Funciones: sucesiones y series

1. Conjunto acotado

"Diremos que A está acotado en ℜ si existen dos números reales K K2 tales que a sea mayor o igual que K2 y a sea menor o igual que K para todo a perteneciente a A"

2. Conjunto acotado en valor absoluto

"Diremos que A subconjunto de ℜ esta acotada en valor absoluto si existe K mayor que 0 tal que /a/ sea menor o igual que K para todo a perteneciente a A"

3. Axioma del extremo superior

"Si A es un subconjunto de ℜ y está acotado superiormente entonces posee supremo"

4. Axioma del extremo inferior

"Si A es un subconjunto de ℜ y está acotado inferiormente entonces posee ínfimo"

5. Sucesión de números reales

"Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N* en R"

6. Sucesión constante

"Una sucesión es constante si todos sus términos son iguales se denota (r) y se escribe (r) = (r, r, r, …, r, …)"

7. Determinación de sucesiones

Una sucesión queda determinada cuando podemos calcular cualquier termino de la sucesión, con el termino general.

8. Operaciones con sucesiones

Suma con sucesiones:

Asociativa: Para todo (A_n) (B_n) (C_n) pertenecientes a S se tiene que [(A_n) + (B_n)] + (C_n) = (A_n) + [(B_n) + (C_n)]

Conmutativa: Para todo (A_n) (B_n) pertenecientes a S se tiene que (A_n) + (B_n) = (B_n) + (A_n)

Elemento neutro: (0) = (0, 0, 0, …, 0, …)

Todo elemento de S tiene simétrico que se llama opuesto

Resta de sucesiones:

Es una consecuencia de que toda sucesión tiene opuesta:

(A_n) - (B_n) = (A_n) + (-B_n)

Producto de sucesiones:

Asociativa: Para todo (A_n) (B_n) (C_n) pertenecientes a S tenemos que [(A_n)·(B_n)]·(C_n) = (A_n)·[(B_n)·(C_n)]

Conmutativa: Para todo (A_n) (B_n) pertenecientes a S tenemos que (A_n)·(B_n) = (B_n)·(A_n)

Elemento neutro: Se llama elemento unidad (1) = (1, 1, 1, …, 1, …)

(S,.) es un semigrupo conmutativo

Sucesión inversible:

(B_n) es inversible si (B_n) no es igual a 0 para todo n perteneciente a N*

Si el denominador es inversible se puede definir el cociente

9. Monotonía de sucesiones

Sucesiones crecientes:

"La sucesión (A_n) es creciente si A_n es menor o igual que A_n + 1 para todo n perteneciente a N*"

Propiedad: "La sucesión A_n es creciente si A_n + 1 - A_n es menor o igual que 0 para todo n perteneciente a N*"

Sucesiones decrecientes:

"Decimos que (A_n) es decreciente si A_n es mayor que A_n + 1, para todo n perteneciente a N*"

Propiedad: "(A_n) perteneciente a S es decreciente si A(n + 1) - A_n es menor o igual que 0 para todo n perteneciente a N*"

Sucesión estrictamente creciente:

"(A_n) perteneciente a S es estrictamente creciente si A_n es menor que A_n + 1 para todo n perteneciente a N*"

Propiedad: "(A_n) perteneciente a S es estrictamente creciente si A(n + 1) - A_n es mayor que 0 para todo n perteneciente a N*"

Sucesión estrictamente decreciente:

"(A_n) es estrictamente decreciente si A_n es mayor que A(n + 1) para todo n perteneciente a N*"

Propiedad: "(A_n) es estrictamente decreciente si A(n + 1) - A_n es menor que 0 para todo n perteneciente a N*"

• Proposición:

"Si A_n es estrictamente creciente entonces A_n es creciente pero no el recíproco"

"Si A_n es estrictamente decreciente entonces A_n es decreciente pero no el recíproco"

10. Sucesiones acotadas superiormente

"A_n está acotada superiormente en ℜ si existe K perteneciente a ℜ tal que A_n sea menor o igual que K para todo n perteneciente a N*"

Supremo:

A la menor de las cotas superiores se la llama supremo de la sucesión

Máximo:

Si el supremo pertenece a dicha sucesión se llama máximo de la sucesión

11. Sucesiones acotadas inferiormente

"A_n es una sucesión acotada inferiormente en ℜ si existe K2 perteneciente a ℜ tal que K2 sea menor o igual que A_n para todo n perteneciente a N*

Infimo:

A la mayor de las cotas inferiores se la llama ínfimo de la sucesión

Mínimo:

Si el mínimo pertenece a dicha sucesión se la llama mínimo de la sucesión

12. Sucesiones acotadas

"A_n perteneciente a S está acotada en ℜ si existe K1 K2 pertenecientes a ℜ tales que K2 es menor o igual que A_n menor o igual que K1 para todo n perteneciente a N*"

13. Sucesiones acotadas en valor absoluto

"A_n está acotada en valor absoluto en ℜ si existe K mayor que 0 tal que /A_n/ sea menor o igual que K para todo n perteneciente a N*"

• Proposición:

Si A_n está acotada en ℜ A_n estará acotada en valor absoluto en ℜ

14. Propiedades de las sucesiones acotadas

La suma de dos sucesiones acotadas es otra sucesión acotada.

