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Integrales de cocientes

Ejemplo de cálculo de integrales de cocientes

Ejemplo n° 1

Calcular (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx

Solución

Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces

-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que

x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.

Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.

3·x - 1·dx =3·ln [(x + 1)² + 4] -4·arctgx + 1+ C =
(x + 1)² + 4222
=3·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctgx + 1+ C
22

A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:

a.

3·x - 1·dx =
(x + 1)² + 4
= 3·x - 1 + 3·(-1) - 3·(-1)·dx =
(x + 1)² + 4
= 3·(x + 1) - 4·dx =
(x + 1)² + 4
= 3·(x + 1)·dx + -4·dx
(x + 1)² + 4(x + 1)² + 4

Se resuelven por separado las dos integrales.

b.

3·(x + 1)·dx = 3·x + 1·dx
(x + 1)² + 4(x + 1)² + 4

Sí u = (x + 1)² + 4, u' = 2·(x + 1)

Por tanto,

3·(x + 1)·dx = (3/2)·2·(x + 1)·dx
(x + 1)² + 4(x + 1)² + 4
3·(x + 1)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] + C1
(x + 1)² + 4

c.

(x + 1)² + 4 = 4·[¼·(x + 1)² + 1] = 4·{[(x + 1)/2]² + 1}

Así:

-4·dx = -4·1·dx = -dx
(x + 1)² + 44·[(x + 1)² + 1](x + 1)² + 1
   2 2

Llamando u = (x + 1)/2, u' = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:

-1·dx = -2·½·dx =
(x + 1)² + 1(x + 1)² + 1
 2 2 

= -2·arctg ½·(x + 1) + C2

d.

Sumando los resultados de (b) y (c), (C1 + C2 = C),

(3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg (x + 1)/2 + C,

Resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.

Ejemplo n° 2

Calcular:

(2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x)·dx

Solución

Se calculan las raíces del denominador.

x³ + 6·x² + 9·x = x·(x² + 6·x + 9) = 0 ⇒x = 0
ó
x² + 6·x + 9 = 0

x² + 6·x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± 36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3

Tiene las raíces x = 0, simple, y x = -3, doble. Así,

x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²

Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:

2·x + 5=A+B+C=
x³ + 6·x² + 9·xxx + 3(x + 3)²
2·x + 5=A·(x + 3)² + B·(x + 3) + C·x
x³ + 6·x² + 9·xx·(x + 3)²

Igualando los numeradores,

2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x

Se dan valores a x:

Si:

x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A

A = 5/9

Si:

x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C

C = ⅓

Si:

x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C

7 = 16·5/9 + 4·B + ⅓

63 = 80 + 36·B + 3

-20 = 36·B

B = -5/9

Así,

2·x + 5·dx =
x³ + 6·x² + 9·x
= 5/9·dx + -5/9·dx + ·dx
xx + 3(x + 3)²

= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| + ⅓· (x + 3)-2·dx

= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| + ⅓·(x + 3)-1/(-1) + C

= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| - 1/[3·(x + 3)] + C

Ejemplo n° 3

Calcular:

(3·x² + 5)/[(x - 2)·(x² + 2·x + 4)]·dx

Solución

Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

x² + 2·x + 4 = 0 ⇒x1 = -1 + i·3
x2 = - 1 - i·3

x² + 2·x + 4 = (x + 1 + i·3)·(x + 1 - i·3) = (x + 1)² + 3

Descomposición en fracciones simples:

3·x² + 5=A+M·x + N=
(x - 2)·(x² + 2·x + 4)x - 2(x + 1)² + 3
3·x² + 5=A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + N)·(x - 2)
(x - 2)·(x² + 2·x + 4)(x - 2)·(x² + 2·x + 4)

Se identifican los numeradores y se dan valores a x:

3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)

Si x = 2 → 17 = A·12 ⇒ A = 17/12

Si x = 0 → 5 = A·4 - 2·N ⇒ 5 = 17/3 - 2·N ⇒ N = (17/3 - 5)/2 ⇒ N = ⅓

Si x = 1 → 8 = A·7 - M - N ⇒ 8 = 119/12 - M - ⅓ ⇒ M = 19/12

3·x² + 5·dx =
(x - 2)·(x² + 2·x + 4)
= 17/12·dx + (19/12)·x + ⅓·dx
x - 2(x + 1)² + 3
17/12·dx =17·ln |x - 2| + C1
x - 212
(19/12)·x + ⅓·dx =
(x + 1)² + 3
= ½·19·ln [(x + 1)² + 3] +
12
+(19/12)ยท(-1) + ⅓·arc tgx + 1+ C2 =
33
=19·ln [(x + 1)² + 3] -
24
--5·arc tg |x + 1| + C2 =
33

Luego:

3·x² + 5·dx =
(x - 2)·(x² + 2·x + 4)
=17·ln |x - 2| +19·ln [(x + 1)² + 3] -
1224
--5·arc tg |x + 1| + C2
33

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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