Estudio de funciones derivables. Teorema de Rolle. Teorema de Cauchy. Teorema del valor medio. Crecimiento y decrecimiento de una función. ¿Qué son los valores máximos y mínimos de una función? ¿Qué es el incremento de la función?

Propiedades de las funciones derivables

LEMA (de monotonía)

Sea x: I → ℜ una función. Supongamos que ƒ'(t0) > 0 en un punto t0 interior. Entonces existe Δ > 0 tal que ƒ(s) < ƒ(t0) < ƒ(t) cuando s ∈ (t0 - Δ, t0) y t ∈ (t0, t0 + Δ), es decir, es creciente en t0

Análogamente si ƒ'(t0) < 0, es decreciente en t0

Teorema de Rolle

Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Si ƒ(a) = ƒ(b) entonces existe c ε (a, b) tal que ƒ'(c) = 0.

Teorema de Cauchy

Sean ƒ:[a, b] → ℜ y g:[a, b] → ℜ continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que:

[ƒ(b) - ƒ(a)]·g'(c) = [g(b) - g(a)]·ƒ'(c).

Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos)

Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe c ε (a, b) tal que ƒ(b) - ƒ(a) = (b - a)·ƒ'(c).

Consecuencias del teorema del valor medio

1) Teorema del valor medio sobre monotonía

▫ Sea x:[a, b] → ℜ una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces:

2) Si ƒ y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) tales que ƒ'(x) = g'(x) para todo x ∈ (a, b), entonces existe un número real c tal que ƒ(x) = g(x) + c para todo x ∈ [a, b]; es decir, las dos funciones ƒ y g se diferencian en una constante.

Estudio local de una función

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea x:[a, b] → ℜ, x0 ∈ (a, b), se dice que ƒ es creciente en x0 si existe un entorno de x0, E(x0, h) tal que:

Si x0 - h < x < x0ƒ(x) < ƒ(x0)
Si x0 < x < x0 + hƒ(x0) < ƒ(x)

Se dice que ƒ es decreciente si (-ƒ) es creciente.

• Proposición 1 "monotonía":

Crecimiento y decrecimiento de una función
Crecimiento y decrecimiento de una función

Sea x:(a, b) → ℜ una función derivable y x0 ∈ (a, b). Entonces:

Si ƒ'(x0) > 0, ƒ es creciente en x0

Si ƒ'(x0) < 0, ƒ es decreciente en x0

Observación:

La condición es suficiente pero no es necesaria. Ejemplo: ƒ(x) = x³

• Proposición 2:

Sea x:(a, b) → ℜ una función, x0 ∈ (a, b), ƒ derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces ƒ'(x0) ≥ 0 (ƒ'(x0) ≤ 0).

Máximos y mínimos relativos

Condiciones para la determinación de extremos

Definición:

Sea ƒ:[a, b] → ℜ, x0 ∈ (a, b), se dice que ƒ tiene un máximo/mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0, E(x0, h) tal que ∀ x ∈ E(x0, h) se tiene que ƒ(x) ≤ ƒ(x0)/ƒ(x) ≥ ƒ(x0).

Condición necesaria

ƒ derivable en x0 ∈ (a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces ƒ'(x0) = 0.

Condición suficiente

Máximo y mínimo de una función
Máximo y mínimo de una función

• Proposición 1:

Sea x:[a, b] → ℜ contínua en I, x0 ∈ (a, b) y ƒ derivable en el intervalo (x0-Δ, x0 + Δ) contenido en I salvo quizás x0

a.

Si ƒ'(x) > 0, x ∈ (x0 - Δ, x0) (ƒ creciente a la izquierda de x0)

ƒ'(x) < 0, x ∈ (x0, x0 + Δ) (ƒ decreciente a la derecha de x0)

Entonces ƒ presente un máximo relativo en x0

b.

Análogamente para mínimo relativo.

• Proposición 2:

ƒ:[a, b] → ℜ, x0 ∈ (a, b) tal que ƒ'(x0) = 0 y ƒ"(x0) ≠ 0.

Entonces:

ƒ"(x0) > 0 entonces x0 es mínimo relativo.

ƒ"(x0) < 0 entonces x0 es máximo relativo.

