Fórmulas de reducción

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Cálculo de

Como se ve, el subíndice n de Iₙ coincide con el exponente de senⁿ x.

Desde luego,

e

Para encontrar la fórmula de reducción de Iₙ se integrará por partes:

u = sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x

du = (n - 1)·sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ x·cos x·dx

dv = sen x·dx

Por tanto,

Pasando - (n - 1)·Iₙ al primer miembro y despejando Iₙ,

De donde Iₙ = [(-cos x)·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x]/n + [(n - 1)/n]·I₍ₙ ₋ ²₎

Así: I₀ = x, I₁ = -cos x

Cálculo de

Para calcular , basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),

Por lo que y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = -dy.

Así:

Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:

cos y = cos (90° - x) = sen x;

sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ y = sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾(90° - x) = cos⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x

y,

Concluyendo que:

Cálculo de la integral

Sumando y restando x² al numerador,

La segunda integral se resuelve por partes:

u = x, du = dx

De donde,

Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

Operando,

Así, se obtendría, por ejemplo:

Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).