Integrales de cocientes

Ejemplo de cálculo de integrales de cocientes

Ejemplo n° 1

Calcular ∫ (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx

Solución

Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces

-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que

x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.

Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.

∫	3·x - 1	·dx =	3	·ln [(x + 1)² + 4] -	4	·arctg	x + 1	+ C =
	(x + 1)² + 4		2		2		2

=	3	·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg	x + 1	+ C
	2		2

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

∫	3·x - 1	·dx =
	(x + 1)² + 4

= ∫	3·x - 1 + 3·(-1) - 3·(-1)	·dx =
	(x + 1)² + 4

= ∫	3·(x + 1) - 4	·dx =
	(x + 1)² + 4

= ∫	3·(x + 1)	·dx + ∫	-4	·dx
	(x + 1)² + 4		(x + 1)² + 4

Se resuelven por separado las dos integrales.

∫	3·(x + 1)	·dx = 3·∫	x + 1	·dx
	(x + 1)² + 4		(x + 1)² + 4

Sí u = (x + 1)² + 4, u' = 2·(x + 1)

Por tanto,

∫	3·(x + 1)	·dx = (3/2)·∫	2·(x + 1)	·dx
	(x + 1)² + 4		(x + 1)² + 4

∫	3·(x + 1)	·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] + C₁
	(x + 1)² + 4

(x + 1)² + 4 = 4·[¼·(x + 1)² + 1] = 4·{[(x + 1)/2]² + 1}

Así:

∫	-4	·dx = -4·∫	1			·dx = -∫	dx
	(x + 1)² + 4		4·[(	x + 1	)² + 1]		(	x + 1	)² + 1
				2				2

Llamando u = (x + 1)/2, u' = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:

-∫	1			·dx = -2·∫	½			·dx =
	(	x + 1	)² + 1		(	x + 1	)² + 1
		2				2

= -2·arctg ½·(x + 1) + C₂

Sumando los resultados de (b) y (c), (C₁ + C₂ = C),

∫ (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg (x + 1)/2 + C,

Resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

Ejemplo n° 2

Calcular:

∫ (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x)·dx

Solución

Se calculan las raíces del denominador.

x³ + 6·x² + 9·x = x·(x² + 6·x + 9) = 0 ⇒

x = 0
ó
x² + 6·x + 9 = 0

x² + 6·x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± √36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = -3, doble. Así,

x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²

Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:

2·x + 5	=	A	+	B	+	C	=
x³ + 6·x² + 9·x		x		x + 3		(x + 3)²

2·x + 5	=	A·(x + 3)² + B·(x + 3) + C·x
x³ + 6·x² + 9·x	=	x·(x + 3)²

Igualando los numeradores,

2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x

Se dan valores a x:

Si:

x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A

A = 5/9

Si:

x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C

C = ⅓

Si:

x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C

7 = 16·5/9 + 4·B + ⅓

63 = 80 + 36·B + 3

-20 = 36·B

B = -5/9

Así,

∫	2·x + 5	·dx =
	x³ + 6·x² + 9·x

= ∫	5/9	·dx + ∫	-5/9	·dx + ∫	⅓	·dx
	x		x + 3		(x + 3)²

= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| + ⅓·∫ (x + 3)^-2·dx

= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| + ⅓·(x + 3)^-1/(-1) + C

= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| - 1/[3·(x + 3)] + C

Ejemplo n° 3

Calcular:

∫ (3·x² + 5)/[(x - 2)·(x² + 2·x + 4)]·dx

Solución

Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x² + 2·x + 4 = 0 ⇒

x₁ = -1 + i·√3
x₂ = - 1 - i·√3

x² + 2·x + 4 = (x + 1 + i·√3)·(x + 1 - i·√3) = (x + 1)² + 3

Descomposición en fracciones simples:

3·x² + 5	=	A	+	M·x + N	=
(x - 2)·(x² + 2·x + 4)		x - 2		(x + 1)² + 3

3·x² + 5	=	A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + N)·(x - 2)
(x - 2)·(x² + 2·x + 4)	=	(x - 2)·(x² + 2·x + 4)

Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)

Si x = 2 → 17 = A·12 ⇒ A = 17/12

Si x = 0 → 5 = A·4 - 2·N ⇒ 5 = 17/3 - 2·N ⇒ N = (17/3 - 5)/2 ⇒ N = ⅓

Si x = 1 → 8 = A·7 - M - N ⇒ 8 = 119/12 - M - ⅓ ⇒ M = 19/12

∫	3·x² + 5	·dx =
	(x - 2)·(x² + 2·x + 4)

= ∫	17/12	·dx + ∫	(19/12)·x + ⅓	·dx
	x - 2		(x + 1)² + 3

∫	17/12	·dx =	17	·ln \|x - 2\| + C₁
	x - 2		12

∫	(19/12)·x + ⅓	·dx =
	(x + 1)² + 3

= ½·	19	·ln [(x + 1)² + 3] +
	12

+	(19/12)·(-1) + ⅓	·arc tg	x + 1	+ C₂ =
	√3		√3

=	19	·ln [(x + 1)² + 3] -
	24

-	-5	·arc tg \|	x + 1	\| + C₂ =
	4·√3		√3

Luego:

∫	3·x² + 5	·dx =
	(x - 2)·(x² + 2·x + 4)

=	17	·ln \|x - 2\| +	19	·ln [(x + 1)² + 3] -
	12		24

-	-5	·arc tg \|	x + 1	\| + C₂
	4·√3		√3

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Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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