- • Página de inicio
- › Matemática
- › Funciones
- › Teoría
Funciones variables de variable real
Función real de variable real
"Una función real de variable real es una aplicación ƒ de un subconjunto no vacío D de ℜ en ℜ es decir:
ƒ:D ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = y |
- Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley
- Se llaman funciones reales porque su recorrido es ℜ y de variable real porque el dominio pertenece a ℜ
- x es la anti-imagen de y por ƒ; x es la invariable
- y es la imagen de x por ƒ; y es la variable
- ƒ(x) = y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x
- D es el dominio de la función ƒ y se denota Dom(ƒ) = Dƒ = D
Funciones elementales
Función constante
ƒ: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = c |
Donde c perteneciente a ℜ se llama constante para todo x perteneciente a ℜ; Dƒ = ℜ, Im(ƒ):c
Observación:
Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las X o abscisas.
Por lo tanto solo se necesita un punto para visualizarlo.
Función identidad en ℜ:()
ƒ: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = x |
Para todo x perteneciente a ℜ; Dƒ = ℜ, Im = ℜ.
La gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Función lineal
ƒ: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = a·x |
Para todo a perteneciente a ℜ y para todo x perteneciente a ℜ Dƒ = ℜ, Im(ƒ) = ℜ.
Casos particulares
Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en ℜ y su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto.
Función valor absoluto en ℜ
ƒ: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = |x| |
ƒ:ℜ → ℜ
x-----ƒ(x) = |x|
Si x es positivo = x.
Si x es 0 = 0.
Si x es negativo = x.
La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las X o abscisas.
Relación entre la gráfica de la función identidad y la función valor absoluto en ℜ: la gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.
Función afín
ƒ: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = a·x + b |
a y b pertenecientes a ℜ. Para todo x perteneciente a ℜ Dom(ƒ):ℜ, Im(ƒ):ℜ
Observación:
La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de coordenadas, la constante b indica por que punto corta al eje de las Y, por encima o por debajo del eje X.
Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: una función afín siempre tiene asociada una función lineal haciendo b = 0.
Función polinómica
ƒ: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = |
Dom(ƒ):ℜ, Im(ƒ):ℜ.
Función racional
ƒ: | ℜ - {} → ℜ | |
x → ƒ(x) | = |
Dom(ƒ):ℜ - {}
Im(ƒ):ℜ
Función "Signo de x"
Signo: | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | = |
Dom(Signo): ℜ.
Im(ƒ):{-1, 0, 1}
Función "Parte entera de x"
Ent(x) = []: | ℜ → ℜ | |
x → [x] |
Se toma la parte entera de x.
Dom[]: ℜ, Im(ƒ):Z
Observación:
Es un tipo de función escalonada.
Operaciones algebraicas con funciones reales de variable real
Suma de funciones reales de variable real
Sean las funciones reales de variable real:
ƒ:D1 ⊂ | ℜ → ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | x → ƒ(x) |
Si D1 intersecado con D2 es distinto al conjunto vacío entonces se puede definir la suma como:
ƒ + g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ → ℜ
x → (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.
Propiedades:
Conmutativa: (ƒ + g)(x) = (g + ƒ)(x)
Asociativa: [ƒ(x) + g(x)] + h(x) = ƒ(x) + [g(x) + h(x)]
Elemento neutro: para la suma de funciones es la constante 0.
0: ℜ → ℜ
x → 0(x) = 0 para todo x perteneciente a ℜ
ƒ(x) + 0(x) = 0(x) + ƒ(x) = ƒ(x) para todo ƒ(x) perteneciente a F(R, R).
Todo elemento de F(R, R) tiene simétrico que se llama opuesto:
Opuesto de ƒ(x) = -ƒ(x) ya que ƒ(x) + (-ƒ(x)) = 0(x)
Por verificar estas 4 propiedades el par constituido por [F(R, R),+] es grupo conmutativo o abeliano.
Diferencia o resta de funciones
Debido a que (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano entonces se puede definir la resta de funciones como sumar al minuendo el opuesto del sustraendo
Sean las funciones reales de variable real:
ƒ:D1 ⊂ | ℜ → ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | x → ƒ(x) |
Si el Dom(ƒ) intersecado con el Dom de (-g) es distinto del conjunto vacío entonces se puede definir la resta de funciones de la siguiente forma:
ƒ - g:D1 intersecado D2 → ℜ.
x → (ƒ - g)(x) = ƒ(x) + (-g(x)) para todo x perteneciente a D1 y D2.
Multiplicación o producto de funciones reales de variable real
Sean las funciones reales de variable real:
ƒ:D1 ⊂ | ℜ → ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | x → ƒ(x) |
Entonces si D1 intersecado con D2 es distinto del conjunto vacío se puede definir el producto de la siguiente forma:
ƒ·g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ → ℜ
x → ƒ·g(x) = ƒ(x)·g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.
Propiedades:
Conmutativa: ƒ(x)·g(x) = g(x)·ƒ(x) para todo ƒ, g pertenecientes a F(R, R).
Asociativa: [ƒ(x)·g(x)]·h(x) = ƒ(x)·[g(x)·h(x)] para todo ƒ, g, h pertenecientes a F(R, R).
Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1 y se define: u:ℜ → ℜ
x → u(x) = 1 para todo x perteneciente a ℜ.
ƒ(x)·u(x) = u(x)·ƒ(x) = ƒ(x) para todo ƒ perteneciente a F(R, R).
Por tanto por verificar el par [F(R, R),.] estas 3 propiedades es un semigrupo conmutativo con elemento unidad.
Podemos afirmar que la terna (F(R, R),+,.) por verificar:
- El par (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano
- El par (F(R, R),.) tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento unidad
- Por tener la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
ƒ(x)·(g(x) + h(x)) = (ƒ(x)·g(x)) + (ƒ(x)·h(x))
Es un anillo conmutativo con elemento unidad.
Producto de una función por un número real
Sea una función real de variable real:
ƒ:D ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → λ·ƒ(x) |
Sea λ un número real cualquiera.
Se define el producto de λ por ƒ y se denota como la función: ƒ:D ⊂ ℜ → ℜ
x → (λ)(x) = λ·ƒ(x) para todo x perteneciente a D.
Dom = Dom(ƒ) = D
Propiedades:
- Distributiva del producto respecto de los escalares
- Distributiva del producto respecto de las funciones
- Asociatividad de los escalares
- Elemento meutro
Se dice que la terna (F(D,ℜ),+,.) tiene estructura de espacio vectorial.
Función recíproca de una dada:
Sea una función real de variable real:
ƒ:D ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) |
Sea Dom = {Todos los puntos del dominio de ƒ donde la función no se anula} ⊂ D.
Si Dom es distinto del conjunto vacío se puede definir la función recíproca de la siguiente forma:
1/ƒ:D ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → (1/ƒ)(x) | = 1/ƒ(x) |
Para todo x perteneciente a Do.
Se verifica que:
(ƒ·1/ƒ)(x) = (1/ƒ·ƒ)(x) = u(x) = función constante igual a 1.
Cociente de dos funciones reales de variable real:
No estará definida en los puntos donde se anule el denominador
Sean dos funciones reales de variable real tales que g(x) es distinto de 0 para todo x perteneciente a Dom (g) = D2.
ƒ:D1 ⊂ | ℜ → ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ → ℜ | |
x → ƒ(x) | x → ƒ(x) |
Autor: Ruben Arribas
España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar