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Funciones simétricas. AP03

Contenido: Funciones simétricas. Funciones pares e impares. Funciones inversas. ¿Cuáles son las funciones pares e impares?

Funciones simétricas

Funciones pares

Una función ƒ(x) es par cuando cumple ƒ(x) = ƒ(-x).

Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

ƒ(2) = ƒ(-2), ƒ(3) = ƒ(-3), ƒ(1/3) = ƒ(-1/3), …

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.

Funciones impares

Una función ƒ(x) es impar si cumple ƒ(-x) = - ƒ(x).

A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1 …).

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos de funciones pares e impares

Ejemplo n° 1) Indicar cuáles de estas funciones son pares:

ƒ(x) = x²; g(x) = 3·x + 2; k(x) = |x|

Solución

ƒ(x) = x²
ƒ(-x) = (-x)² = x²

⇒ ƒ(x) = ƒ(-x)

La función ƒ(x) es par.

g(x) = 3·x + 2
g(-x) = 3·(-x) + 2 = -3·x + 2

⇒ g(x) ≠ g(-x)

La función g(x) no es par.

k(x) = |x|
k(-x) = |-x| = |x|

⇒ k(x) = k(-x)

k(x) = |x| es una función par.

Ejemplo n° 2) ¿Cuáles de estas funciones son impares?:

ƒ(x) = x; g(x) = x³; h(x) = x + 1

Solución

-ƒ(x) = -x
ƒ(-x) = (-x) = -x

⇒ ƒ(-x) = -ƒ(x)

Esta función es impar.

-g(x) = -x³
g(-x) = (-x)³ = -x³

⇒ g(-x) = -g(x)

Esta función es impar.

-h(x) = -(x + 1) = -x - 1
h(-x) = (-x) + 1 = -x + 1

⇒ h(-x) ≠ -h(x)

h(x) no es una función impar.

Funciones inversas

Dada una función ƒ(x), su inversa es otra función, designada por ƒ-1(x) de forma que se verifica: si ƒ(a) = b, entonces ƒ-1(b) = a

Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

  1. Despejar la variable independiente x
  2. Intercambiar la x por la y, y la y por la x
    La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante y del 3er cuadrante.

Ejemplos de cálculo de la función inversa de una dada

Ejemplo n° 1) Hallar la función inversa de y = 5·x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Solución

  • Se despeja x: x = (y + 2)/5
  • Se intercambian ambas variables: y = (y + 2)/5
    La función inversa de y = (y + 2)/5

Ejemplo n° 2) Hallar la función inversa de y = + x, en su campo de existencia, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes

Solución

El campo de existencia de la función y = + x son todos los números positivos, incluido el cero.

  • Se despeja x: x = y²
  • Se intercambian ambas variables: y = x²
    La función inversa de y = + x es y = x²

Ejemplo n° 3) Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Solución

  • Se despeja x: x = -y + 4
  • Se intercambian ambas variables:
    y = - x + 4.
    La función dada coincide con su inversa.

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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