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Propiedades de las funciones continuas. AP06

Contenido: Propiedades de las funciones continuas. Teoremas del signo, de Bolzano, de Darboux, de Weierstrass.

Propiedades de las funciones contínuas

Teorema del signo.

Sea f:[a,b] → R una función contínua en (a,b) entonces si f(x0) ≠ 0, existe un entorno E(x0, δ) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Si x0 = b (respectivamente x0 =a) entonces existe δ un tal que f toma en (b - δ, b) (respectivamente (a, a + δ) el mismo signo que f(x0).

Lema (de acotación).

Sea f:[a,b]→ R una función contínua en [a,b] y x0 ∈ (a,b) entonces existe δ > 0 tal que f es acotada en E(x0, δ).

Teorema de los ceros, de Bolzano.

Sea f:[a,b]→ R una función contínua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos en los extremos a y b del intervalo, es decir, signo f(a) ≠ signo f(b). Entonces existe c ∈ (a,b) tal que f(c)=0.

Teorema de los valores intermedios, de Darboux.

Sea f:[a,b]→ R una función contínua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f toma todos los valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weierstrass.

Si f es una función contínua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.

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