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Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales
Problema n° 7 de ecuaciones diferenciales
Enunciado del ejercicio n° 7
y" - y' - 2·y = x² + cos x
Cálculo de las raíces:
λ² - λ - 2 = 0
| λ1,2 = | -(-1) ± √(-1)² - 4·1·(-2) |
| 2·1 |
| λ1,2 = | 1 ± √1 + 8 |
| 2 |
| λ1,2 = | 1 ± √9 |
| 2 |
| λ1,2 = | 1 ± 3 |
| 2 |
λ1 = 2
λ2 = -1
La integral homogénea es:
y* = c1·e2·x + c2·e-1·x
Cálculo de la integral particular:
y1 = a·x² + b·x + c
y2 = d·cos x + e·sen x
Sus derivadas son:
y1' = 2·a·x + b
y1" = 2·a
y2' = -d·sen x + e·cos x
y2" = -d·cos x - e·sen x
La primer integral debe verificar:
y"1 - 1·y'1 - 2·y1 = x²
2·a - 2·a·x - b - 2·(a·x² + b·x + c) = x²
2·a - 2·a·x - b - 2·a·x² - 2·b·x - 2·c = x²
-2·a·x² - 2·a·x - 2·b·x + 2·a - b - 2·c = x²
-2·a = 1
a = -½
-2·a - 2·b = 0
a + b = 0
b = -a
b = -(-½)
b = ½
2·a - b - 2·c = 0
2·a - b = 2·c
2·(-½) - ½ = 2·c
-1 - ½ = 2·c
-3/2 = 2·c
c = -¾
Una primera integral particular es:
y1 = x²/2 + x/2 - ¾
La segunda integral debe verificar:
y"2 - y'2 - 2·y2 = cos x
y' = a·ex + b·x·ex
y" = a·ex + a·ex + b·x·ex
y"2 - y'2 - 2·y2 = cos x
⇒ -d·cos x - e·sen x - (-d·sen x + e·cos x) - 2·(d·cos x + e·sen x) = cos x
⇒ -d·cos x - e·sen x + d·sen x - e·cos x - 2·d·cos x - 2·e·sen x = cos x
⇒ -d·cos x - e·cos x - 2·d·cos x - e·sen x + d·sen x - 2·e·sen x = cos x
⇒ (-d - e - 2·d)·cos x + (-e + d - 2·e)·sen x = cos x
⇒ -d - e - 2·d = 1
⇒ -e - 3·d = 1
⇒ -e + d - 2·e = 0
⇒ d - 3·e = 0
⇒ d = 3·e
⇒ -e - 3·(3·e) = 1
⇒ -e - 9·e = 1
⇒ -10·e = 1
⇒ e = -⅒
⇒ d = 3·(-⅒)
⇒ d = -3/10
La segunda integral es:
y2 = -3·(cos x)/10 - (sen x)/10
Luego la integral general es:
y = C1·e2·x + C2·e-x - x²/2 + x/2 - ¾ - 3·(cos x)/10 - (sen x)/10
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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