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Integrales de cocientes

Ejemplo de cálculo de integrales de cocientes

Ejemplo n° 1

Calcular (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx

Solución

Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces

-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que

x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.

Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.

Integración por descomposición en fracciones simples

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

a.

Integración por descomposición en fracciones simples

Se resuelven por separado las dos integrales.

b.

Integración por descomposición en fracciones simples

Por tanto,

Integración por descomposición en fracciones simples

Llamando u = (x + 1)/2, u' = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:

Integración por descomposición en fracciones simples

d.

Sumando los resultados de (b) y (c), (C1 + C2 = C),

(3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg (x + 1)/2 + C,

Resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

Ejemplo n° 2

Calcular (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x)·dx

Solución

Se calculan las raíces del denominador.

x³ + 6·x² + 9·x = x·(x² + 6·x + 9) = 0 ⇒x = 0
ó
x² + 6·x + 9 = 0

x² + 6·x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± 36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = -3, doble. Así,

x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²

Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:

Integración por descomposición en fracciones simples

Igualando los numeradores,

2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x

Se dan valores a x:

Si x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A ⇒ A = 5/9

Si x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C ⇒ C = 1/3

Si x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C ⇒ 7 = 16·5/9 + 4·B + 1/3 ⇒ 63 = 80 + 36·B + 3 ⇒ -20 = 36·B ⇒ B = -5/9

Así,

Integración por descomposición en fracciones simples

Ejemplo n° 3

Calcular (3·x² + 5)/[(x - 2)·(x² + 2·x + 4)]·dx

Solución

Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x² + 2·x + 4 = 0 ⇒x1 = -1 + i·3
x2 = - 1 - i·3

x² + 2·x + 4 = (x + 1 + i·3)·(x + 1 - i·3) = (x + 1)² + 3

Descomposición en fracciones simples:

Integración por descomposición en fracciones simples

Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)

Si x = 2: 17 = A·12 ⇒ A = 17/12

Integración por descomposición en fracciones simples

Luego:

Integración por descomposición en fracciones simples

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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