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Funciones simétricas
Funciones pares
Una función ƒ(x) es par cuando cumple ƒ(x) = ƒ(-x).
Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.
ƒ(2) = ƒ(-2), ƒ(3) = ƒ(-3), ƒ(1/3) = ƒ(-1/3), …
Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.
Funciones impares
Una función ƒ(x) es impar si cumple ƒ(-x) = - ƒ(x).
A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1 …).
Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Ejemplos de funciones pares e impares
Ejemplo n° 1
Indicar cuáles de estas funciones son pares:
ƒ(x) = x²; g(x) = 3·x + 2; k(x) = |x|
Solución
| ƒ(x) = x² ƒ(-x) = (-x)² = x² | ⇒ ƒ(x) = ƒ(-x) |
La función ƒ(x) es par.
| g(x) = 3·x + 2 g(-x) = 3·(-x) + 2 = -3·x + 2 | ⇒ g(x) ≠ g(-x) |
La función g(x) no es par.
| k(x) = |x| k(-x) = |-x| = |x| | ⇒ k(x) = k(-x) |
k(x) = |x| es una función par.
Ejemplo n° 2
¿Cuáles de estas funciones son impares?:
ƒ(x) = x; g(x) = x³; h(x) = x + 1
Solución
| -ƒ(x) = -x ƒ(-x) = (-x) = -x | ⇒ ƒ(-x) = -ƒ(x) |
Esta función es impar.
| -g(x) = -x³ g(-x) = (-x)³ = -x³ | ⇒ g(-x) = -g(x) |
Esta función es impar.
| -h(x) = -(x + 1) = -x - 1 h(-x) = (-x) + 1 = -x + 1 | ⇒ h(-x) ≠ -h(x) |
h(x) no es una función impar.
Funciones inversas
Dada una función ƒ(x), su inversa es otra función, designada por ƒ-1(x) de forma que se verifica: si ƒ(a) = b, entonces ƒ-1(b) = a
Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:
- Despejar la variable independiente x
- Intercambiar la x por la y, y la y por la x
La función así obtenida es la inversa de la función dada.
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante y del 3er cuadrante.
Ejemplos de cálculo de la función inversa de una dada
Ejemplo n° 1
Hallar la función inversa de y = 5·x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.
Solución
- Se despeja x: x = (y + 2)/5
- Se intercambian ambas variables: y = (y + 2)/5
La función inversa de y = (y + 2)/5
Ejemplo n° 2
Hallar la función inversa de y = + √x, en su campo de existencia, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes
Solución
El campo de existencia de la función y = + √x son todos los números positivos, incluido el cero.
- Se despeja x: x = y²
- Se intercambian ambas variables: y = x²
La función inversa de y = + √x es y = x²
Ejemplo n° 3
Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.
Solución
- Se despeja x: x = -y + 4
- Se intercambian ambas variables:
y = - x + 4.
La función dada coincide con su inversa.
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)