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Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales NO homogéneas. TP-01

Ecuaciones diferenciales: Solución del ejercicio n° 7 de ecuaciones diferenciales NO homogéneas. TP-01

Problema n° 7 de ecuaciones diferenciales. TP-01

Problema n° 7) y" - y´ - 2.y = x² + cos x

Cálculo de las raíces:

λ² - λ - 2 = 0

La integral homogénea es:

y* = c1.e².x + c2.e-1.x

Cálculo de la integral particular:

y1 = a.x² + b.x + c

y2 = d.cos x + e.sen x

Sus derivadas son:

y1´ = 2.a.x + b

y1" = 2.a

y2´ = -d.sin x + e.cos x

y2" = -d.cos x - e.sen x

La primer integral debe verificar:

y"1 - 1.y´1 - 2.y1 = x²

2.a - 2.a.x - b - 2.(a.x² + b.x + c) = x²

2.a - 2.a.x - b - 2.a.x² - 2.b.x - 2.c = x²

- 2.a.x² - 2.a.x - 2.b.x + 2.a - b - 2.c = x²

- 2.a = 1
a = -1/2

- 2.a - 2.b = 0
a + b = 0
b = -a
b = -(-1/2)
b = 1/2

2.a - b - 2.c = 0
2.a - b = 2.c
2.(-1/2) - 1/2 = 2.c

-1 - 1/2 = 2.c
- 3/2 = 2.c
c = - 3/4

Una primera integral particular es:

y1 = x²/2 + x/2 - 3./4

La segunda integral debe verificar:

y"2 - y´2 - 2.y2 = cos x

y´ = a.ex + b.x.ex

y" = a.ex + a.ex + b.x.ex

y"2 - y´2 - 2.y2 = cos x

-d.cos x - e.sen x - (-d.sen x + e.cos x) - 2.(d.cos x + e.sen x) = cos x

-d.cos x - e.sen x + d.sen x - e.cos x - 2.d.cos x - 2.e.sen x = cos x

-d.cos x - e.cos x - 2.d.cos x - e.sen x + d.sen x - 2.e.sen x = cos x

(-d - e - 2.d).cos x + (-e + d - 2.e).sen x = cos x

-d - e - 2.d = 1
- e - 3.d = 1

-e + d - 2.e = 0
d - 3.e = 0
d = 3.e

- e - 3.(3.e) = 1
- e - 9.e = 1
-10.e = 1
e = -1/10

d = 3.(-1/10)
d = -3/10

La segunda integral es:

y2 = -3.(cos x)/10 - (sen x)/10

Luego la integral general es:

y = C1.e2.x + C2.e-x - x²/2 + x/2 - 3/4 - 3.(cos x)/10 - (sen x)/10

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