Derivada de una función (Segunda parte). AP06

Contenido: Derivadas de las funciones más usuales. Cálculo integral. (Segunda parte)

Derivada de una función (Continuación)

Regla de la cadena

Esta propiedad asegura que si y = ƒ(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, ƒ:l → ℜ, y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función ƒ, g:ƒ(l) → ℜ, entonces la función compuesta g o ƒ:l → ƒ(l) → ℜ, definida por (g o ƒ)(x) = g[ƒ(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene:

(g o ƒ)'(x) = g'[ƒ(x)]·ƒ'(x)

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena

Ejemplo n° 1) Calcular la derivada de la función h(x) = sen x²

Solución

La función sen x² es una función compuesta de otras dos ƒ(x) = x² y g(x) = sen x.

ƒ

g

En efecto, (g o ƒ)(x) = g[ƒ(x)] = g(x²) = senx²

Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[ƒ(x)] = cos ƒ(x) = cos x²

ƒ(x) = x² ⇒ ƒ'(x) = 2·x

Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[ƒ(x)]·ƒ'(x) = 2·x·cos x²

Ejemplo n° 2) Derivar la función h(x) = [(x² + 1)/x]³

Solución

h(x) es una función compuesta de ƒ(x) = (x² + 1)/x y g(x) = x³

(Se ha de suponer que x ≠ 0 porque para este valor la función no está definida)

ƒ
{0} →

g

x

(x² + 1)/x

[(x² + 1)/x]³

(g o ƒ)(x) = g[ƒ(x)] = g[(x² + 1)/x] = [(x² + 1)/x]³

De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3·x². En consecuencia,

g'[ƒ(x)] = 3·ƒ(x)² = 3·[(x² + 1)/x]²

Por otro lado,

ƒ'(x) = [2·x·x - (x² + 1)·1]/x² = (2·x² - x² - 1)/x²

Por la regla de la cadena,

{[(x² + 1)/x]³}' = 3·[(x² + 1)/x]²·[(x² - 1)/x²]

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función ƒ(x) = xm es ƒ'(x) = m·xm - 1

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

x → u(x) → u(x)m

Aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)m]' = m·u(x)m - 1·u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

Si ƒ(x) = um ⇒ ƒ'(x) = (um)' = m·um - 1·u'

Ejemplo de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para la función potencial

Ejemplo n° 1) Calcular la derivada de ƒ(x) = (x² + 1)³

Solución

Si u = x² + 1, u' = 2·x

En este caso m = 3

ƒ'(x) = 3·(x² + 1)²·2·x = 6·x·(x² + 1)²

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

(ln |u|)' = u'/u

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Ejemplo n° 1) Calcular la derivada de ƒ(x) = ln [(x² + 1)·x²]

Solución

Se toma u = (x² + 1)/x²

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

u' = [2·x·x² - (x² + 1)·2·x]/x4 = -2·x/x4 = -2/x³

Se aplica la regla de la cadena:

Derivada de logaritmo neperiano

Ejemplo n° 2) Hallar la derivada de ƒ(x) = ln |sen x|

Solución

u = sen x; u' = cos x

ƒ'(x) = (ln |sen x|)' = u'/u = cos x/sen x = cotg x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función ƒ(x) = au y para otra g(x) = eu,

ƒ'(x) = (au)' = u'·au ·ln a

g'(x) = (eu)' = u'·eu

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para la función exponencial

Ejemplo n° 1) Calcular la derivada de ƒ(x) = 4x·sen x

Solución

Llamando u = x·sen x, u' = 1·sen x + x·cos x

ƒ'(x) = (4x·sen x)' = (sen x + x·cos x)·4x·sen x·ln 4

Ejemplo n° 2) Calcular la derivada de g(x) = e-x²

Solución

Si u = -x², u' = -2·x, g'(x) = (e-x²)' = -2·x·e-x²

Regla de la cadena para las funciones trigonométricas

x → u(x) → sen u(x)·(sen u)' = u'·cos u

x → u(x) → cos u(x)·(cos u)' = -u'·sen u

x → u(x) → tg u(x)·(tg u)' = (1 + tg² u)·u' = u'/cos² u = u'·sec² u

x → u(x) → sec u(x)·(sec u)' = u'·sec u·tg u

x → u(x) → cosec u(x)·(cosec u)' = -u'·cosec u·cotg u

x → u(x) → cotg u(x)·(cotg u)' = -u'·(1 + cotg² u) = -u'/sen² u

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para funciones trigonométricas

Ejemplo n° 1) Calcular la derivada de ƒ(x) = sen (sen x)

Solución

Si u = sen x, u' = cos x

ƒ'(x) = [sen (sen x)]' = u'·cos u = cos x·cos (sen x)

