Integrales de cocientes
Fórmulas de reducción
Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.
Cálculo de In = ∫ senn x·dx
Como se ve, el subíndice n de In coincide con el exponente de senn x.
Desde luego,
I0 = ∫ sen0 x·dx = ∫ 1·dx = x
e
I1 = ∫ sen¹ x·dx = ∫ sen x·dx = -cos x
Para encontrar la fórmula de reducción de In se integrará por partes:
u = sen(n - 1) x
du = (n - 1)·sen(n - 2) x·cos x·dx
dv = sen x·dx
v = ∫ sen x·dx = -cos x
Por tanto,
In = -cos x·sen(n - 1) x - (n - 1)·∫ -sen(n - 2) x·cos² x·dx
In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·∫ sen(n - 2) x·(1 - sen² x)·dx
In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·∫ sen(n - 2) x·dx - (n - 1)·∫ senn x·dx
In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·In - 2 - (n - 1)·In
Pasando - (n - 1)·In al primer miembro y despejando In,
In (1 + n - 1) = -(cos x)·sen(n - 1) x + (n - 1)·I(n - 2)
n·In = -cos x·sen(n - 1) x + (n - 1)·I(n - 2)
De donde In = [(-cos x)·sen(n - 1) x]/n + [(n - 1)/n]·I(n - 2)
Así: I0 = x, I1 = -cos x
| I2 = ∫ sen² x·dx = | cos x·sen x | + | 2 - 1 | ·x |
| 2 | 2 |
| I2 = | cos x·sen x | + ½·x |
| 2 |
| I3 = ∫ sen³ x·dx = | -cos x·sen² x | + | 2 | ·(-cos x) |
| 3 | 3 |
Cálculo de In = ∫ cosn x·dx
Para calcular Jn = ∫ cosn x·dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),
Por lo que Jn = ∫ [sen (90° - x)]n·dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = -dy.
Así:
| Jn = -∫ senn y·dy |
| Jn = | cos y·senn - 1 y | - | n - 1 | ∫ senn - 2 y·dy |
| 3 | n |
Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:
cos y = cos (90° - x) = sen x;
sen(n - 1) y = sen(n - 1)(90° - x) = cos(n - 1) x
y - [(n - 1)/n]·∫ sen(n - 2) (90° - x)·(-dx) =
| = | n - 1 | ·∫ cosn - 2 x·dx = | n - 1 | ·Jn - 2 |
| n | n |
Concluyendo que:
Jn = (sen x·cosn - 1 x)/n + [(n - 1)/n]·Jn - 2
Cálculo de la integral In = dx/(1 + x²)n
Sumando y restando x² al numerador,
| In = ∫ | 1 | ·dx = ∫ | 1 + x² - x² | ·dx |
| (1 + x²)n | (1 + x²)n |
| In = ∫ | 1 | ·dx = ∫ | 1 + x² | ·dx - | x² | ·dx |
| (1 + x²)n | (1 + x²)n | (1 + x²)n |
| In = ∫ | dx | - ∫ | x² | ·dx |
| (1 + x²)n - 1 | (1 + x²)n |
| In = In - 1 - ∫ | x² | ·dx (1) |
| (1 + x²)n |
La segunda integral se resuelve por partes:
u = x, du = dx
| dv = | x | ·dx |
| (1 + x²)n |
| v = ∫ | x | ·dx |
| (1 + x²)n |
| v = ½·∫ 2·x·(1 + x²)-n·dx = ½· | (1 + x²)-n + 1 |
| -n + 1 |
De donde,
| ∫ | x² | ·dx = |
| (1 + x²)n |
| = ½·x· | (1 + x²)-n + 1 | - | 1 | ·∫ (1 + x²)-n + 1·dx |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) |
| = ½·x· | (1 + x²)-n + 1 | - | 1 | ·∫ | dx | = |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) | (1 + x²)n - 1 |
| = ½·x· | (1 + x²)-n + 1 | - | 1 | ·In - 1 |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) |
Volviendo a la expresión (1), se obtiene:
| In = In - 1 - ½·x· | (1 + x²)-n + 1 | + | 1 | ·In - 1 |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) |
Operando,
| In = | 2·n - 3 | ·In - 1 + | x | · | 1 |
| 2·n - 2 | 2·(n - 1) | (1 + x²)n - 1 |
Así, se obtendría, por ejemplo:
| I1 = ∫ | dx | = arc tg x |
| 1 + x² |
| I2 = ½·arc tg x + | x | · | 1 |
| 2 | 1 + x² |
| I3 = ¾·(½·arc tg x + | x | · | 1 | ) + | x | · | 1 |
| 2 | 1 + x² | 2 | (1 + x²)² |
Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.
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Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)