Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado

Problema n° 1-c y 1-d de ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio n° 1-c y 1-d

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

c)	x + 1	+	x - 3	=	5
	x + 3		x - 1		4

d)	x + 1	+	3·x	=	1
	(x + 2)²		x + 2		4

Solución

c)

x + 1	+	x - 3	=	5
x + 3	+	x - 1	=	4

Igualamos a cero:

x + 1	+	x - 3	-	5	= 0
x + 3		x - 1		4

Sumamos las fracciones, el denominador común será "4·(x + 3)·(x - 1)":

4·(x + 1)·(x - 1) + 4·(x - 3)·(x + 3) - 5·(x + 3)·(x - 1)	= 0
4·(x + 3)·(x - 1)

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "4·(x + 3)·(x - 1)" y, luego, cancelamos:

4·(x + 1)·(x - 1) + 4·(x - 3)·(x + 3) - 5·(x + 3)·(x - 1) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

4·(x² - 1) + 4·(x² - 9) - 5·(x² + 3·x - x - 3) = 0

4·x² - 4 + 4·x² - 36 - 5·x² - 10·x + 15 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

4·x² + 4·x² - 5·x² - 10·x + 15 - 4 - 36 = 0

3·x² - 10·x - 25 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 3

b = -10

c = -25

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-10) ± √(-10)² - 4·3·(-25)
	2·3

x_1,2 =	10 ± √100 + 300
	6

x_1,2 =	10 ± √400
	6

x_1,2 =	10 ± 20
	6

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	10 + 20
	6

x₁ =	30
	6

x₁ = 5

x₂ =	10 - 20
	6

x₂ =	-10
	6

x₂ =	-5
	3

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

3·x² - 10·x - 25 = 0

Las raíces son:

x₁ = 5

x₂ =	-5
	3

d)

x + 1	+	3·x	=	1
(x + 2)²	+	x + 2	=	4

Igualamos a cero:

x + 1	+	3·x	-	1	= 0
(x + 2)²		x + 2		4

Sumamos las fracciones, el denominador común será "4·(x + 2)²":

4·(x + 1) + 4·3·x·(x + 2) - (x + 2)²	= 0
4·(x + 2)²

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "4·(x + 2)²" y, luego, cancelamos:

4·(x + 1) + 12·x·(x + 2) - (x + 2)² = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

4·x + 4 + 12·x² + 24·x - (x² + 4·x + 4) = 0

4·x + 4 + 12·x² + 24·x - x² - 4·x - 4 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

12·x² - x² + 4·x + 24·x - 4·x + 4 - 4 = 0

11·x² + 24·x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(11·x + 24) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ 11·x + 24 = 0

11·x + 24 = 0

11·x = -24

x =	-24
	11

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

11·x² + 24·x = 0

Las raíces son:

x₁ = 0

x₂ =	-24
	11

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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