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Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

Problema n° 7 de ecuaciones diferenciales

Enunciado del ejercicio n° 7

y" - y' - 2·y = x² + cos x

Cálculo de las raíces:

λ² - λ - 2 = 0

λ1,2 =-(-1) ± (-1)² - 4·1·(-2)
2·1
λ1,2 =1 ± 1 + 8
2
λ1,2 =1 ± 9
2
λ1,2 =1 ± 3
2

λ1 = 2

λ2 = -1

La integral homogénea es:

y* = c1·e2·x + c2·e-1·x

Cálculo de la integral particular:

y1 = a·x² + b·x + c

y2 = d·cos x + e·sen x

Sus derivadas son:

y1' = 2·a·x + b

y1" = 2·a

y2' = -d·sen x + e·cos x

y2" = -d·cos x - e·sen x

La primer integral debe verificar:

y"1 - 1·y'1 - 2·y1 = x²

2·a - 2·a·x - b - 2·(a·x² + b·x + c) = x²

2·a - 2·a·x - b - 2·a·x² - 2·b·x - 2·c = x²

-2·a·x² - 2·a·x - 2·b·x + 2·a - b - 2·c = x²

-2·a = 1

a = -½

-2·a - 2·b = 0

a + b = 0

b = -a

b = -(-½)

b = ½

2·a - b - 2·c = 0

2·a - b = 2·c

2·(-½) - ½ = 2·c

-1 - ½ = 2·c

-3/2 = 2·c

c = - ¾

Una primera integral particular es:

y1 = x²/2 + x/2 - ¾

La segunda integral debe verificar:

y"2 - y'2 - 2·y2 = cos x

y' = a·ex + b·x·ex

y" = a·ex + a·ex + b·x·ex

y"2 - y'2 - 2·y2 = cos x

⇒ -d·cos x - e·sen x - (-d·sen x + e·cos x) - 2·(d·cos x + e·sen x) = cos x

⇒ -d·cos x - e·sen x + d·sen x - e·cos x - 2·d·cos x - 2·e·sen x = cos x

⇒ -d·cos x - e·cos x - 2·d·cos x - e·sen x + d·sen x - 2·e·sen x = cos x

⇒ (-d - e - 2·d)·cos x + (-e + d - 2·e)·sen x = cos x

⇒ -d - e - 2·d = 1

⇒ -e - 3·d = 1

⇒ -e + d - 2·e = 0

⇒ d - 3·e = 0

⇒ d = 3·e

⇒ -e - 3·(3·e) = 1

⇒ -e - 9·e = 1

⇒ -10·e = 1

e = -⅒

⇒ d = 3·(-⅒)

d = -3/10

La segunda integral es:

y2 = -3·(cos x)/10 - (sen x)/10

Luego la integral general es:

y = C1·e2·x + C2·e-x - x²/2 + x/2 - ¾ - 3·(cos x)/10 - (sen x)/10

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