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Derivada de una función (Primera parte)

En este tema, además de definir el concepto de la derivada de una función, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Pierre de Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

Derivada de una función en un punto

Sea una función y = ƒ(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0, ƒ(x0)) y

(x0 + h, ƒ(x0 + h)) tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto (x0, ƒ(x0)).

Si αh es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0, ƒ(x0)),(x0 + h, ƒ(x0 + h)) y (x0 + h, ƒ(x0)), se verifica:

tg αh = [ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)]/h

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, tg αh tiende a tg α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0, ƒ(x0)).

Esto se expresa matemáticamente así:

lim
h → 0
tg αh =lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)= tg αh
h

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = ƒ(x), se llama derivada de la función ƒ en un punto x0 al límite, si existe y es finito (un número),

lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)
h

y se simboliza por ƒ'(x0) (ƒ prima de equis subcero) o por D(ƒ(x0)):

lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)= ƒ'(x0) = D(ƒ(x0))
h

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función ƒ(x) es derivable en el punto x0

Significado de la derivada

Puesto que:

tg αh =lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)= ƒ'(x0),
h

La derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, ƒ(x0)).

Ejemplos de cálculo de la derivada de una función en un punto

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de la función ƒ(x) = 3·x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Desarrollo

Datos:

ƒ(x) = 3·x + 5

x = 1

Solución

Se pide el valor de ƒ"(1) (en este caso, x0 = 1).

ƒ'(1) =lim
h → 0
ƒ(1 + h) - ƒ(1)
h

ƒ(1 + h) = 3·(1 + h) + 5 = 3·h + 8

ƒ(1) = 3·1 + 5 = 8

ƒ'(1) =lim
h → 0
3·h + 8 - 8
h
ƒ'(1) =lim
h → 0
3·h
h
ƒ'(1) =lim
h → 0
3 = 3

Por tanto, ƒ'(1) = 3.

Ejemplo n° 2

Calcular la derivada de la función ƒ(x) = x en el punto 2.

Desarrollo

Datos:

ƒ(x) = x

x = 2

Solución

ƒ'(2) =lim
h → 0
ƒ(2 + h) - ƒ(2)
h

ƒ(2 + h) = 2 + h

ƒ(2) = 2

ƒ'(2) =lim
h → 0
2 + h - 2
h

Multiplicando numerador y denominador por 2 + h + 2 (conjugado del numerador)

ƒ'(2) =lim
h → 0
(2 + h - 2)·(2 + h + 2)
h·(2 + h + 2)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

(2 + h - 2)·(2 + h + 2) = 2 + h - 2 = h

ƒ'(2) =lim
h → 0
h
h·(2 + h + 2)
ƒ'(2) =lim
h → 0
1
2 + h + 2

ƒ'(2) = 1/(2 + 0 + 2) = 1/(2 + 2) = 1/(2·2)

Cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto.

Ejemplo n° 1

Calcular la ecuación de la tangente a la curva ƒ(x) = x² en el punto de abscisa 2.

Desarrollo

Datos:

ƒ(x) = x²

x = 2

Solución

ƒ'(2) =lim
h → 0
ƒ(2 + h) - ƒ(2)
h
ƒ'(2) =lim
h → 0
(2 + h)² - (2)²
h
ƒ'(2) =lim
h → 0
h² + 4·h
h
ƒ'(2) =lim
h → 0
h + 4 = 4

La ecuación de la tangente es entonces y - 4 = 4·(x - 2) → y - 4 = 4·x - 8 → 4·x - y - 4 = 0.

Estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Ejemplo n° 1

Estudiar la derivabilidad de la función ƒ(x) definida por

ƒ(x) =x² si x ≤ 1
x si x > 1
En los puntos x1 = 1 y x0 = 0

Solución

a.

Derivabilidad en x1 = 1.

Se han de considerar dos casos:

Si h > 0, 1 + h > 1 y en este caso ƒ(x) = x. Por tanto:

Si h < 0,

Límite por la derecha

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.

Si h < 0, 1 + h ≤ 1, y en este caso ƒ(x) = x²

Si h < 0,

Límite por la izquierda

Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función ƒ(x) no es derivable en x = 1.

b.

Derivabilidad en x = 0.

En este caso no es necesario considerarh > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero (h es muy pequeño) la función es ƒ(x) = x²

lim
h → 0
ƒ(0 + h) - ƒ(0)=lim
h → 0
ƒ(h) - 0=
hh
lim
h → 0
=lim
h → 0
h = 0
h

El límite existe y es cero, luego ƒ(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abscisas).