Ejemplo n° 2) Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Solución

  • u = x² - 1; u' = 2·x
  • g'(x) = [sec (x² - 1)]' = u'·sec u·tg u = 2·x·sec (x² - 1)·tg (x² - 1)

Ejemplo n° 3) Calcular la derivada de h(x) = sen³x²

Solución

  • Llamando u = sen x², hay que derivar sen³ x² = u³
  • Por la regla de la cadena, la derivada de u³ es (u³)' = 3·u² ·u'

Llamando v = x²; u = sen v.

u' = v'·cos v = 2·x·cos x²

Finalmente, h'(x) = (sen³ x²)' = 3·u²·u' = 3·sen² x²·2·x·cos x² = 6·x·sen² x²·cos x²

Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Derivada de la función inversa

Si una función y = ƒ(x) admite una función inversa ƒ-1 y la función ƒ(x) es derivable en un punto x0, entonces la función ƒ-1 es derivable en el punto ƒ(x0).

En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:

x → xn → (xn)1/n = x

Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:

x → xm → xm/n

Derivada de la función x1/n

Sea u = x1/n; elevando a n, un = x.

Derivando ambos miembros se observa que:

(un)' = n·un - 1

x' = 1

⇒ n·un - 1·u' = 1

Despejando u',

Derivada de una función

En particular, la derivada de la función ƒ(x) = x es (x½)' = 1/(2·x½) = 1/(2·x)

Derivada de la función xm/n

Sea ƒ(x) = xm/n

Se eleva a n, ƒ(x)n = xm

Se deriva:

n·ƒ(x)n - 1·ƒ'(x) = m·xm - 1

Pero ƒ(x)n - 1 = (xm/n)n - 1

Despejando ƒ(x),

Derivada de una función

Regla de la cadena para las funciones u1/n y um/n

Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la función x, se obtienen las siguientes derivadas:

Derivada de una función

Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena.

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para funciones u1/n y um/n

Ejemplo n° 1) ¿Cuál es la función derivada de ƒ(x) = x² + sen x

Solución

  • Se escribe la raíz en forma de potencia: x² + sen x = (x² + sen x)½
  • Se trata de calcular una derivada de la forma u½

Si u = x² + sen x, u' = 2·x + cos x

Ejemplo n° 2) Obsérvese que en este caso n = 2

Derivada de una función

Solución

1) Se escribe la raíz en forma de potencia:

Derivada de una función

2) Calcular la derivada de ƒ(x) = Derivada de una función

Se aplica la fórmula Derivada de una función

Derivada de una función

Funciones trigonométricas inversas

La función sen x definida en [-π/2, π/2] toma todos los valores del intervalo [-1, 1] una sola vez, es decir, dos números distintos de [-π/2, π/2] alcanzan valores distintos en [-1, 1].

Esto quiere decir que existe una aplicación biyectiva de [- π/2, π/2] a [-1, 1] mediante la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de ƒ(x) = sen x, llamada «arco-seno» y que se simboliza por arcsen x.

Así,

Derivada de funciones trigonométricas inversas

x ——→ ƒ(x) = sen x ——→ ƒ-1 [ƒ(x)] = ƒ-1 (sen x) = arcsen (sen x) = x

Derivada de la función arcsen x

Si y = arcsen x = ƒ-1(x), aplicando ƒ, ƒ(y) = ƒ(ƒ-1(x)) = x, es decir, sen y = x.

Derivando respecto a x, por la regla de la cadena, y'·cos y = 1 ó y' = 1/cos y

De la conocida fórmula sen² y + cos² y = 1, cos² y = 1 - sen² y ⇒ cos y = ±1 - sen² y

Pero en el intervalo [-π/2, π/2] la función cos y es positiva, por lo que cos y = 1 - sen² y

Por último, y puesto que sen y = x, cos y = 1 - x²

Llevando este resultado a la expresión y', y' = 1/1 - x²

Si h(x) = arcsen x ⇒ h'(x) = 1/1 - x²

Derivada de la función arccos x

Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arccos x.

De y = arccos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = -y'·sen y ⇒ y' = -1/sen y

Como sen y = 1 - cos² y = 1 - x², y' = -1/1 - x²

Si h(x) = arccos x ⇒ h'(x) = -1/1 - x²

Derivada de la función arctg x

La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arctg x.

y = arctg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = y'·(1 + tg² y) = y'·(1 + x²). Despejando y', y' = 1/(1 + x²)

Si h(x) = arctg x ⇒ h'(x) = 1/(1 + x²)

Derivada de la función arccotg x

La inversa de la función cotg x se llama arco-cotangente y se simboliza por arccotg x.

