Operaciones con funciones. AP02

Contenido: Operaciones con funciones. Suma y resta de funciones. Producto y cociente de funciones.

Operaciones con funciones

Suma de funciones

Sean ƒ y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por ƒ + g, a la función definida por

(ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real ƒ y g, como la función

(ƒ - g)(x) = ƒ(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que ƒ y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean ƒ y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de ƒ y g a la función definida por

(ƒ·g)(x) = ƒ(x)·g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, ƒ y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de ƒ y g a la función definida por

(ƒ/g)(x) = ƒ(x)/g(x)

(La función ƒ/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función ƒ, el producto del número por la función es la función definida por

(a·ƒ)(x) = a·ƒ(x)

Ejemplos de operaciones con funciones

Ejemplo n° 1) Sean las funciones:

ƒ(x) = 3·x + 1

g(x) = 2·x - 4

Definir la función (ƒ + g) y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Solución

La función ƒ + g se define como:

  • (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) = x + 1 + 2·x - 4 = 5·x - 3
  • (ƒ + g)(2) = 5·2 - 3 = 7
  • (ƒ + g)(-3) = 5·(-3) - 3 = -18
  • (ƒ + g)(1/5) = 5·1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de ƒ y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

ƒ(2) = 3·2 + 1 = 7

(ƒ + g)(2) = 7 + 0 = 7

g(2) = 2·2 - 4 = 0

Ejemplo n° 2) Dadas las funciones:

ƒ(x) = x² - 3

g(x) = x + 3

Definir la función (ƒ - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función ƒ - g.

Solución

  • (ƒ - g)(x) = ƒ(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6
  • (ƒ - g)(1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = - 56/9
  • (ƒ - g)(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = - 0
  • (ƒ - g)(0) = (0)² - 0 - 6 = - 6

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones ƒ y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo n° 3) Dadas las funciones:

ƒ(x) = x/2 - 3

g(x) = 2·x + 1

Definir la función ƒ·g.

Solución

(ƒ·g)(x) = ƒ(x)·g(x) = (x/2 - 3)·(2·x + 1) = x² - 11·x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones ƒ y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Ejemplo n° 4) Dadas las funciones

ƒ(x) = - x - 1

g(x) = 2·x + 3

Definir ƒ/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante ƒ/g.

Solución

(ƒ/g)(x) = ƒ(x)/g(x) = (-x - 1)/(2·x + 3)

La función ƒ/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

  • (ƒ/g)(-1) = 0/1 = 0
  • (ƒ/g)(2) = -3/7
  • (ƒ/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones ƒ y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Ejemplo n° 5) Dada la función ƒ(x) = x² + x - 2, calcular 3·ƒ y ƒ/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3·ƒ.

Solución

  • (3·ƒ)(x) = 3·ƒ(x) = 3·(x² + x - 2) = 3·x² + 3·x - 6
  • (1/3)·ƒ(x) = (1/3)·(x² + x - 2)
  • (3·ƒ)(2) = 3·2² + 3·2 - 6 = 12
  • (3·ƒ)(1) = 3·1² + 3·1 - 6 = 0
  • (3·ƒ)(0) = 3·0² + 3·0 - 6 = - 6

Composición de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, ƒ y g, se llama composición de las funciones ƒ y g, y se escribe g o ƒ, a la función definida de ℜ en ℜ, por (g o ƒ)(x) = g[ƒ(x)].

La función (g o ƒ)(x) se lee «ƒ compuesto con g aplicado a x».

ƒ

g

x → ƒ(x) → g[ƒ(x)]

Primero actúa la función ƒ y después actúa la función g, sobre ƒ(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

  1. Se calcula la imagen de x mediante la función ƒ, ƒ(x).
  2. Se calcula la imagen mediante la función g, de ƒ(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejemplos de composición de funciones

Ejemplo n° 1) Sean las funciones:

ƒ(x) = x + 3

g(x) = x²

Calcular g o ƒ y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Solución

(g o ƒ)(x) = g[ƒ(x)] = g[(x + 3)] = (x + 3)²

ƒ

g

x → ƒ(x) = x + 3 → g[ƒ(x)] = g(x + 3) = (x + 3)²

La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o ƒ es:

  • (g o ƒ)(1) = g[ƒ(1)] = g(1 + 3) = g(4) = 4² = 16
  • (g o ƒ)(0) = g[ƒ(0)] = g(0 + 3) = g(3) = 3² = 9
  • (g o ƒ)(-3) = g[ƒ(-3)] = g(-3 + 3) = g(0) = 0² = 0

Ejemplo n° 2) Dadas las funciones:

ƒ(x) = x² + 1

g(x) = 3·x - 2

Calcular:

  1. (g o ƒ)(x)
  2. (ƒ o g)(x)
  3. (g o ƒ)(1) y (ƒ o g)(-1)
  4. El original de 49 para la función g o ƒ

Solución

a.

La función g o ƒ está definida por:

ƒ

g

x → ƒ(x) = x² + 1 → g[ƒ(x)] = g(x² + 1) = 3·(x² + 1) - 2 = 3·x² + 3 - 2 = 3·x² + 1

b.

La función ƒ o g está definida por:

g

ƒ

x → g(x) = 3·x - 2 → f[g(x)] = (3·x - 2)² + 1 = 9·x² + 4 - 12·x + 1 = 9·x² - 12·x + 5

Obsérvese que g o ƒ ≠ ƒ o g.

c.

Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o ƒ)(1) = 9·1² - 12·1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o ƒ)(-1) = 9·(-1)² - 12·(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d.

El original de 49 para la función g o ƒ será un número x, tal que (g o ƒ)(x) = 49.

(g o ƒ)(x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3·x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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