Ejemplo n° 2

Estudiar la derivabilidad de la función ƒ(x) = |x| (valor absoluto de x) definida por:

ƒ(x) = |x| =x² si x ≥ 0
-x si x < 0
En el punto x0 = 0

Solución

Si h > 0

lim
h → 0
h > 0
ƒ(0 + h) - ƒ(0)=lim
h → 0
h > 0
h - 0= 1
hh

Si h < 0

lim
h → 0
h < 0
ƒ(0 + h) - ƒ(0)=lim
h → 0
h < 0
-h - 0= -1
hh

Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función ƒ(x) = |x| no es derivable en dicho punto.

¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?

Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».

Consecuencias de la definición de derivada en un punto

1. Si existe la derivada de una función ƒ(x) en un punto (x0, ƒ(x0)), existen las derivadas a derecha e izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría ƒ'(x0).

Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este caso no existe la tangente en (x0, ƒ(x0)), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.

Los puntos A, B, C, D y E de la gráfica de la ilustración son puntos angulosos: La curva cambia bruscamente de dirección en ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de dichos puntos.

No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e, incluso, infinitos puntos.

2. La idea que hasta ahora se tenía de tangente a una curva como la recta que posee un único punto común con ella no es nada apropiada. Si esto fuese así la curva de la figura 1 no tendría tangente en el punto P, mientras que la curva de la figura 2 contaría con infinitas tangentes en Q.

Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es contínua en él.

• Demostración:

Sea una función y = ƒ(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es contínua en él, es preciso demostrar que

lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0),
h

O lo que es equivalente, que

lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)= 0
h

Pero

ƒ(x0 + h) - ƒ(x0) = h·[ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)]/h

Tomando límites cuando h tiende a 0.

lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)=lim
h → 0
lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)
hh

De donde, por ser ƒ(x) derivable,

lim
h → 0
ƒ(x0 + h) - ƒ(x0)= ƒ'(x0).0 = 0,

resultado al que se quería llegar.

Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea contínua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función contínua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo contínua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.

Cálculo de derivadas

Derivada de una función constante

Sea una función constante ƒ(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de ƒ(x),

(a + h) - ƒ(a) = C - C = 0, por lo que

ƒ'(a) =lim
h → 0
ƒ(a + h) - ƒ(a)=lim
h → 0
0= 0
hh

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Si ƒ(x) = C ⇒ ƒ'(x) = 0

Derivada de la función lineal m·x + b

Sea una función lineal cualquiera ƒ(x) = m·x + b. Para un punto cualquiera x,

[ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h = [m·(x + h) - b - (m·x + b)]/h = m·h/h = m

y

lim
h → 0
m = ƒ'(x)

Lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Si ƒ(x) = m·x + b ⇒ ƒ'(x) = m

Derivada de una constante por una función, k·ƒ(x)

Si k es una constante y ƒ(x) una función, la derivada de la nueva función k·ƒ(x) será:

lim
h → 0
k·ƒ(x + h) - k·ƒ(x)= k·lim
h → 0
ƒ(x + h) - ƒ(x)= k·ƒ'(x)
hh

Sacando factor común k, ya que no depende de h.

Se ha demostrado que

(k·ƒ(x))' = k·ƒ'(x)

Así, para derivar una expresión de la forma k·ƒ(x), basta derivar la función ƒ(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función xm (m es un número natural)

Para calcular la derivada de la función ƒ(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente [(x + h)m - xm]/h.

Desarrollando por el binomio de Newton (x + h)m,

(x + h)m - xm=
h

Derivada de una función

Tomando límites cuando h → 0,

ƒ'(x) =lim
h → 0
(x + h)m - xm=
h

Derivada de una función

Salvo el término Derivada de una función, que no depende de h, el resto de los sumandos tiende a cero (su límite es cero).

Se concluye que:

Si ƒ(x) = xm ⇒ ƒ'(x) = m·xm - 1

Ejemplo de cálculo de la derivada de la función xm

Ejemplo n° 1

Calcular la derivada de ƒ(x) = x² en el punto de abscisa - 1.

Desarrollo

Datos:

ƒ(x) = x²

x = -1

Solución

ƒ'(x) = 2·x2 - 1 = 2·x

ƒ'(-1) = 2·(-1) = -2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x² en x = -1 es - 2.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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