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Integrales de cocientes
Ejemplo de cálculo de integrales de cocientes
Ejemplo n° 1
Calcular ∫ (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx
Solución
Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces
-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que
x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.
Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.
A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:
a.
Se resuelven por separado las dos integrales.
b.
Por tanto,
Llamando u = (x + 1)/2, u' = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:
d.
Sumando los resultados de (b) y (c), (C1 + C2 = C),
∫ (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg (x + 1)/2 + C,
Resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.
Ejemplo n° 2
Calcular ∫ (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x)·dx
Solución
Se calculan las raíces del denominador.
| x³ + 6·x² + 9·x = x·(x² + 6·x + 9) = 0 ⇒ | x = 0 ó x² + 6·x + 9 = 0 |
x² + 6·x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± √36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3
Tiene las raíces x = 0, simple, y x = -3, doble. Así,
x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²
Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:
Igualando los numeradores,
2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x
Se dan valores a x:
Si x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A ⇒ A = 5/9
Si x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C ⇒ C = 1/3
Si x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C ⇒ 7 = 16·5/9 + 4·B + 1/3 ⇒ 63 = 80 + 36·B + 3 ⇒ -20 = 36·B ⇒ B = -5/9
Así,
Ejemplo n° 3
Calcular ∫ (3·x² + 5)/[(x - 2)·(x² + 2·x + 4)]·dx
Solución
Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
| x² + 2·x + 4 = 0 ⇒ | x1 = -1 + i·√3 x2 = - 1 - i·√3 |
x² + 2·x + 4 = (x + 1 + i·√3)·(x + 1 - i·√3) = (x + 1)² + 3
Descomposición en fracciones simples:
Se identifican los numeradores y se dan valores a x:
3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)
Si x = 2: 17 = A·12 ⇒ A = 17/12
Luego:
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)