El producto de dos sucesiones acotadas es otra sucesión acotada.

El producto de una sucesión acotada por un número real es otra sucesión acotada.

15. Convergencia

Llamamos sucesiones convergentes en la recta real a todas aquellas que tienen límite

• Definición 1:

"Se dice que (A_n) tiene por límite un número real a cuando n tiende a más infinito si para todo ε mayor que 0 existe No perteneciente a N* tal que para todo n mayor que No implica que /A_{n - a}/ es menor que ε"

• Definición 2:

"Se dice que A_n tiene por límite un número real a cuando n tiende a más infinito si para todo ε mayor que 0 existe No perteneciente a N* tal que para todo n mayor que No implica que A_n pertenece al entorno (a, ε)"

• Definición 3:

"Se dice que A_n tiene por límite un número real a cuando n tiende a más infinito si para todo ε mayor que 0 existe No perteneciente a N* tal que para todo n mayor que No implica que A_n pertenece a (a - ε, a + ε)"

16. Propiedades algebraicas (relacionan el límite con las operaciones algebraicas de sucesiones)

• Proposición:

Sean (A_n) perteneciente a S, (B_n) perteneciente a S tales que el límite de A_n es igual a a perteneciente a ℜ y el límite de B_n es igual a b perteneciente a ℜ y sea landa perteneciente a ℜ se verifica:

El límite de (A_n + B_n) = límite de A_n + límite de B_n = a + b

El límite de una suma es igual a la suma de sus límites

El límite de (A_n - B_n) = límite de A_n - límite de B_n = a - b

El límite de una resta es igual a la resta de sus límites

El límite de (A_n·B_n) = limite de A_n. limite de B_n = a·b

El límite de un producto es igual al producto de sus límites

El límite de un cociente es igual al cociente de los límites si B_n no es igual a 0 para todo n perteneciente a N*

Si B_n es inversible

El límite de una sucesión convergente por un número real es igual al número real por el límite de la sucesión

Si (A_n) es menor o igual que (B_n) entonces a es menor o igual que b

Propiedad de sandwich:

Si (A_n) es menor o igual que (B_n) menor o igual que (C_n)

Si limite de (A_n) es igual al límite de (B_n) igual a L perteneciente a ℜ

Entonces limite de (C_n) es igual a L perteneciente a ℜ

17. Sucesiones nulas

A las sucesiones que tienen por límite 0 se las llama sucesiones nulas o infinitesimales

Propiedades:

La suma de dos sucesiones nulas es otra sucesión nula.

El producto de dos sucesiones nulas es otra sucesión nula.

El producto de una sucesión nula por una sucesión acotada es una sucesión nula.

18. Teorema

"Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente tiene límite"

19. Límites en la recta ℜ

20. Cálculo de un límite de cociente de polinomios P_n/Q_n

1) Si el grado de P_n es igual al de Q_n

Se divide al numerador y al denominador entre n de exponente el grado de los polinomios y se simplifica

Se aplica la propiedad 3 formulada a través de la proposición

Por último se toma el límite y se simplifica

2) Si el grado de Q_n es mayor que el de P_n

Se divide al numerador y al denominador entre n y de exponente el grado del denominador y se simplifica

Se aplica la propiedad 3 dada a través de la proposición

Se toma el límite y se simplifica

3) Si el grado de P_n es mayor que Q_n

No es convergente en ℜ

Número e: 2,718281828 …

21. Límite de potencias de sucesiones

Si el límite de A_n es mayor que 0

Si el límite de B_n es un número real

Entonces el límite de una potencia de sucesiones es igual que la potencie de los límites

22. Sucesiones convergentes a más infinito en la recta ampliada

"Se dice que una sucesión (A_n) tiene por límite más infinito si dado un número K mayor que 0 cualquiera existe un número natural No tal que para todo n mayor que No se verifica que A_n es mayor que K"

23. Sucesiones convergentes a menos infinito en la recta ampliada

"Se dice que una sucesión (B_n) tiene por límite menos infinito si existe un número K menor que 0 cualquiera existe un número natural No tal que para todo n mayor que No se verifica que A_n es menor que K"

24. Límite de una suma de sucesiones convergentes en la recta ampliada

25. Límite de un producto de sucesiones convergentes en la recta ampliada

26. Límite del cociente de dos sucesiones convergentes en la recta ampliada

El siguiente cuadro muestra el valor del límite del cociente A_n/B_n en función de los límites del dividendo y el divisor:

27. Tipos de indeterminaciones

Autor: Ruben Arribas. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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