Funciones simétricas

Funciones pares

Una función f(x) es par cuando cumple f(x) = f(-x).

Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

f(2) = f(-2), f(3) = f(-3), f(1/3) = f(-1/3), …

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.

Funciones impares

Una función f(x) es impar si cumple f(-x) = - f(x).

A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1 …).

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Ejercicio: ejemplos de funciones pares e impares

Indicar cuáles de estas funciones son pares:

f(x) = x²; g(x) = 3·x + 2; k(x) = |x|

Resolución:

La función f(x) es par.

La función g(x) no es par.

k(x) = |x| es una función par.

¿Cuáles de estas funciones son impares?:

f(x) = x; g(x) = x³; h(x) = x + 1

Resolución:

Esta función es impar.

Esta función es impar.

h(x) no es una función impar.

Funciones inversas

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

- Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

• Despejar la variable independiente x
• Intercambiar la x por la y, y la y por la x

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1^er cuadrante y del 3^er cuadrante.

Ejercicio: cálculo de la función inversa de una dada

Hallar la función inversa de y = 5·x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

• Se despeja x: x = (y + 2)/5
• Se intercambian ambas variables: y = (y + 2)/5
  la función inversa de y = (y + 2)/5
  2) Hallar la función inversa de y = + √x, en su campo de existencia, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes

Resolución:

El campo de existencia de la función y = + √x son todos los números positivos, incluido el cero.

• Se despeja x: x = y²
• Se intercambian ambas variables: y = x²
  la función inversa de y = + √x es y = x²

Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

• Se despeja x: x = -y + 4
• Se intercambian ambas variables:

y = - x + 4.

La función dada coincide con su inversa.