Funciones variables de variable real

Función real de variable real

"Una función real de variable real es una aplicación ƒ de un subconjunto no vacío D de ℜ en ℜ es decir:

• Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley
• Se llaman funciones reales porque su recorrido es ℜ y de variable real porque el dominio pertenece a ℜ
• x es la anti-imagen de y por ƒ; x es la invariable
• y es la imagen de x por ƒ; y es la variable
• ƒ(x) = y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x
• D es el dominio de la función ƒ y se denota Dom(ƒ) = Dƒ = D

Funciones elementales

Función constante

Donde c perteneciente a ℜ se llama constante para todo x perteneciente a ℜ; Dƒ = ℜ, Im(ƒ):c

Observación:

Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las X o abscisas.

Por lo tanto solo se necesita un punto para visualizarlo.

Función identidad en ℜ:()

Para todo x perteneciente a ℜ; Dƒ = ℜ, Im = ℜ.

La gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Función lineal

Para todo a perteneciente a ℜ y para todo x perteneciente a ℜ Dƒ = ℜ, Im(ƒ) = ℜ.

Casos particulares

Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en ℜ y su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto.

Función valor absoluto en ℜ

ƒ:ℜ → ℜ

x-----ƒ(x) = |x|

Si x es positivo = x.

Si x es 0 = 0.

Si x es negativo = x.

La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las X o abscisas.

Relación entre la gráfica de la función identidad y la función valor absoluto en ℜ: la gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.

Función afín

a y b pertenecientes a ℜ. Para todo x perteneciente a ℜ Dom(ƒ):ℜ, Im(ƒ):ℜ

Observación:

La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de coordenadas, la constante b indica por que punto corta al eje de las Y, por encima o por debajo del eje X.

Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: una función afín siempre tiene asociada una función lineal haciendo b = 0.

Función polinómica

Dom(ƒ):ℜ, Im(ƒ):ℜ.

Función racional

Dom(ƒ):ℜ - {}

Im(ƒ):ℜ

Función "Signo de x"

Dom(Signo): ℜ.

Im(ƒ):{-1, 0, 1}

Función "Parte entera de x"

Se toma la parte entera de x.

Dom[]: ℜ, Im(ƒ):Z

Observación:

Es un tipo de función escalonada.

Operaciones algebraicas con funciones reales de variable real

Suma de funciones reales de variable real

Sean las funciones reales de variable real:

Si D1 intersecado con D2 es distinto al conjunto vacío entonces se puede definir la suma como:

ƒ + g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ → ℜ

x → (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.

Propiedades:

Conmutativa: (ƒ + g)(x) = (g + ƒ)(x)

Asociativa: [ƒ(x) + g(x)] + h(x) = ƒ(x) + [g(x) + h(x)]

Elemento neutro: para la suma de funciones es la constante 0.

0: ℜ → ℜ

x → 0(x) = 0 para todo x perteneciente a ℜ

ƒ(x) + 0(x) = 0(x) + ƒ(x) = ƒ(x) para todo ƒ(x) perteneciente a F(R, R).

Todo elemento de F(R, R) tiene simétrico que se llama opuesto:

Opuesto de ƒ(x) = -ƒ(x) ya que ƒ(x) + (-ƒ(x)) = 0(x)

Por verificar estas 4 propiedades el par constituido por [F(R, R),+] es grupo conmutativo o abeliano.

Diferencia o resta de funciones

Debido a que (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano entonces se puede definir la resta de funciones como sumar al minuendo el opuesto del sustraendo

Sean las funciones reales de variable real:

Si el Dom(ƒ) intersecado con el Dom de (-g) es distinto del conjunto vacío entonces se puede definir la resta de funciones de la siguiente forma:

ƒ - g:D1 intersecado D2 → ℜ.

x → (ƒ - g)(x) = ƒ(x) + (-g(x)) para todo x perteneciente a D1 y D2.

Multiplicación o producto de funciones reales de variable real

Sean las funciones reales de variable real:

Entonces si D1 intersecado con D2 es distinto del conjunto vacío se puede definir el producto de la siguiente forma:

ƒ·g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ → ℜ

x → ƒ·g(x) = ƒ(x)·g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.

Propiedades:

Conmutativa: ƒ(x)·g(x) = g(x)·ƒ(x) para todo ƒ, g pertenecientes a F(R, R).

Asociativa: [ƒ(x)·g(x)]·h(x) = ƒ(x)·[g(x)·h(x)] para todo ƒ, g, h pertenecientes a F(R, R).

Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1 y se define: u:ℜ → ℜ

x → u(x) = 1 para todo x perteneciente a ℜ.

ƒ(x)·u(x) = u(x)·ƒ(x) = ƒ(x) para todo ƒ perteneciente a F(R, R).

Por tanto por verificar el par [F(R, R),.] estas 3 propiedades es un semigrupo conmutativo con elemento unidad.

Podemos afirmar que la terna (F(R, R),+,.) por verificar:

1. El par (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano
2. El par (F(R, R),.) tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento unidad
3. Por tener la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

ƒ(x)·(g(x) + h(x)) = (ƒ(x)·g(x)) + (ƒ(x)·h(x))

Es un anillo conmutativo con elemento unidad.

Producto de una función por un número real

Sea una función real de variable real:

Sea λ un número real cualquiera.

Se define el producto de λ por ƒ y se denota como la función: ƒ:D ⊂ ℜ → ℜ

x → (λ)(x) = λ·ƒ(x) para todo x perteneciente a D.

Dom = Dom(ƒ) = D

Propiedades:

• Distributiva del producto respecto de los escalares
• Distributiva del producto respecto de las funciones
• Asociatividad de los escalares
• Elemento meutro

Se dice que la terna (F(D,ℜ),+,.) tiene estructura de espacio vectorial.

Función recíproca de una dada:

Sea una función real de variable real:

Sea Dom = {Todos los puntos del dominio de ƒ donde la función no se anula} ⊂ D.

Si Dom es distinto del conjunto vacío se puede definir la función recíproca de la siguiente forma:

Para todo x perteneciente a Do.

Se verifica que:

(ƒ·1/ƒ)(x) = (1/ƒ·ƒ)(x) = u(x) = función constante igual a 1.

Cociente de dos funciones reales de variable real:

No estará definida en los puntos donde se anule el denominador

Sean dos funciones reales de variable real tales que g(x) es distinto de 0 para todo x perteneciente a Dom (g) = D2.

Simetría, monotonía y acotación de funciones reales de variable real:

Simetria de funciones:

Hay dos tipos de simetría diferente:

1. Simetría con respecto al eje Y: función par
2. Simetría con respecto al origen de coordenadas: función impar

1. Función par:

"Una función real de variable reales par y su gráfica es simétrica al eje y si para todo x perteneciente al Dom(ƒ) se verifica:

-x pertenece al dominio de ƒ (se verifica si el Dom(ƒ) es ℜ).

ƒ(-x) sea igual ƒ(x)

Gráfica: Su gráfica es simétrica respecto al eje Y.

2. Función impar:

Una función real de variable real es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas si para todo x perteneciente al Dom(ƒ) verifica:

-x pertenece a Dom(ƒ)

ƒ(-x) = -ƒ(x)

Gráfica: Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Acotación de funciones

Para este apartado se empleara la teoria de intervalos, acotación de un subcojunto de ℜ y la teoria de funciones ya vista.

Función acotada superiormente:

"Se dice que ƒ está acotada superiormente en D si el subconjunto ƒ(D) es una parte acotada superiormente de ℜ es decir si existe K1 perteneciente a ℜ tal que ƒ(x) sea menor o igual que K1 para todo x perteneciente a D".

• Nota: K1 y todos los números mayores que este se llaman cotas superiores.

Función acotada inferiormente:

"Se dice que ƒ está acotada superiormente en D si el subconjunto ƒ(D) es una parte acotada inferiormente de ℜ es decir si existe K2 perteneciente a ℜ tal que ƒ(x) es mayor o igual que K2 para todo x perteneciente a D".

• Nota: K2 y todos los números menores que este se llaman cotas inferiores.

Funciones acotadas:

"Una función está acotada en D si su imagen es un conjunto acotado en ℜ es decir si existen K1 y K2 pertenecientes a ℜ tales que K2 sea menor o igual que ƒ(x) menor o igual que K1 para todo x perteneciente a D".

Función acotada en valor absoluto:

"Se dice que ƒ está acotada en valor absoluto en D si existe K perteneciente a ℜ tal que /ƒ(x)/ sea menor que K para todo x perteneciente a D".

• Nota: Si ƒ está acotada en D ƒ estará acotada en valor absoluto en D.

Supremo de una función:

"Si ƒ está acotada superiormente en D, llamamos supremo a la menor de las cotas superiores. El supremo de ƒ(D) se llama supremo de ƒ en D".

Se denota: M = Sup ƒ(x) o M = extremo superior ƒ(x) o M = Sup{ƒ(x)/x D}

Infimo de una función:

"Si ƒ está acotada inferiormente llamamos ínfimo a la mayor de las cotas inferiores. El ínfimo de ƒ(D) se llama infimo de la función ƒ en D".

Se denota: m = Inf ƒ(x) o m = extremo inf ƒ(x) o m = Inf{ƒ(x)/x D}

Máximo de una función:

"Si el supremo pertenece a dicha función se denomina máximo de la función. Se dice que ƒ alcanza un máximo absoluto en un punto X₀ si el número ƒ(X₀) es igual al supremo de ƒ es decir si verifica: ƒ(x) es menor o igual que ƒ(X₀) para todo x perteneciente a D".

Se denota: M= Max ƒ(x) o M = Max{ƒ(x)/x D}

• Nota: Se dice que X₀ es un punto máximo absoluto de ƒ en D y el valor de dicho máximo es ƒ(X₀).

• Nota: Este máximo es estricto si se cumple que ƒ(x) es menor que ƒ(X₀).

• Nota: Si una función tiene máximo lo puede tomar en varios puntos de su dominio.

Mínimo de una función:

"Si el mínimo de un función pertenece a dicha función entonces se llama mínimo. Se dice que ƒ alcanza un mínimo absoluto en un punto X1 de D si el número ƒ(X1) es igual al ínfimo de ƒ en D es decir si ƒ(X1) es menor o igual que ƒ(x) para todo x perteneciente a D".

Se denota: m = min ƒ(x) o m = min{ƒ(x)/x D}

• Nota: Se dice que X1 es un punto mínimo absoluto de ƒ en D y el valor de dicho mínimo es ƒ(X1).

• Nota: Este mínimo es estricto si ƒ(x) es menor que ƒ(X1).

• Nota: Si una función tiene mínimo lo puede tomar en varios puntos de su dominio.

Propiedades de las funciones acotadas

1. La suma de dos funciones acotadas es otra función acotada
2. El producto de dos funciones acotadas es otra función acotada
3. Si una función está acotada su opuesta también lo estará
4. Si ƒ está acotada para todo perteneciente a ℜ ƒ estará también acotada

Monotonía de funciones

Para este apartado se empleará la teoria de monotonía de sucesiones y el tema de entornos.

Puede ser de dos clases:

Global: Si se refiere al dominio de la función o a un subconjunto de este.

Local: Es la monotonía en un punto del dominio. Compara el valor de la función en este punto con los que toma la función en los puntos anteriores y posteriores de un entorno de dicho punto.

Monotonía global:

Función creciente:

"Se dice que ƒ es monótona creciente en A si solo si para todo X1 X2 perteneciente a A donde X1 sea menor que X2 entonces ƒ(X1) será menor o igual que ƒ(X2)".

"Una función se dice creciente si es monótona creciente en su dominio".

Función estrictamente creciente:

"Se dice que ƒ es monótona estrictamente creciente en A si solo si para todo X1 X2 pertenecientes a A donde X1 menor que X2 entonces ƒ(X1) será menor que ƒ(X2)".

"Una función se dice es estrictamente creciente si es estrictamente creciente en su dominio".

Propiedad que relaciona la función estrictamente creciente con la función creciente:

"Si una función es estrictamente creciente en un subconjunto de su dominio entonces la función tambien será creciente en dicho subconjunto pero no el recíproco".

Función decreciente:

"Se dice que ƒ es monótona decreciente en A si solo si para todo X1 X2 pertenecientes a A donde X1 es menor que X2 entonces ƒ(X1) será mayor o igual que ƒ(X2)".

"Una función es monótona decreciente si es monótona decreciente en su dominio".

Función estrictamente decreciente:

"Se dice que ƒ es estrictamente decreciente en A si solo si para todo X1 X2 pertenecientes a A donde X1 es menor que X2 entonces X1 será mayor que X2".

"Una función es estrictamente decreciente si es estrictamente decreciente en D".

Propiedad que relaciona las funciones estrictamente decrecientes con las funciones decrecientes:

"Si una función es monótona estrictamente decreciente en un subconjunto de su dominio entonces la función será también decreciente en dicho subconjunto pero no el recíproco".

