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Integrales de cocientes

Fórmulas de reducción

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Cálculo de In = senn x·dx

Como se ve, el subíndice n de In coincide con el exponente de senn x.

Desde luego, I0 = sen0 x·dx = 1·dx = x e I1 = sen1 x·dx = sen x·dx = -cos x

Para encontrar la fórmula de reducción de In se integrará por partes:

u = sen(n - 1) x; du = (n - 1)·sen(n - 2) x·cos x·dx

dv = sen x·dx; v = sen x·dx = -cos x

Por tanto, In = -cos x·sen(n - 1) x - (n - 1)· -sen(n - 2) x·cos² x·dx

In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)· sen(n - 2) x·(1 - sen² x)·dx

In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)· sen(n - 2) x·dx - (n - 1)· senn x·dx

In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·In - 2 - (n - 1)·In

Pasando - (n - 1)·In al primer miembro y despejando In,

In (1 + n - 1) = - (cos x)·sen(n - 1) x + (n - 1)·I(n - 2)

n·In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·I(n - 2)

De donde In = [(-cos x)·sen(n - 1) x]/n + [(n - 1)/n]·I(n - 2)

Así: I0 = x, I1 = - cos x

Integración por descomposición en fracciones simples

Cálculo de In = cosn x·dx

Para calcular Jn = cosn x·dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),

Por lo que Jn = [sen (90° - x)]n·dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = - dy.

Así:

Integración por descomposición en fracciones simples

Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:

cos y = cos (90° - x) = sen x;

sen(n - 1) y = sen(n - 1)(90° - x) = cos(n - 1) x

y - [(n - 1)/n]· sen(n - 2) (90° - x)·(-dx) =

Integración por descomposición en fracciones simples

Concluyendo que:

Jn = (sen x·cosn - 1 x)/n + [(n - 1)/n]·Jn - 2

Cálculo de la integral In = dx/(1 + x²)n

Sumando y restando x² al numerador,

Integración por descomposición en fracciones simples

La segunda integral se resuelve por partes:

u = x, du = dx

Integración por descomposición en fracciones simples

De donde,

Integración por descomposición en fracciones simples

Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

Integración por descomposición en fracciones simples

Operando,

Integración por descomposición en fracciones simples

Así, se obtendría, por ejemplo:

Integración por descomposición en fracciones simples

Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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