Integrales de cocientes

Ejercicio: cálculo de integrales

1) Calcular ∫(3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx

Resolución:

Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces

-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que

x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.

Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

a)

Se resuelven por separado las dos integrales.

b)

Por tanto,

Llamando u = (x + 1)/2, u´ = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:

d) Sumando los resultados de (b) y (c), (C₁ + C₂ = C),

∫(3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg (x + 1)/2 + C,

resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

2) Calcular ∫(2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x)·dx

Resolución:

Se calculan las raíces del denominador.

x² + 6·x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± √36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = - 3, doble. Así,

x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²

Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:

Igualando los numeradores,

2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x

Se dan valores a x:

Si x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A ⇒ A = 5/9
Si x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C ⇒ C = 1/3
Si x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C ⇒ 7 = 16·5/9 + 4·B + 1/3 ⇒ 63 = 80 + 36·B + 3 ⇒ -20 = 36·B ⇒ B = -5/9
Así,

3) Calcular ∫(3·x² + 5)/[(x - 2)·(x² + 2·x + 4)]·dx

Resolución:

Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x² + 2·x + 4 = (x + 1 + i·√3)·(x + 1 - i·√3) = (x + 1)² + 3

Descomposición en fracciones simples:

Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)

Si x = 2: 17 = A·12 ⇒ A = 17/12

Luego:

Fórmulas de reducción

Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.

Cálculo de I_n = ∫ sen ⁿ x·dx

Como se ve, el subíndice n de I_n coincide con el exponente de sen ⁿ x.

Desde luego, I₀ = ∫ sen ⁰ x·dx = ∫ 1·dx = x e I₁ = ∫ sen ¹ x·dx = ∫ sen x·dx = -cos x

Para encontrar la fórmula de reducción de I_n se integrará por partes:

u = sen^{(n - 1)} x; du = (n - 1)·sen^{(n - 2)} x·cos x·dx
dv = sen x·dx; v = ∫ sen x·dx = -cos x

Por tanto, I_n = -cos x·sen^{(n - 1)} x - (n - 1)·∫ -sen^{(n - 2)} x·cos² x·dx

I_n = -cos x·sen^{(n - 1)} x + (n - 1)·∫ sen^{(n - 2)} x·(1 - sen² x)·dx

I_n = -cos x·sen^{(n - 1)} x + (n - 1)·∫ sen^{(n - 2)} x·dx - (n - 1)·∫ senⁿ x·dx

I_n = -cos x·sen^{(n - 1)} x + (n - 1)·I_n - 2 - (n - 1)·I_n

Pasando - (n - 1) I_n al primer miembro y despejando I_n,

I_n (1 + n - 1) = - (cos x)·sen^{(n - 1)} x + (n - 1)·I_{(n - 2)}

n·I_n = -cos x·sen^{(n - 1)} x + (n - 1)·I_{(n - 2)}

De donde I_n = [(-cos x)·sen^{(n - 1)} x]/n + [(n - 1)/n]·I_{(n - 2)}

Así: I₀ = x, I₁ = - cos x

Cálculo de I_n = ∫cosⁿ x·dx

Para calcular J_n = ∫ cosⁿ x·dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),

por lo que J_n = ∫ [sen (90° - x)]ⁿ·dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = - dy.

Así:

Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:

cos y = cos (90° - x) = sen x;

sen^{(n - 1)} y = sen^{(n - 1)}(90° - x) = cos^{(n - 1)} x

y - [(n - 1)/n]·∫ sen^{(n - 2)} (90° - x)·(-dx) =

Concluyendo que:

J_n = (sen x·cos^{n - 1} x)/n + [(n - 1)/n]·J_{n - 2}

Cálculo de la integral I_n = dx/(1 + x²)ⁿ

Sumando y restando x² al numerador,

La segunda integral se resuelve por partes:

u = x, du = dx

De donde,

Volviendo a la expresión (1), se obtiene:

Operando,

Así, se obtendría, por ejemplo:

Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.