Propiedades de las funciones monótonas

1. Si una función es creciente en A y también es decreciente en A entonces la función será la función constante en A
2. La función toma el mismo valor en todo punto de A y su gráfica es una recta paralela al eje X
3. La composición de dos funciones crecientes es una función creciente
4. La composición de dos funciones decrecientes es una función decreciente
5. Relaciona la monotonía con las funciones inyectivas
6. Si una función es estrictamente creciente entonces, ésta será inyectiva

Monotonía local

Para este apartado se empleara el tema de entornos e intervalos.

Para hablar de monotonía local en un punto tengo que definir un concepto muy importante llamado punto de acumulación de un subconjunto de ℜ.

"Sea D un subconjunto de ℜ y un punto X₀ perteneciente a ℜ no necesariamente perteneciente a D se dice que X₀ es un punto de acumulación en D si para todo entorno del punto X₀ hay por lo menos un punto de D distinto de X₀".

• Proposición:

"Un punto X₀ perteneciente a ℜ es de acumulación de D si solo si en todo entorno de X₀ existen infinitos puntos de D"

Monotonía local de una función real de variable real en un punto de su dominio:

Sea x:D → ℜ función real de variable real. Sea X₀ pertenciente a ℜ y punto de acumulación de D

Función monótona creciente en un punto de su dominio

"Se dice que ƒ es monótona creciente en el punto X₀ perteneciente a D si solo si existe E(X₀, d) tal que verifique:

Para todo x perteneciente a (X₀ - d, X₀) ƒ(x) sea menor o igual que X₀.

Para todo x perteneciente a (X₀, X₀ + d) ƒ(x) sea mayor o igual que X₀".

Función monótona estrictamente creciente en un punto de su dominio

"Se dice que ƒ es monótona estrictamente creciente en el punto X₀ perteneciente a D si solo si existe E(X₀, d) tal que verifique:

Para todo x perteneciente a (X₀ - d, X₀) ƒ(x) sea menor que X₀.

Para todo x perteneciente a (X₀, X₀ + d) ƒ(x) sea mayor que X₀".

Propiedad que relaciona la función estrictamente creciente con la función creciente:

"Si una función es estrictamente creciente en un punto de su dominio entonces la función tambien será creciente en dicho subconjunto pero no el recíproco".

Función monótona decreciente en un punto de su dominio

"Se dice que ƒ es monótona decreciente en el punto X₀ perteneciente a D si solo si existe E(X₀,d) tal que verifique:

Para todo x perteneciente a (X₀ - d, X₀) ƒ(x) sea mayor o igual que X₀.

Para todo x perteneciente a (X₀, X₀ + d) ƒ(x) sea menor o igual que X₀".

Función monótona estrictamente decreciente en un punto de su dominio

"Se dice que ƒ es monótona estrictamente decreciente en el punto X₀ perteneciente a D si solo si existe E(X₀, d) tal que verifique:

Para todo x perteneciente a (X₀ - d, X₀) ƒ(x) sea mayor que X₀.

Para todo x perteneciente a (X₀, X₀ + d) ƒ(x) sea menor que X₀".

Propiedad que relaciona las funciones estrictamente decrecientes con las funciones decrecientes:

"Si una función es monótona estrictamente decreciente en un punto de su dominio entonces la función será también decreciente en dicho subconjunto pero no el recíproco".

Cálculo de un límite de cociente de funciones ƒ(x)/g(x)

1. Si el grado de ƒ(x) es igual al de g(x)
• Se divide al numerador y al denominador entre x de exponente el grado de los polinomios y se simplifica
• Se aplica la propiedad 3 formulada a través de la proposición
• Por último se toma el límite y se simplifica
2. Si el grado de g(x) es mayor que el de ƒ(x)
• Se divide al numerador y al denominador entre x y de exponente el grado del denominador y se simplifica
• Se aplica la propiedad 3 dada a través de la proposición
• Se toma el límite y se simplifica
3. Si el grado de ƒ(x) es mayor que g(x)
• No es convergente en ℜ

Límite de una suma de funciones convergentes en la recta ampliada

Límite de un producto de sucesiones convergentes en la recta ampliada

Límite del cociente de dos sucesiones convergentes en la recta ampliada

El siguiente cuadro muestra el valor del límite del cociente A_n/B_n en función de los límites del dividendo y el divisor:

Tipos de indeterminaciones

Límites de funciones reales

Punto de acumulación:

Un número X₀ perteneciente a ℜ se llama punto de acumulación del conjunto D subconjunto de ℜ si todo intervalo abierto (X₀ - d, X₀ + d) de centro X₀ contiene algún punto x diferente a X₀

