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Integrales de cocientes

Fórmulas de reducción

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Cálculo de In = senn x·dx

Como se ve, el subíndice n de In coincide con el exponente de senn x.

Desde luego, I0 = sen0 x·dx = 1·dx = x e I1 = sen¹ x·dx = sen x·dx = -cos x

Para encontrar la fórmula de reducción de In se integrará por partes:

u = sen(n - 1) x; du = (n - 1)·sen(n - 2) x·cos x·dx

dv = sen x·dx; v = sen x·dx = -cos x

Por tanto, In = -cos x·sen(n - 1) x - (n - 1)· -sen(n - 2) x·cos² x·dx

In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)· sen(n - 2) x·(1 - sen² x)·dx

In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)· sen(n - 2) x·dx - (n - 1)· senn x·dx

In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·In - 2 - (n - 1)·In

Pasando - (n - 1)·In al primer miembro y despejando In,

In (1 + n - 1) = - (cos x)·sen(n - 1) x + (n - 1)·I(n - 2)

n·In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·I(n - 2)

De donde In = [(-cos x)·sen(n - 1) x]/n + [(n - 1)/n]·I(n - 2)

Así: I0 = x, I1 = - cos x

I2 = sen² x·dx =cos x·sen x+2 - 1·x
22
I2 =cos x·sen x+ ½·x
2
I3 = sen³ x·dx =-cos x·sen² x+2·(-cos x)
33

Cálculo de In = cosn x·dx

Para calcular Jn = cosn x·dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),

Por lo que Jn = [sen (90° - x)]n·dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = - dy.

Así:

Jn = - senn y·dy
Jn =cos y·senn - 1 y-n - 1 senn - 2 y·dy
3n

Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:

cos y = cos (90° - x) = sen x;

sen(n - 1) y = sen(n - 1)(90° - x) = cos(n - 1) x

y - [(n - 1)/n]· sen(n - 2) (90° - x)·(-dx) =

=n - 1· cosn - 2 x·dx =n - 1·Jn - 2
nn

Concluyendo que:

Jn = (sen x·cosn - 1 x)/n + [(n - 1)/n]·Jn - 2

Cálculo de la integral In = dx/(1 + x²)n

Sumando y restando x² al numerador,

In = 1·dx = 1 + x² - x²·dx
(1 + x²)n(1 + x²)n
In = 1·dx = 1 + x²·dx -·dx
(1 + x²)n(1 + x²)n(1 + x²)n
In = dx- ·dx
(1 + x²)n - 1(1 + x²)n
In = In - 1 - ·dx (1)
(1 + x²)n

La segunda integral se resuelve por partes:

u = x, du = dx

dv =x·dx
(1 + x²)n
v = x·dx =
(1 + x²)n
v = ½· 2·x·(1 + x²)-n·dx = ½·(1 + x²)-n + 1
-n + 1

De donde,

·dx =
(1 + x²)n
= ½·x·(1 + x²)-n + 1-1· (1 + x²)-n + 1·dx
-n + 12·(-n + 1)
= ½·x·(1 + x²)-n + 1-1·dx=
-n + 12·(-n + 1)(1 + x²)n - 1
= ½·x·(1 + x²)-n + 1-1·In - 1
-n + 12·(-n + 1)

Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

In = In - 1 - ½·x·(1 + x²)-n + 1+1·In - 1
-n + 12·(-n + 1)

Operando,

In =2·n - 3·In - 1 +x·1
2·n - 22·(n - 1)(1 + x²)n - 1

Así, se obtendría, por ejemplo:

I1 = dx= arc tg x
1 + x²
I2 = ½·arc tg x + x·1
21 + x²
I3 = ¾·(½·arc tg x + x·1) +x·1
21 + x²2(1 + x²)²

Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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