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Funciones variables de variable real

Función real de variable real

"Una función real de variable real es una aplicación ƒ de un subconjunto no vacío D de ℜ en ℜ es decir:

ƒ:D ⊂ℜ → ℜ
x → ƒ(x)= y

∘ Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley

∘ Se llaman funciones reales porque su recorrido es ℜ y de variable real porque el dominio pertenece a ℜ

∘ x es la anti-imagen de y por ƒ; x es la invariable

∘ y es la imagen de x por ƒ; y es la variable

ƒ(x) = y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x

D es el dominio de la función ƒ y se denota Dom(ƒ) = Dƒ = D

Funciones elementales

Función constante

ƒ:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)= c

Donde c perteneciente a ℜ se llama constante para todo x perteneciente a ℜ; Dƒ = ℜ, Im(ƒ):c

Observación:

Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las X o abscisas.

Por lo tanto solo se necesita un punto para visualizarlo.

Función identidad en ℜ:()

ƒ:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)= x

Para todo x perteneciente a ℜ; Dƒ = ℜ, Im = ℜ.

La gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Función lineal

ƒ:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)= a·x

Para todo a perteneciente a ℜ y para todo x perteneciente a ℜ Dƒ = ℜ, Im(ƒ) = ℜ.

Casos particulares

Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en ℜ y su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto.

Función valor absoluto en ℜ

ƒ:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)= |x|

ƒ:ℜ → ℜ

x-----ƒ(x) = |x|

Si x es positivo = x.

Si x es 0 = 0.

Si x es negativo = x.

La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las X o abscisas.

Relación entre la gráfica de la función identidad y la función valor absoluto en ℜ: la gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.

Función afín

ƒ:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)= a·x + b

a y b pertenecientes a ℜ. Para todo x perteneciente a ℜ Dom(ƒ):ℜ, Im(ƒ):ℜ

Observación:

La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de coordenadas, la constante b indica por que punto corta al eje de las Y, por encima o por debajo del eje X.

Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: una función afín siempre tiene asociada una función lineal haciendo b = 0.

Función polinómica

ƒ:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)=

Dom(ƒ):ℜ, Im(ƒ):ℜ.

Función racional

ƒ:ℜ - {} → ℜ
x → ƒ(x)=

Dom(ƒ):ℜ - {}

Im(ƒ):ℜ

Función "Signo de x"

Signo:ℜ → ℜ
x → ƒ(x)=

Dom(Signo): ℜ.

Im(ƒ):{-1, 0, 1}

Función "Parte entera de x"

Ent(x) = []:ℜ → ℜ
x → [x]

Se toma la parte entera de x.

Dom[]: ℜ, Im(ƒ):Z

Observación:

Es un tipo de función escalonada.

Operaciones algebraicas con funciones reales de variable real

Suma de funciones reales de variable real

Sean las funciones reales de variable real:

ƒ:D1 ⊂ ℜ → ℜ   g:D2 ⊂ ℜ → ℜ
x → ƒ(x)x → ƒ(x)

Si D1 intersecado con D2 es distinto al conjunto vacío entonces se puede definir la suma como:

ƒ + g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ → ℜ

x → (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.

Propiedades:

Conmutativa: (ƒ + g)(x) = (g + ƒ)(x)

Asociativa: [ƒ(x) + g(x)] + h(x) = ƒ(x) + [g(x) + h(x)]

Elemento neutro: para la suma de funciones es la constante 0.

0: ℜ → ℜ

x → 0(x) = 0 para todo x perteneciente a ℜ

ƒ(x) + 0(x) = 0(x) + ƒ(x) = ƒ(x) para todo ƒ(x) perteneciente a F(R, R).

Todo elemento de F(R, R) tiene simétrico que se llama opuesto:

Opuesto de ƒ(x) = -ƒ(x) ya que ƒ(x) + (-ƒ(x)) = 0(x)

Por verificar estas 4 propiedades el par constituido por [F(R, R),+] es grupo conmutativo o abeliano.

