Funciones variables de variable real (primera parte)
Función real de variable real
"Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de ℜ en ℜ es decir:
| f:D ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = y |
- Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley
- Se llaman funciones reales porque su recorrido es ℜ y de variable real porque el dominio pertenece a ℜ
- x es la anti-imagen de y por f; x es la invariable
- y es la imagen de x por f; y es la variable
- f(x) = y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x
- D es el dominio de la función f y se denota Dom(f) = Df = D
Funciones elementales
Función constante
| f: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = c |
Donde c perteneciente a ℜ se llama constante para todo x perteneciente a ℜ; Df = ℜ, Im(f):c
Observación:
Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las X o abscisas.
Por lo tanto solo se necesita un punto para visualizarlo.
Función identidad en ℜ:()
| f: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = x |
Para todo x perteneciente a ℜ; Df = ℜ, Im = ℜ.
La gráfica de una función identidad es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Función lineal
| f: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = a·x |
Para todo a perteneciente a ℜ y para todo x perteneciente a ℜ Df = ℜ, Im(f) = ℜ.
Casos particulares
Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en ℜ y su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto.
Función valor absoluto en ℜ
| f: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = |x| |
f:ℜ ⟶ ℜ
x-----f(x) = |x|
Si x es positivo = x.
Si x es 0 = 0.
Si x es negativo = x.
La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las X o abscisas.
Relación entre la gráfica de la función identidad y la función valor absoluto en ℜ: la gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.
Función afín
| f: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = a·x + b |
a y b pertenecientes a ℜ. Para todo x perteneciente a ℜ Dom(f):ℜ, Im(f):ℜ
Observación:
La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de coordenadas, la constante b indica por que punto corta al eje de las Y, por encima o por debajo del eje X.
Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: una función afín siempre tiene asociada una función lineal haciendo b = 0.
Función polinómica
| f: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = |
Dom(f):ℜ, Im(f):ℜ.
Función racional
| f: | ℜ - {} ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = |
Dom(f):ℜ - {}
Im(f):ℜ
Función "Signo de x"
| Signo: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | = |
Dom(Signo): ℜ.
Im(f):{-1, 0, 1}
Función "Parte entera de x"
| Ent(x) = []: | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ [x] |
Se toma la parte entera de x.
Dom[]: ℜ, Im(f):Z
Observación:
Es un tipo de función escalonada.
Operaciones algebraicas con funciones reales de variable real
Suma de funciones reales de variable real
Sean las funciones reales de variable real:
| f:D1 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | x ⟶ f(x) |
Si D1 intersecado con D2 es distinto al conjunto vacío entonces se puede definir la suma como:
f + g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ ⟶ ℜ
x ⟶ (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.
Propiedades:
Conmutativa:
(f + g)(x) = (g + f)(x)
Asociativa:
[f(x) + g(x)] + h(x) = f(x) + [g(x) + h(x)]
Elemento neutro: para la suma de funciones es la constante 0.
0: ℜ ⟶ ℜ
x ⟶ 0(x) = 0 para todo x perteneciente a ℜ
f(x) + 0(x) = 0(x) + f(x) = f(x) para todo f(x) perteneciente a F(R, R).
Todo elemento de F(R, R) tiene simétrico que se llama opuesto:
Opuesto de f(x) = -f(x) ya que f(x) + (-f(x)) = 0(x)
Por verificar estas 4 propiedades el par constituido por [F(R, R),+] es grupo conmutativo o abeliano.
Diferencia o resta de funciones
Debido a que (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano entonces se puede definir la resta de funciones como sumar al minuendo el opuesto del sustraendo
Sean las funciones reales de variable real:
| f:D1 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | x ⟶ f(x) |
Si el Dom(f) intersecado con el Dom de (-g) es distinto del conjunto vacío entonces se puede definir la resta de funciones de la siguiente forma:
f - g:D1 intersecado D2 ⟶ ℜ.
x ⟶ (f - g)(x) = f(x) + (-g(x)) para todo x perteneciente a D1 y D2.
Multiplicación o producto de funciones reales de variable real
Sean las funciones reales de variable real:
| f:D1 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | x ⟶ f(x) |
Entonces si D1 intersecado con D2 es distinto del conjunto vacío se puede definir el producto de la siguiente forma:
f·g:D1 intersecado D2 ⊂ ℜ ⟶ ℜ
x ⟶ f·g(x) = f(x)·g(x) para todo x perteneciente a D1 y D2.
Propiedades:
Conmutativa:
f(x)·g(x) = g(x)·f(x) para todo f, g pertenecientes a F(R, R).
Asociativa:
[f(x)·g(x)]·h(x) = f(x)·[g(x)·h(x)] para todo f, g, h pertenecientes a F(R, R).
Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1 y se define: u:ℜ ⟶ ℜ
x ⟶ u(x) = 1 para todo x perteneciente a ℜ.
f(x)·u(x) = u(x)·f(x) = f(x) para todo f perteneciente a F(R, R).
Por tanto por verificar el par [F(R, R),.] estas 3 propiedades es un semigrupo conmutativo con elemento unidad.
Podemos afirmar que la terna (F(R, R),+,.) por verificar:
1) El par (F(R, R),+) tiene estructura de grupo abeliano
2) El par (F(R, R),.) tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento unidad
3) Por tener la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
f(x)·(g(x) + h(x)) = (f(x)·g(x)) + (f(x)·h(x))
Es un anillo conmutativo con elemento unidad.
Producto de una función por un número real
Sea una función real de variable real:
| f:D ⊂ | ℜ ⟶ ℜ |
| x ⟶ λ·f(x) |
Sea λ un número real cualquiera.
Se define el producto de λ por f y se denota como la función: f:D ⊂ ℜ ⟶ ℜ
x ⟶ (λ)(x) = λ·f(x) para todo x perteneciente a D.
Dom = Dom(f) = D
Propiedades:
- Distributiva del producto respecto de los escalares
- Distributiva del producto respecto de las funciones
- Asociatividad de los escalares
- Elemento meutro
Se dice que la terna (F(D,ℜ),+,.) tiene estructura de espacio vectorial.
Función recíproca de una dada:
Sea una función real de variable real:
| f:D ⊂ | ℜ ⟶ ℜ |
| x ⟶ f(x) |
Sea Dom = {Todos los puntos del dominio de f donde la función no se anula} ⊂ D.
Si Dom es distinto del conjunto vacío se puede definir la función recíproca de la siguiente forma:
| 1/f:D ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ (1/f)(x) | = 1/f(x) |
Para todo x perteneciente a Do.
Se verifica que:
(f·1/f)(x) = (1/f·f)(x) = u(x) = función constante igual a 1.
Cociente de dos funciones reales de variable real:
No estará definida en los puntos donde se anule el denominador
Sean dos funciones reales de variable real tales que g(x) es distinto de 0 para todo x perteneciente a Dom (g) = D2.
| f:D1 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | g:D2 ⊂ | ℜ ⟶ ℜ | |
| x ⟶ f(x) | x ⟶ f(x) |
Autor: Ruben Arribas. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).