Limite de una función real:

Se dice que L perteneciente a ℜ es el limite funcional de ƒ en el punto X₀ si para cualquier ε > 0 existe d > 0 tal que si x pertenece a D y 0 < |X - X₀| < d entonces |ƒ(x) - L| < ε

Propiedades:

1. Unicidad de limite
2. Si ƒ(x) es convergente en X₀ entonces ƒ(x) está acotada en X₀
3. Si una función toma infinitos valores + y - en el entorno de X₀ y es convergente a X₀ su limite es 0

Limites laterales:

Si X₀ es un punto de acumulación de (X₀, +inf)(-inf, X₀) se dice que L es el límite por la derecha, izquierda de ƒ en el punto X₀ si para todo ε > 0 existe d > 0 tal que si x pertenece a D y x pertenece a (X₀, +inf)(-inf, X₀) entonces |ƒ(x) - L| < ε

Asintota

Si un punto viaja a través de una curva y una de sus coordenadas tiende a -inf mientras que la distancia entre este punto y una recta tiende a 0 entonces esta recta recibe el nombre de asintota.

Asíntota vertical

Si lim_ƒ(x) = +inf o -inf o lim ƒ(x) = +inf o -inf entonces la recta x = X₀ es un asintota vertical de ƒ(x)

Asintota horizontal

Si lim ƒ(x) = b entonces la recta y = b es un asíntota horizontal de ƒ(x) por la derecha y análogamente por la izquierda con -inf

Asintota oblicua

Si lim ƒ(x) = inf per lim ƒ(x)/x = a y lim (ƒ(x) - a·x) = b la recta y = a·x + b es un asintota oblicua de ƒ(x) por la derecha análogamente por la izquierda con -inf

Continuidad de una función

Continuidad de una función en un punto

1. ƒ es contínua en X₀ si solo si existe ƒ(X₀)
• Existe lim ƒ(x)
• lim ƒ(x) = ƒ(X₀)
2. ƒ es contínua en X₀ si solo si lim ƒ(x) = ƒ(X₀)
3. ƒ es contínua en X₀ si solo si para todo ε > 0 existe d(X₀, ε) > 0 tal que para todo x perteneciente a D y |x - X₀| < d entonces |ƒ(x) - ƒ(X₀)| < ε

Propiedades algebraicas

1. ƒ + g(x) es contínua en X₀
2. ƒ·g(x) es contínua en X₀
3. ƒ:g(x) es contínua en X₀

Discontinuidades

Si X₀ es un punto del dominio de definición de la función ƒ en la cual esta no es contínua decimos que ƒ(x) es discontínua en X₀ o que ƒ tiene una discontinuidad en X₀

Clasificación:

1. Discontinuidad esencial: Si no existe lim ƒ(x) o no existe lim ƒ(x)
2. Discontinuidad de salto: Si existe lim ƒ(x) = ƒ(X₀) y existe lim ƒ(x) = ƒ(X₀) pero ƒ(X₀) es distinto de ƒ(X₀)
3. Discontinuidad evitable: Si existe lim ƒ(x) = ƒ(X₀) y existe lim ƒ(x) = ƒ(X₀) y ƒ(X₀) = ƒ(X₀) pero ƒ(X₀) es distinto a ƒ(X₀)

Forma de evitarla.

Definiendo ƒ(x) para todo x perteneciente a D distinto de X₀

lim ƒ(x) si x = X₀

Logaritmos

Logaritmo de los números reales positivos

El logaritmo de un número y > 0 en una base dada es el número x a que debe elevarse a para obtener y

Propiedades algebraicas

1. log (u·v) = log u + log v
2. log (u/v) = log u - log v
3. log (u^x) = x·log u
4. log x = log x = 1/n·log x

Propiedades:

1. log a = 1
2. log 1 = 0
3. log a = x
4. a·log x = x

Derivabilidad

Derivabilidad en un punto

1. Se dice que ƒ es derivable en el punto X₀ si existe y es finito el lim ƒ(x) - ƒ(X₀)/x - X₀
2. Se dice que ƒ es derivable en el punto X₀ si existe y es finito el lim ƒ(X₀ - h) - ƒ(X₀)/h

Derivada de una función

La derivada de la función ƒ(x) en el punto X₀ es el valor que tiene el lim ƒ(x) - ƒ(X₀)/x - X₀ que es un número real

Derivadas laterales

Derivada lateral por la izquierda en un punto X₀

Derivada lateral por la derecha en un punto X₀