Diferencia o resta de funciones

Debido a que (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano entonces se puede definir la resta de funciones como sumar al minuendo el opuesto del sustraendo

Sean las funciones reales de variable real:

ƒ:D1 ⊂ ℜ → ℜ   g:D2 ⊂ ℜ → ℜ
x → ƒ(x)x → ƒ(x)

Si el Dom(ƒ) intersecado con el Dom de (-g) es distinto del conjunto vacío entonces se puede definir la resta de funciones de la siguiente forma:

ƒ - g:D1 intersecado D2 → ℜ.

x → (ƒ - g)(x) = ƒ(x) + (-g(x)) para todo x perteneciente a D1 y D2.

Multiplicación o producto de funciones reales de variable real

Sean las funciones reales de variable real:

ƒ:D1 ⊂ ℜ → ℜ   g:D2 ⊂ ℜ → ℜ
x → ƒ(x)x → ƒ(x)

Entonces si D1 intersecado con D2 es distinto del conjunto vacío se puede definir el producto de la siguiente forma:

ƒ·g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ → ℜ

x → ƒ·g(x) = ƒ(x)·g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.

Propiedades:

Conmutativa: ƒ(x)·g(x) = g(x)·ƒ(x) para todo ƒ, g pertenecientes a F(R, R).

Asociativa: [ƒ(x)·g(x)]·h(x) = ƒ(x)·[g(x)·h(x)] para todo ƒ, g, h pertenecientes a F(R, R).

Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1 y se define: u:ℜ → ℜ

x → u(x) = 1 para todo x perteneciente a ℜ.

ƒ(x)·u(x) = u(x)·ƒ(x) = ƒ(x) para todo ƒ perteneciente a F(R, R).

Por tanto por verificar el par [F(R, R),.] estas 3 propiedades es un semigrupo conmutativo con elemento unidad.

Podemos afirmar que la terna (F(R, R),+,.) por verificar:

1) El par (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano

2) El par (F(R, R),.) tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento unidad

3) Por tener la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

ƒ(x)·(g(x) + h(x)) = (ƒ(x)·g(x)) + (ƒ(x)·h(x))

Es un anillo conmutativo con elemento unidad.

Producto de una función por un número real

Sea una función real de variable real:

ƒ:D ⊂ ℜ → ℜ
x → λ·ƒ(x)

Sea λ un número real cualquiera.

Se define el producto de λ por ƒ y se denota como la función: ƒ:D ⊂ ℜ → ℜ

x → (λ)(x) = λ·ƒ(x) para todo x perteneciente a D.

Dom = Dom(ƒ) = D

Propiedades:

∘ Distributiva del producto respecto de los escalares

∘ Distributiva del producto respecto de las funciones

∘ Asociatividad de los escalares

∘ Elemento meutro

Se dice que la terna (F(D,ℜ),+,.) tiene estructura de espacio vectorial.

Función recíproca de una dada:

Sea una función real de variable real:

ƒ:D ⊂ ℜ → ℜ
x → ƒ(x)

Sea Dom = {Todos los puntos del dominio de ƒ donde la función no se anula} ⊂ D.

Si Dom es distinto del conjunto vacío se puede definir la función recíproca de la siguiente forma:

1/ƒ:D ⊂ ℜ → ℜ
x → (1/ƒ)(x)= 1/ƒ(x)

Para todo x perteneciente a Do.

Se verifica que:

(ƒ·1/ƒ)(x) = (1/ƒ·ƒ)(x) = u(x) = función constante igual a 1.

Cociente de dos funciones reales de variable real:

No estará definida en los puntos donde se anule el denominador

Sean dos funciones reales de variable real tales que g(x) es distinto de 0 para todo x perteneciente a Dom (g) = D2.

ƒ:D1 ⊂ ℜ → ℜ   g:D2 ⊂ ℜ → ℜ
x → ƒ(x)x → ƒ(x)

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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