Fisicanet ®

Estimadores puntuales y por intervalo de confianza para media y varianza poblacionales

Introducción al tema

• El único método científico para validar conclusiones sobre un grupo de individuos a partir de la información que nos proporciona un subconjunto más o menos amplio de los mismos es el Método Estadístico

• En el experimento típico, el objetivo básico es estimar algunas características que describan la población de interés. Es decir:

▫ Estimar los parámetros que caracterizan a la función de probabilidad de la variable aleatoria en estudio

Mapa conceptual

Mapa conceptual del método estadístico
Mapa conceptual

Veamos el caso de un especialista en producción animal:

Después de alimentar un lote de terneros con una ración alimenticia particular, necesita expresar numéricamente el aumento medio de peso de sus animales

En este caso, suponemos que se dispone de los conocimiento suficientes como para decir:

La variable aleatoria x de nuestro problema, tiene una función de probabilidad conocida: ƒ(X; θ1; θ2; …; θp) y depende de:

Parámetros θ1 hasta θp que son desconocidos.

Podría ocurrir que el aumento de peso de los terneros siguieran una distribución normal con media μ y varianza σ²

En este caso el experimentador persigue como objetivo, estimar a μ y σ²

Lo hará a partir de la manipulación de un conjunto de observaciones que ha de seleccionar de la población y que constituirán una muestra aleatoria de la misma.

Razonamiento a seguir:

Es decir inferir de la muestra a la población

Inferencia Estadística

La inferencia estadística es la forma de tomar decisiones basadas en probabilidades y presenta dos aspectos:

1. Estimación de parámetros:
  • Puntual
  • Por intervalos
2. Prueba de Hipótesis con respecto a una función elegida como modelo

En esta clase discutiremos estos puntos

Estimación Puntual

Estimadores puntuales de los parámetros de una población normal

Sea una muestra aleatoria simple, X1, X2, ……, Xn de una población con distribución N(μ, σ²).

-Estimador de la media

Fórmula del estimador de la media

La distribución muestral de la media es:

x ≡ N(μ, σ/n)

Estimadores puntuales de los parámetros de una población normal

S/n estima a la desviación típica de la media σ/n y se denomina error estándar de la media muestral, por esta razón se dice que el error estándar de la media mide la variabilidad de la media en el muestreo.

-Estimador de la Varianza

Varianza muestral

Fórmula del estimador de la varianza muestral

Sea X1, X2, …, Xn, una muestra aleatoria simple de una población X ≡ N(μ, σ²), entonces la variable aleatoria.

Variable aleatoria

Sigue una ji-cuadrado con n - 1 grados de libertad.

Del resultado anterior se deduce que la variable (n - 1)·S²/σ² sigue una distribución ji-cuadrado con n - 1 grados de libertad.

Realizada la estimación de un parámetro cabe preguntarse:

  1. ¿Es exacta la estimación?
  2. ¿Es probable que la estimación sea alta o baja?
  3. ¿Con otra muestra se obtendría el mismo resultado, o bastante diferente?
  4. La calidad de un procedimiento de estimación ¿mejora bastante si la estadística de la muestra es menos variable e insesgada a la vez?

Estimadores y propiedades deseables de los estimadores

La distancia entre el estimador y el parámetro a estimar puede medirse mediante los que se denomina el error cuadrático medio, que se define como el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre el estimador y el verdadero parámetro.

ECM (Θ) = E(Θ - θ)²

El ECM es importante ya que puede escribirse como

ECM (Θ) = AVR (Θ) + [θ - E(Θ)]²

Una es la varianza del estimador y otra el cuadrado del sesgo.

Ausencia de sesgo

Se dice que un estimador es insesgado (o centrado) si la esperanza del estimador coincide con el parámetro a estimar E(Θ) = θ.

Consistencia

Se dice que un estimador es consistente si se aproxima cada vez más al verdadero valor del parámetro a medida que se aumenta el tamaño muestral.

Pr[(Θ - θ) > ε] → 0

n → ∞, ε > 0

La distribución del estimador se concentra más alrededor del verdadero parámetro cuando el tamaño muestral aumenta.

Eficiencia

Es claro que un estimador será tanto mejor cuanto menor sea su varianza, ya que se concentra más alrededor del verdadero valor del parámetro. Se dice que un estimador insesgado es eficiente si tiene varianza mínima.

Suficiencia

Un estimador es suficiente si utiliza una cantidad de la información contenida en la muestra de manera que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se está estimando.

Efectos de la variabilidad y el sesgo

Sesgo negativo
(subestimación)
Insesgada
(estimación en el blanco)
Sesgo positivo
(sobreestimación)
Alta variaciónAlta variación, sesgo negativoAlta variación, insesgadaAlta variación, sesgo positivo
Baja variaciónBaja variación, sesgo negativoBaja variación, insesgadaBaja variación, sesgo positivo

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.