Si y = arccotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,

1 = -y'·(1 + cotg² y) = -y'·(1 + x²). Despejando y', y' = -1/(1 + x²)

Si h(x) = arccotg x ⇒ h'(x) = -1/(1 + x²)

Derivada de la función arcsec x

Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada por arcsec x.

y = arcsec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,

1 = y'·sec y·tg y = y'·x·tg y (1)

Por trigonometría se sabe que 1 + tg² y = 1/cos² y = sec² y = x², de donde

tg² y = x² - 1 tg y = x² - 1

Sustituyendo este valor en la igualdad (1), 1 = y'·x·x² - 1, y despejando y',

y' = 1/x·x² - 1

Si h(x) = arcsec x ⇒ h'(x) = 1/x·x² - 1

Derivada de la función arccosec x

Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,

y = arccosec x, x = cosec y

Derivando: 1 = - y'·cosec y·cotg y = - y'·x·cotg y (1)

Como

1 + cotg² y = 1/sen² y = cosec² y = x², cotg² y = x² - 1

Llevando este resultado a la igualdad (1) y despejando y',

y' = -1/x·x² - 1

Si h(x) = arccosec x ⇒ h'(x) = -1/x·x² - 1

Regla de la cadena trigonométrica inversas

Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:

ƒ(x)

ƒ'(x)

arcsen u

Derivada del arco seno

arccos u

- Derivada del arco coseno

arctg u

u'/(1 + u²)

arccotg u

-u'/(1 + u²)

arcsec u

Derivada del arco secante

arccosec u

- Derivada del arco cosecante

Ejemplos de cálculo de derivadas aplicando la regla de la cadena para funciones trigonométricas inversas

Ejemplo n° 1) Calcular la derivada de y = arcsen [(x + 1)/(x - 1)]

Solución

Si u = [(x + 1)/(x - 1)], por la derivada del cociente,

Derivada de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo n° 2) Hallar la derivada de y = arctg (ln x)/x

Solución

Llamando

Derivada de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo n° 3) Calcular la derivada de y = arcsec (5·x³/3)

Solución

Derivada de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo n° 4) ¿Cuál es la derivada de y = arccosec x² - 1

Solución

Derivada de funciones trigonométricas inversas

Diferencial de una función

Sea una función y = ƒ(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Si α es el ángulo que forma la tangente con el eje X, tg α = ƒ'(x) = AC/h

Diferencial de una función en un punto

Se define diferencial de una función y = ƒ(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó dƒ(x), al producto ƒ'(x)·h. Por tanto,

dy = dƒ(x) = ƒ'(x)·h

Propiedades de la diferencial

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Al ser dy = ƒ'(x)·h = AC, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad:

Si se considera la función y = ƒ(x) = x, dƒ(x) = dx = ƒ'(x)·h = 1·h = h. Así, dx = h y se puede escribir

d(ƒ(x)) = dy = ƒ'(x)·dx, y pasando dx al primer miembro, dy/dx = ƒ'(x).

Cuarta propiedad:

Puesto que dy = ƒ'(x) =   [ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h, de la noción de límite se deduce que cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a [ƒ(x + h) - ƒ(x)]/h, y puesto que h = dx, dy es prácticamente igual a ƒ(x + h) - ƒ(x).

Es decir, dy ≈ ƒ(x + h) - ƒ(x). Esta propiedad permitirá sustituir dy por ƒ(x + h) - ƒ(x) cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejemplos de cálculos aproximados utilizando la diferencial

Ejemplo n° 1) Un móvil se mueve según la relación s = 5·t² + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.

Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre 7 segundos y (7 + 1/3) segundos.

Desarrollo

Datos:

s = 5·t² + t

t1 = 7 s

t2 = (7 + 1/3) s

Solución

Diferenciando la expresión s = 5·t² + t,

ds = (10·t + 1)·dt

Por otro lado, dt = 7 + 1/3 - 7 = 1/3

Sustituyendo en la expresión de ds,

ds = (10·7 + 1)/3 = 23,66 metros

En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

s = 5·(7 + 1/3)² + (7 + 1/3) - (5·7² + 7) = 24,18 m

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm

Ejemplo n° 2) Calcular 3,05²

Solución

Para encontrar un resultado aproximado de 3,05² se considera la función y = x²

Diferenciando esta función, dy = 2·x·dx

Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.

En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05

dyx = 3 = 2·3·0,05 = 0,30

Por tanto, aproximadamente, 3,05² = 9 + 0,30 = 9,30.

Si se calcula con exactitud el valor de 3,05² se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!

Copyright © 2.000-2.028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/derivadas/ap06-regla-de-la-cadena.php

 
 
 
 

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

¡Gracias!

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.
Aceptar