Integrales de cocientes
Ejemplo de cálculo de integrales de cocientes
Ejemplo nº 1
Calcular 
Solución
Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces
-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que
x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.
Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.
A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:
a)
Se resuelven por separado las dos integrales.
b)
Sí u = (x + 1)² + 4, u' = 2·(x + 1)
Por tanto,
c)
Así:
Llamando u = (x + 1)/2, u' = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:
d)
Sumando los resultados de (b) y (c), (C₁ + C₂ = C),
Resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.
Ejemplo nº 2
Calcular:
Solución
Se calculan las raíces del denominador.
x³ + 6·x² + 9·x = x·(x² + 6·x + 9) = 0
x = 0
ó
x² + 6·x + 9 = 0
Tiene las raíces x = 0, simple, y x = -3, doble. Así,
x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²
Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:
Igualando los numeradores,
2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x
Se dan valores a x:
Si:
x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A
A = 5/9
Si:
x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C
C = ⅓
Si:
x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C
7 = 16·5/9 + 4·B + ⅓
63 = 80 + 36·B + 3
-20 = 36·B
B = -5/9
Así,
Ejemplo nº 3
Calcular:
Solución
Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
x² + 2·x + 4 = (x + 1)² + 3
Descomposición en fracciones simples:
Se identifican los numeradores y se dan valores a x:
3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)
Si x = 2 ⟶ 17 = A·12 ⇒ A = 17/12
Si x = 0 ⟶ 5 = A·4 - 2·N ⇒ 5 = 17/3 - 2·N ⇒ N = (17/3 - 5)/2 ⇒ N = ⅓
Si x = 1 ⟶ 8 = A·7 - M - N ⇒ 8 = 119/12 - M - ⅓ ⇒ M = 19/12
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es una integral en matemáticas?