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Operaciones con funciones. AP02

Contenido: Operaciones con funciones. Suma y resta de funciones. Producto y cociente de funciones.

Operaciones con funciones

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a·f)(x) = a·f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones:

f(x) = 3·x + 1

g(x) = 2·x - 4

Definir la función (f + g) y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

La función f + g se define como:

  • (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2·x - 4 = 5·x - 3
  • (f + g)(2) = 5·2 - 3 = 7
  • (f + g)(-3) = 5·(-3) - 3 = -18
  • (f + g)(1/5) = 5·1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3·2 + 1 = 7

(f + g)(2) = 7 + 0 = 7

g(2) = 2·2 - 4 = 0

Dadas las funciones:

f(x) = x² - 3

g(x) = x + 3

Definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

  • (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6
  • (f - g)(1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = - 56/9
  • (f - g)(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = - 0
  • (f - g)(0) = (0)² - 0 - 6 = - 6

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones:

f(x) = x/2 - 3

g(x) = 2·x + 1

Definir la función f·g.

Solución

(f·g)(x) = f(x)·g(x) = (x/2 - 3)·(2·x + 1) = x² - 11·x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones

f(x) = - x - 1

g(x) = 2·x + 3

Definir f/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2·x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

  • (f/g)(-1) = 0/1 = 0
  • (f/g)(2) = -3/7
  • (f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x² + x - 2, calcular 3·f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3·f.

Resolución:

  • (3·f)(x) = 3·f(x) = 3·(x² + x - 2) = 3·x² + 3·x - 6
  • (1/3)·f(x) = (1/3)·(x² + x - 2)
  • (3·f)(2) = 3·2² + 3·2 - 6 = 12
  • (3·f)(1) = 3·1² + 3·1 - 6 = 0
  • (3·f)(0) = 3·0² + 3·0 - 6 = - 6

Composición de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de en , por (g o f)(x) = g[f(x)].

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

f
— >

g
— >

x → f(x) → g[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1- Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2- Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio: composición de funciones

Sean las funciones:

f(x) = x + 3

g(x) = x²

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

(g o f)(x) = g[f(x)] = g[(x + 3)] = (x + 3)²

f
— >

g
— >

x → f(x) = x + 3 → g[f(x)] = g(x + 3) = (x + 3)²

La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

  • (g o f)(1) = g[f(1)] = g(1 + 3) = g(4) = 4² = 16
  • (g o f)(0) = g[f(0)] = g(0 + 3) = g(3) = 3² = 9
  • (g o f)(-3) = g[f(-3)] = g(-3 + 3) = g(0) = 0² = 0

Dadas las funciones:

f(x) = x² + 1

g(x) = 3·x - 2

Calcular:

  1. (g o f)(x)
  2. (f o g)(x)
  3. (g o f)(1) y (f o g)(-1)
  4. El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

a) La función g o f está definida por:

f
— >

g
— >

x → f(x) = x² + 1 → g[f(x)] = g(x² + 1) = 3·(x² + 1) - 2 = 3·x² + 3 - 2 = 3·x² + 1

b) La función f o g está definida por:

g
— >

f
— >

x → g(x) = 3·x - 2 → f[g(x)] = (3·x - 2)² + 1 = 9·x² + 4 - 12·x + 1 = 9·x² - 12·x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9·1² - 12·1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9·(-1)² - 12·(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f)(x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3·x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4

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