Guía nº 1 de ejercicios de ecuaciones diferenciales

Resolver los siguientes ejercicios

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Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. Cuando se indique, hallar la integral particular que verifica las condiciones iniciales impuestas.

Problema nº 1

y" - 2·y' - 3·y = e⁻ˣ/2

• Respuesta: = -x·e⁻ˣ/8; y* = C₁·e³˙ˣ + C₂·e⁻¹˙ˣ - x·e⁻ˣ/8

Problema nº 2

y" - y = x

• Respuesta: y = -1·x; y* = c₁·eˣ + c₂·e⁻ˣ - x

Problema nº 3

y" - y = eˣ

• Respuesta: y = x·eˣ/2; y = C₁·eˣ + C₂·e⁻ˣ + x·eˣ/2

Problema nº 4

y" + 4·y = 16·x·sen 2·x

Problema nº 5

y" - 4·y' + 5·y = 2·e²˙ˣ·cos x

Problema nº 6

y" + ω₀·y = A·sen (ω·t)

Con:

A > 0

ω > 0

ω₀ > 0

Distinguir:

ω ≠ ω₀

ω = ω₀

Problema nº 7

y" - y' - 2·y = x² + cos x

• Respuesta: ₁ = x²/2 + x/2 - ¾; ₂ = -3·(cos x)/10 - (sen x)/10; y = C₁·e²˙ˣ + C₂·e⁻ˣ - x²/2 + x/2 - ¾ - 3·(cos x)/10 - (sen x)/10

Problema nº 8

y" + y = 1 + sen 2·x

y(0) = 1

y'(0) = 0

Problema nº 9

y" + 4·y = 3·cos 2·x - 7·x²

y(0) = 0

y'(0) = 0

Problema nº 10

y" + 4·y' + 4·y = x·eˣ + sen x

• Respuesta: ₁ = x·eˣ/9 - 2·eˣ/27; ₂ = -4·(cos x)/25 + 3·(sen x)/25; y = C₁·e⁻²˙ˣ + C₂·x·e⁻²˙ˣ + x·eˣ/9 - 2·eˣ/27 - 4·(cos x)/25 + 3·(sen x)/25

Problema nº 11

y" - 2·y' + 10·y = -e⁻²˙ˣ

y(0) = 0

y'(0) = 0

Problema nº 12

y" + 9·y = 1

y(0) = 0

y'(0) = 1