Condición necesaria y suficiente

Sea x:[a, b] → ℜ contínua en [a, b], x0 ∈ (a, b) tal que ƒ'(x0) = 0.

Supongamos que ƒ admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es ƒn(x0), derivada n-ésima de ƒ.

En estas condiciones:

"la condición necesaria y suficiente para que ƒ presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que n sea par. Además si ƒn (x0) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo) relativo".

Además si n es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

Función cóncava: Una función ƒ es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x0, ƒ(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

Función convexa: Una función ƒ es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x0, ƒ(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Condición suficiente de concavidad

Gráfica con los casos de concavidad y convexidad de una función

Gráfica con los casos de concavidad y convexidad de una función

Si una función ƒ es tal que ∀ x ∈ (a, b) ƒ"(x) > 0 entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a, b)

Si una función ƒ es tal que ∀ x ∈ (a, b) ƒ"(x) < 0 entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a, b)

Punto de inflexión

Gráfica con los casos de punto de inflexión de una función
Gráfica con los casos de punto de inflexión de una función

Definición:

Un punto x0 se dice de inflexión de ƒ si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, ƒ(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria: Si x0 es punto de inflexión entonces ƒ"(x0) = 0

Condición suficiente: Sea x0/ƒ"(x0) = 0, entonces si además ƒ‴(x0) ≠ 0, x0 es punto de inflexión.

Regla de L'Hospital

Sean ƒ, g:[a, b] → ℜ dos funciones verificando:

i.
ƒ, g son derivables en (a, b)
ii.
g'(x) ≠ 0 para todo x ∈ (a, b)
iii.
Existe
limƒ'(x) = l ∈ ℜ (real o ± ∞)
x → ag'(x)
iv.limƒ(x)=limg(x)= 0
x → a x → a 
Entonces existelimƒ(x)Su valor es l
x → ag(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1, ∞° y 0°

Representación de funciones

Esquema a seguir en la representación de funciones

Propiedades de funciones obtenidas directamenteCaracterización
1Dominio (D) de la función
Recorrido (R) de la función
x ∈ D ⇔ Existe y tal que y = ƒ(x)
y ∈ ℜ ⇔ Existe x tal que y = ƒ(x)
2Simetrías:
Función par
Función impar
ƒ(-x) = ƒ(x) Eje de simetría OY
ƒ(-x) = - ƒ(x) Centro de simetría el origen
3Periodicidadƒ(x + T) = ƒ(x) T período mínimo
4-Puntos de corte con los ejes:
Corte con el eje OX
Corte con el eje OY
ƒ(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos
ƒ(0) = y Ninguno o un punto
5-Regiones de existencia de la función:
Intervalos de positividad
Intervalos de negatividad
ƒ(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX
ƒ(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX
6-Ramas infinitas. Puntos en el infinito:
Punto de partida de la gráfica
Punto de llegada de la gráfica
(- ∞,?) Cuadrantes II o III
(+ ∞,?) Cuadrantes I o IV
7-Asíntotas:
 Asíntotas verticales: x = ulimƒ(x) = ± ∞ (a = a, a+, a‾)
x → a
Asíntotas horizontales: y = klimƒ(x) = k
x → ±∞
Asíntotas oblicuas: y = m·x + n,limƒ(x)/x = m
x → ± ∞m y n ∈ ℜ
lim[ƒ(x) - m·x = b]
x → ± ∞m ∈ ℜ
8-Puntos de discontinuidadlimƒ(x) ≠ ƒ(a)
x → a
Propiedades de ƒ obtenidas por las derivadas sucesivas
9-Monotonía:
 Intervalos de crecimiento
Intervalos de decrecimiento
ƒ' > 0
ƒ' < 0
Puntos críticosƒ'(a) = 0 y ƒ"(a) > 0 Mínimo
ƒ'(a) = 0 y ƒ"(a) < 0 Máximo
10-Curvatura:
 Intervalos de convexidad
Intervalos de concavidad
ƒ" > 0
ƒ" < 0
Puntos de inflexiónƒ"(a) = 0 y ƒ"(a) > 0 Cóncavo - convexo
ƒ"(a) = 0 y ƒ"(a) < 0 Convexo - cóncavo

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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